ABSTRACT

By using the Leray-Schauder nonlinear alternative theorem and the Leggett-Williams fixed point theorem, a class of boundary value problem for fractional differential equations with integral conditions on an infinite interval is investigated. Some sufficient conditions on the existence of at least one unbounded solution and three positive solutions are established. At last, two examples are given to illustrate the results.

Keywords:Fractional Differential Equations, Integral Boundary Conditions, Infinite Interval, Positive Solutions

一类无穷区间上的分数阶微分方程边值问题解的存在性

姚佳欣，王文霞，贾建梅

太原师范学院数学系，山西省 晋中

收稿日期：2017年6月3日；录用日期：2017年6月19日；发布日期：2017年6月22日

摘 要

利用Leray-Schauder非线性抉择定理以及Leggett-Williams不动点定理研究了一类无穷区间上的分数阶微分方程积分边值问题，获得了该边值问题至少存在一个无界解和三个正解的充分条件。最后给出了两个例子作为所获结果的应用。

关键词 :分数阶微分方程，积分边值问题，无穷区间，正解

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1. 引言

近年来，由于分数阶微分方程在诸如物理、化学、生物科学和经济学等众多学科领域中的重要应用，其解的存在性问题也受到了众多学者的广泛关注。目前，有限区间上的分数阶微分方程边值问题已获得广泛而深入的研究，并取得了丰富而深刻的结论，参见文献 [1] [2] [3] [4] 。但是，和有限区间相比，无穷区间上的非线性分数阶微分方程的研究还很薄弱。事实上，在研究椭圆方程径向对称解，火箭推进固体燃料静电测量问题，不稳定气流流速等问题时都会产生无穷区间上的边值问题。因此，无穷区间上的分数阶微分方程边值问题的研究具有十分重要的理论与实际意义。最近，一些作者研究了这类问题，获得了一些很有价值的结果，参见文献 [5] - [11] 。其中，在文献 [5] 中，作者研究了如下无穷区间上的非线性分数阶微分方程边值问题：

(1.1)

其中，是标准的Riemann-Liouville分数阶微分，作者运用Leray- Schauder非线性抉择定理获得了上述方程存在无界解的充分条件。

文献 [6] 研究了下列分数阶微分方程在无穷区间上正解的存在唯一性：

(1.2)

其中，是标准的Riemann-Liouville分数阶微分，是标准的Riemann-Liouville分数阶积分。作者运用迭代技术获得了上述了边值问题存在唯一解的充分条件。但是文献 [6] 并未讨论方程(1.2)多重正解的存在性。受上述文献启发，本文讨论如下无穷区间上分数阶微分方程边值问题：

(1.3)

其中，是标准的Riemann-Liouville分数阶微分，是标准的Riemann-Liouville分数阶积分。可以看到，边值问题(1.2)是本文所讨论的边值问题(1.3)的特例。此外，不同于文献 [6] ，本文将使用Leray-Schauder非线性抉择定理以及Leggett-Williams不动点定理，研究边值问题(1.3)的无界解及三重正解存在的充分条件。据我们所知，现有文献尚未对该问题进行研究，因此本文所获结论是新的。

2. 相关定义和引理

为了方便读者，我们首先给出分数阶微积分的一些基本的定义和引理。

定义2.1 [1] 连续函数的阶Riemann-Liouville分数积分定义为

其中，等式的右端在有定义。

定义2.2 [1] 连续函数的阶Riemann-Liouville分数导数定义为

其中，是大于等于的最小整数，等式的右端在有定义。

引理2.1 [1] 设，如果，则分数阶微分方程

有唯一解：

其中。

引理2.2 [1] 如果有阶导数属于，则

其中。

定理2.1 [1] (Leray-Schauder非线性抉择定理)假设是线性赋范空间中包含原点的有界开集，全连续，并且满足边界条件，即当时，，则在上至少有一个不动点。

设为Banach空间，为中的锥，称映射为锥上的一个连续凹泛函，如果是连续的且对于任意的，，

对于和锥上的连续凹泛函，定义凸集和如下：

定理2.2 [1] (Leggett-Williams不动点定理)设是全连续算子，为上的非负连续凹泛函且对于任意的，。假定存在使得

(C1)且对于任意的，；

(C2) 对任意的，有；

(C3) 对任意的且，有。

则在中至少存在三个不动点且满足

3. 无界解的存在性

考虑下面的齐次边值问题：

(3.1)

引理3.1 [6] 对于任意的，，如果，则边值问题(3.1)有唯一解，并且

其中Green函数：

(3.2)

由文献 [6] 我们可以知道，。下面我们给出一些其它的性质：

引理3.2由(3.2)式表示的Green函数有如下性质：

1) 对任意的，关于是严格递增的；

2) 设实数，存在正实数，使得对

证明：通过对Green函数求导易证得性质1)，下面我们主要来证性质2)。令

则

综上

又

即

所以

且

令

则

证毕。

定义空间为

赋予范数

定义锥为

引理3.3 [7] 是一个Banach空间。

本文使用如下条件：

(H1)；

(H2)是连续函数，；

(H3) 存在非减，使得

定义算子为：

，

易知这样定义的算子是有意义的。根据引理2.1，是方程(1.3)的解当且仅当是算子的不动点。

引理3.4 [7] 设为有界集，，则是的相对紧集，如果以下

条件成立：

1)在上局部等度连续；

2)在处等度收敛，即对任意的，存在使得对任意的，

成立

引理3.5如果(H1)~(H3)成立，则全连续。

证明：首先，证明是连续的。

在空间中任取一收敛序列。则存在常数使得

于是

又因为

且

因此，由勒贝格控制收敛定理，结合的连续性可得

所以，是连续的。

再来证明算子把中的有界集映成列紧集。

设为的有界子集，下证是一个列紧集。由有界知，存在使得

。从而对于任意的有

即一致有界，下证在的任意紧区间上是等度连续的。

任给，不妨设，则对于，有

因此，对，存在使得时，有

由于是任意的，因此在上局部等度连续。

最后来证在处等度收敛。任给，

所以

因此，在处等度收敛。

所以由引理3.4得全连续。

定理3.1设(H1)~(H3)成立。若(H3)中的函数满足如下条件：

(H4)使得

(3.3)

则边值问题(1.3)存在无界解且满足

证明：考虑边值问题

(3.4)

其中。显然，为方程(3.4)的解当且仅当为算子方程的解。

令

我们断言当，时，。如若不然，存在，使得，则

所以

即

与式(3.3)矛盾。由定理2.1，边值问题(1.3)有无界解使得

证毕。

4. 多解的存在性

下面我们利用Leggett-Williams不动点定理讨论边值问题(1.3)多解的存在性。为了方便读者，我们使用以下记号：

定理4.2假设条件(H1)-(H2)成立，并且假设存在常数，使得

(H5)，；

(H6)，；

(H7)，；

则边值问题(1.3)至少有三个正解且满足

证明：定义泛函，则为非负连续凹泛函。下证全连续，连续已证，

现在只需要证。令，那么，则有

且由引理3.5知是全连续的。同理可得时，。因此定理2.2中的条件(C2)成立。

为了验证条件(C1)成立，取。易知并且，故。

若，我们有

因此

即，说明定理2.2中的条件(C2)成立。

最后，验证条件(C3)成立，假设，满足，则，且有，由

(H6)我们可以得到，由此知定理2.2中的条件(C3)成立。故至少存在三个不动点，即边值问题(1.3)至少存在三个正解使得

证毕。

5. 例子

例5.1令，则方程(1.3)变为

(5.1)

设，有，；连续；

；令，有

满足定理4.1，所以边值问题(5.1)存在无界解且。

例5.2令，则方程(1.3)变为：

(5.2)

其中

令，通过计算可得

所以

满足定理4.2，所以边值问题(5.2)至少有三个正解且

基金项目

国家自然科学基金(11361047)。

文章引用

姚佳欣,王文霞,贾建梅. 一类无穷区间上的分数阶微分方程边值问题解的存在性
The Existence of Solutions for a Class of Boundary Value Problem of Fractional Differential Equations on an Infinite Interval[J]. 理论数学, 2017, 07(04): 213-224. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.74027

参考文献 (References)