Pure Mathematics
Vol.07 No.03(2017), Article ID:20482,4 pages
10.12677/PM.2017.73016

Periodicity of a Class of Functional Equations

Xiaoli Zhou1, Tiejun Zhou1,2

1College of Science, Hunan Agricultural University, Changsha Hunan

2College of Orient Science and Technology, Hunan Agricultural University, Changsha Hunan

Received: Apr. 22nd, 2017; accepted: May 6th, 2017; published: May 10th, 2017

ABSTRACT

The sufficient conditions are obtained that the is a periodic function with period 2T, 3T or 4T for the functional equation. The results generalize the existing conclusions.

Keywords:Functional Equation, Period

一类函数方程的周期性

周小利1,周铁军1,2

1湖南农业大学理学院,湖南 长沙

2湖南农业大学东方科技学院,湖南 长沙

收稿日期:2017年4月22日;录用日期:2017年5月6日;发布日期:2017年5月10日

摘 要

本文针对函数方程分别获得是周期为2T、3T、4T函数的充分条件,推广了已有结论。

关键词 :函数方程,周期

Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

对于函数方程的解,我们经常要讨论它的周期性,并确定它的周期 [1] [2] [3] [4] [5] 。文献 [1] 中讨论了8种特殊形式的函数方程并给出了它们的周期。本文将该文相关结果推广到如下一般形式的函数方程:

(1)

显然,当时,方程(1)存在平凡周期解:

不难验证,当时,方程(1)有常数解,这是平凡周期解。那么对于不为常数的情形,方程(1)是否存在周期解?如果存在周期解,它的周期是多少?这是本文要解决的问题。

2. 主要定理

对于方程(1)是否存在非常数周期解的问题,我们有如下结论:

定理 设f(x)不为常数,

(i) 如果,那么是周期为2T的函数。

(ii) 如果,那么是周期为3T的函数。

(iii) 如果,那么是周期为4T的函数。

证明:由于不为常数,则由(1)式可得:

(2)

于是有。将(2)式代入并整理得:

(3)

(i) 如果,则由(3)式可得,即是周期为2T的函数。

(ii) 由(2)式得

将(3)式代入上式并整理得

(4)

如果,那么有,即是周期为3T的函数。

(iii) 由(3)式得

再将(3)式代入上式并整理得

时,有,于是得

从而,故有

所以是周期为4T的函数。

3. 几个实例

下面举例说明上述定理的应用。

例1. 若函数满足,其中,则是周期为的函数(文献 [3] 定理3)。

证明:令,则有,对应方程(1)中,,故由定理中(i)知,是周期为的函数。

注:文献 [1] 中第7点结论是本例在时的特殊情形,文献 [2] 中定理1的两个方程是本例在时的情形。

例2. 若函数满足,则是以3T为周期的函数。

证明:由条件可得

因此在方程(1)中,,由定理中(ii)知道,是以3T为周期的函数。

注:若a = 1,则得到文献 [1] 中第8点结论。

例3. 若函数满足,则是以2T为周期的函数。

证明:由条件可得

因此在方程(1)中,由定理1中(i)知道,是以2T为周期的函数。

注:若,则得到文献 [1] 中第9点结论及文献 [2] 定理2的推论;若,则得到文献 [1] 中第11点结论及文献 [2] 中的定理2。

例4. 若函数满足,则是以4T为周期的函数。

证明:由条件可得

因此在方程(1)中,显然,故由定理1中(iii)知道,是以4T 为周期的函数。

注:如果,就得到文献 [1] 中第10点结论及文献 [2] 中定理3的推论;如果,就得到文献 [2] 中定理3的结论。

4. 结论

我们的研究表明,抽象函数方程(1)除了在系数满足条件时存在常数形式的平凡周期解外,还可能在不同条件下分别存在周期为2T、3T和4T的非常数的周期解。

文章引用

周小利,周铁军. 一类函数方程的周期性
Periodicity of a Class of Functional Equations[J]. 理论数学, 2017, 07(03): 137-140. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.73016

参考文献 (References)

  1. 1. 陈维华, 强海萍. 抽象函数的周期性研究[J]. 中学数学杂志, 2011(5): 41.

  2. 2. 周继军. 由一类函数方程确定的周期函数[J]. 数学教学通讯, 1991(5): 19-20.

  3. 3. 王良成. 也谈由函数方程确定的周期函数[J]. 数学教学通讯. 1992(5): 14-15.

  4. 4. 宋泽熙, 周铁军. 一类函数方程周期解周期的确定[J]. 大学数学, 2016(6): 87-90.

  5. 5. Mickens, R.E. (2016) Periodic Solutions of the Functional Equation . Journal of Difference Equations and Applications, 22, 67-74. https://doi.org/10.1080/10236198.2015.1075520

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