Abstract

In this paper, we negative the main result that an Erceg pseudo-metric is a pointwise pseudo-metric in [1] , point out the wrong reasons in the process of its proof, and further put forward the new conclusion that a pointwise pseudo-metric is an Erceg pseudo-metric, but the converse is not true.

Keywords:Erceg Pseudo-Metric, A Pointwise Pseudo-Metric, Fuzzy Lattice

Fuzzy格上两种点式伪度量之间的关系

陈  鹏^1,2

¹河南科技大学，数学与统计学院，洛阳

²北京工业大学，应用数理学院，北京

Email: chenpengbeijing@sina.com

收稿日期：2014年3月15日；修回日期：2014年8月26日；录用日期：2014年9月25日

摘  要

本文否定了文[1] 的主要结果：一个点式Erceg伪度量是一个点式伪度量,并进一步给出相反的新的结论：一个点式伪度量是一个点式Erceg伪度量但反之不成立。

关键词

Erceg伪度量，点式伪度量，Fuzzy格

1. 引言

格上度量是格上拓扑学中最核心的问题，虽然迄今国内外已给出了几种较为重要的格上度量，并已取得了不少创造性工作[1] -[5] [6] ，但对它研究还远没有结束.点式度量是由史福贵教授在1996年对文[6] 中度量给出的比较合理协调的等价形式；Erceg度量是基于集合间的Hausdorff距离而被Erceg M.A.所引入[2] ，是无点化Fuzzy度量理论的优秀成果。在文[1] 中，梁基华教授给出了两者之间的一个主要结果，即该文定理1：设是上的定式Erceg伪度量，则是一个点式伪度量。本文否决了该文的这一主要结果，指出该文错误的证明原由，并给出新的结论。

由于Erceg度量的定义[2] 较为复杂且直观意义不明显。鉴于此，1992年，彭育威最先给出了Erceg伪度量的点式意义的简化形式定义如下：

定义1.1上的一个Erceg伪度量就是满足下列条件的映射映射[3] ：

(B1) 如果，那么

(B2)

(B3)

(B4)使得使得

定义1.2上的一个点式伪度量是一个满足下列条件的的映射[4] -[5] :

(N1)^*

(N2)

(N3)

(N4)使得使得

注首先(N1)^*可以由下列条件

(N1)如果，那么

其次在史福贵定义的点式伪度量的原始定义中，还有下列条件：

(N5)*若，则

但这是多余的。事实上，当时，知另外，(N4)能够被下面(N4)*取代，

(N4)*.

本文中表示一个具有逆序对合对应“”的完全分配格。被叫一个分子，当且仅当对蕴含或，的全部分子集记为。是一个连续偏序集，即中每个元可表示中way-below()关于它的元的定向上确界[7] 。其它未声明概念与符号请参考文[8] 。

2. 反例

文[1] 中，梁基华教授证明了：如果是点式Erceg伪度量，令，那么是点式伪度量，但这个结果是错误的。

我们给出下面反例，它是一个点式Erceg伪度量，但不是一个点式伪度量，表明梁的这个结果是不正确。

例子2.1 设，则，定义函数如下：

那么是上点式Erceg伪度量。事实上，不难验证满足(B1)和(B2)。下证(B3)和(B4)。

(B3) 如果且，那么。1) 当时，对每个,，即，存在满足即，

有，从而；即有1) 当时，对每个，即，存在满足即得，从而，即有；2) 当时，当，有分两种情况：与。当时，存在满足，得，当时，此时，从而，即满足(B3)。

(B4)蕴含

蕴含能够获得，根据(N4)*知(B4)成立。

但是，让，那么不是点式伪度量。事实上，，然而。因此。

例子2.1表明，从一个彭育威意义下的点式Erceg伪度量出发，按照在文[1] 中作为定理1给出的结论是不能得到一个史福贵意义下的点式伪度量函数。

3. 本文的主要结果

定理3.1 一个映射是上的点式Erceg伪度量当且仅当满足条件(B1)，(B2)，(B4)和下面(B3)*。

(B3)*.

证明 设是点式Erceg伪度量，则满足(B1)，(B2)和(B4)。下证满足(B3)*。由于

.

因此，有由此得

从而。因此满足(B3)*。

反之，设满足(B1)，(B2)，(B3)*和(B4)。下证满足(B3)。如果，那么根据(B3)*，有。由(B1)和(B2)，如果，那么我们有，得

因此。如果且。则有。其中定义。(B4)等价于：，这是因为使得，所以有

因此，由此，存在使得。于是。从而有。由的任意性有。也就是如果就有，因此

其次，，由(B1)和(B2)得。于是，因满足(B3)，所以

因此是点式Erceg伪度量。证毕。

定理3.2 如果映射是上的点式伪度量，则有

证明满足(N1)和(N2)，，如果，那么。因为蕴含，所以。假设，那么使得

根据(N2)有且。从而

所以有由且的任意性，得这和矛盾。所以

。定理被证。

但从定理3.2可知，从一个点式伪度量出发，却可以容易地得到一个点式Erceg伪度量。从而，文[1] 中作为定理2的结论显然。

Erceg度量与Shi度量由于不同的连续性公理(B3)与(N3)是导致两种度量局部性质呈现出本质的差异，由于不同的连续性公理是导致Erceg度量所诱导的拓扑只能用邻域刻画，但后者的诱导拓扑用远域和邻域都能刻画。

下面例子表明Erceg伪度量诱导的拓扑一般不是的。

例3.3 设表示第一个不可数序数，表示从0到的所有序数之集。令

那么是一个具有逆序对合对应的完全分配格。再令是一个单点集合。

对每个实数和 (与同构)，规定，即是一个恒同映射，那么是一个Erceg伪度量的相关邻域映射族且此Erceg伪度量的拓扑是。取点，

那么是的远域族，这里表示取值的常值集。显然没有可数子集构成的闭远域基。因此Erceg伪度量诱导的拓扑不是的。

Erceg度量里不能直接反映格上“点式拓扑的特点”，即不能直接反映点和它的重域关系，但Shi度量却可以。

基金项目

河南科技大学博士启动项目(09001613)河南科技大学科研创新能力培育基金项目(13000810)。

参考文献 (References)