Pure Mathematics
Vol.07 No.06(2017), Article ID:22572,5
pages
10.12677/PM.2017.76054
A Normality Criterion of Meromorphic Functions Concerning Shared Set
Zhenzhu Li, Chunlin Lei
Institute of Applied Mathematics, South China Agricultural University, Guangzhou Guangdong
Received: Oct. 13th, 2017; accepted: Oct. 27th, 2017; published: Nov. 2nd, 2017
ABSTRACT
Let be a family of meromorphic functions in a domain D, let a, b, c be finite complex numbers, and . Let k be a positive integer and . If, for each , the zeros of are of multiplicity , and whenever , then is normal in D.
Keywords:Normal Families, Meromorphic Functions, Zalcman Lemma, Shared Set
一个涉及分担集合的亚纯 函数正规定则
厉珍珠,雷春林
华南农业大学应用数学研究所,广东 广州
收稿日期:2017年10月13日;录用日期:2017年10月27日;发布日期:2017年11月2日
摘 要
设 是区域D内的一族亚纯函数, , , 是三个有穷复数并且 , 是正整数。令 。若对于任意的 满足:1) 的零点重级均 ;2) ,其中 为 的线性微分多项式,则 在D内正规。
关键词 :正规族,亚纯函数,ZALCMAN引理,分担集
Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言及主要结果
本文采用了Nevanlinna基本理论以及记号,如 , , , , 等,见 [1] [2] 。
设D是复平面C上的一个区域,若对于 中任意序列 存在一个子序列 在区域D上按球面距离内闭一致收敛到一个亚纯函数或者 ,则称 为D内的正规族,见 [3] 。
设 和 是区域D内的两个亚纯函数, 是一个复数。若 与 在D内有相同的零点,则称 和 在区域D内分担 ,或称IM分担 ,若 与 在D内有相同的零点并且零点重级也相同,则称 和 在区域D内CM分担 。
1992年,Schwick首先考虑了与分担值有关的正规性,证明了
定理A [4] :设 为D内的一族亚纯函数, , , 是三个判别的有穷复数。若对于 中的任意函数 , 和 在D内分担 , , ,则 在D内正规。
2001年,Chen and Fang考虑了把 换为 的情形,证明了
定理B [5] :设 为D内的一族亚纯函数, , , 是三个有穷的复数且 。若对于 中的任意函数 ,有 和 在D内分担 , ,且 的零点重级均 ,则 在D内正规。
2008年,Han and Gu改进了定理B,证明了
定理C [6] :设 为D内的一族亚纯函数, , , 是三个有穷复数且 。若对于 中的任意函数 , 的零点重级均 ,且 , ,则 在D内正规。
设 为区域D内的亚纯函数, 是全纯函数并且 。我们定义
本文推广并改进了定理C,证明了
定理1:设 是区域D内的一族亚纯函数, , , 是三个有穷复数并且 , 是正整数。令 。若对于任意的 满足:
1) 的零点重级均 ;
2) 。
则 在D内正规。
下面举例说明定理1中的条件“ 的零点重级均 ”是必须的。
例1:设 , 是一个正整数, 且 , , 。 ,其中 。显然 ,但 在 内是不正规的。
2. 几个引理
引理1: [3] [7] :设 是单位圆内的一族亚纯函数且 中的每个函数的零点的重级至少是 ,假设 ,必有 。若 在单位圆内不正规,那么对于每一个 , ,存在
1) 实数 , ;
2) 点列 , ;
3) 函数列 ;
4) 正数列 ,使得函数 在 上按球距内闭一致收敛于一个亚纯函数 ,并且 。
引理2: [8] :设 为复平面上的一个超越亚纯函数, 为非零有穷复数, 为一正整数,则 或者 有无穷多个零点。
引理3: [9] :设 是一个正整数, 是一个有穷极的亚纯函数,且零点重级至少为 。设 是一个非零复数。若 和 分担0,且 ,则 是一个常数。
3. 定理1的证明
假设 在D内不正规,则 使得 在 处不正规。由引理1,可知存在
1) 实数 , ;
2) 点列 , , ;
3) 函数列 ;
4) 正数列
使得 在复平面上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数 ,且 的级至多为2。
下面我们分两种情况来考虑
情形1. ,即 或者 ,不失一般性,不妨设 。由此可断言:
1)
2)
由于
则 , 且 的零点重级均 。
下面我们证明断言1),显然 。否则 ,则 是一个次数至多为 的多项式,由于 的零点重级均 ,即知 为常数,矛盾。假设存在一点 ,使得 ,取 使得 在 内全纯,则在 内有
由于 ,根据Hurwitz定理,由上式可得,存在一个点列 , ,使得 。由条件2)可知 或者 。
若 ,则有 ,所以断言1)成立。
若 ,则有 ,显然 是 的极点,这与 矛盾。故这种情况不成立。
同理可证断言2)。
下面我们再分三种情况讨论:
情形1.1. 且 ,则由Nevanlinna第二基本定理可知,
于是即得
所以 是常数,因而 是一个次数至多为 次的多项式,这与 的零点重级均 矛盾。
情形1.2. 或者 ,不失一般性,我们假设 ,则有 。显然 ,否则 ,存在 ,使得 ,即
是 的零点,根据条件可得, 也是 的零点,即 ,矛盾。所以有 。由于 的零点重级均 ,所以 。因此 和 分担0,根据引理3可知, 是一个常数,这与 是一个非常数的亚纯函数矛盾。
情形1.3. 若 且 ,即断言1)和2)同时成立;则由情形1.2可知 且 ,这与 矛盾。
故 在D内正规。
情形2. ,即 且 。则我们断言
3)
4)
下面我们证明上述断言:使用情形1的方法,假设存在 ,使得 ,取 使得 在 内全纯,则有 ,且 。
根据Hurwitz’s定理可知,存在一个点列 ,使得 ,则有 ,由条件2)
知 或者 。
若 ,则有 ;
若 ,则有 ;
这与 矛盾。故断言3)可证。类似的我们可以证明断言4).
根据情形1.1的表述我们得到 是一个常数,矛盾。
故 在D内正规。
致谢
作者衷心感谢方明亮教授的指导和帮助!
基金项目
本文由国家自然科学基金资助(基金号:11371149)。
文章引用
厉珍珠,雷春林. 一个涉及分担集合的亚纯函数正规定则
A Normality Criterion of Meromorphic Functions Concerning Shared Set[J]. 理论数学, 2017, 07(06): 417-421. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.76054
参考文献 (References)
- 1. Yang, C.C. and Yi, H.X. (2003) Uniqueness Theory of Meromorphic Function. Science Press/Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1-70. https://doi.org/10.1007/978-94-017-3626-8
- 2. Hayman, W.K. (1964) Meromorphic Function. Clarendon Press, Oxford, 5-24.
- 3. 顾永兴, 庞学诚, 方明亮. 正规族理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2007: 25-34.
- 4. Schwick W. (1992) Sharing Values and Normality. Archiv der Mathematik, 59, 50-54. https://doi.org/10.1007/BF01199014
- 5. Chen, H.H. and Fang M.L. (2001) Shared Values and Normal Families of Meromorphic Functions. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 260, 124-132. https://doi.org/10.1006/jmaa.2001.7439
- 6. Han, M.H. and Gu, Y.X. (2008) The Normal Famility of Mermorphic Function. Acta Mathematica Scientia, 28B, 759-762.
- 7. Zalcman, L. (1998) Normal Families: New Perspective, Bull. American Mathematics Society, 35, 215-230. https://doi.org/10.1090/S0273-0979-98-00755-1
- 8. Wang, Y.F. and Fang, M.L. (1998) Picard Values and Normal Families of Meromorphic Functions with Multiple Zeros. Acta Mathematica Sinica, 14, 17-26. https://doi.org/10.1007/BF02563879
- 9. Fang, M.L. and Zalcman, L. (2003) Normal Families and Shared Values of Meromorphic Functions. Annales Polonice Mathematici, 80, 137-138. https://doi.org/10.4064/ap80-0-11