Operations Research and Fuzziology
Vol.07 No.02(2017), Article ID:20487,8 pages
10.12677/ORF.2017.72005

Int-Soft Filters and Their Congruences on Residuated Lattices

Chunxin Lin, Zhenming Ma

School of Mathematics and Statistics, Linyi University, Linyi Shandong

Received: Apr. 19th, 2017; accepted: May 7th, 2017; published: May 10th, 2017

ABSTRACT

The aim of this paper is to study filters on residuated lattices associated with soft sets. By introducing the notion of tip-extended pair of soft sets, a bounded distributive lattice based on the sets of all int-soft filters is formed, a one-to-one correspondence between the set of all int-soft filters and the set of all int-soft congruences is established, and a quotient residuated lattice with respect to int-soft filter is induced.

Keywords:Residuated Lattice, Int-Soft Filter, Int-Soft Congruence, Distributive Lattice

剩余格上的交软滤子与交软同余

林春鑫,马振明

临沂大学, 数学与统计学院,山东 临沂

收稿日期:2017年4月19日;录用日期:2017年5月7日;发布日期:2017年5月10日

摘 要

结合软集理论在剩余格上引入交软滤子概念,对其性质进行研究。特别地,通过定义交软集的扩张对,证明交软滤子的全体构成有界分配格;定义交软同余,在全体交软滤子和交软同余之间确立一一对应关系;证明剩余格相对于交软滤子构成商剩余格。

关键词 :剩余格,交软滤子,交软同余,分配格

Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

不确定性广泛存在于如工程、社会、管理和经济等许多实际问题中。相较于概率论、模糊集 [1] 、粗糙集 [2] 和直觉模糊集 [3] 等传统解决不确定性问题的数学工具,软集合理论 [4] 在处理不确定性问题方面具有得天独厚的优势。目前,许多学者致力于软集理论和应用方面的工作。理论方面工作主要集中在软运算 [5] [6] [7] 、软关系 [8] 、相等测度 [9] [10] [11] ,和软代数结构 [12] [13] [14] 等。在应用方面,软集广泛被应用到决策 [15] 和预测 [16] 等。

近来,有学者将软集应用到R0-代数的滤子理论研究上 [17] 。众所周知,目前大多数学者都接受剩余格 [18] 是一种宽泛的模糊逻辑代数,R0-代数 [19] 等都可以看作是剩余格的特例。因此,本文将在剩余格上深入研究交软滤子的相关性质,如全体交软滤子的格结构,以及它们与全体交软同余之间的对应关系等。这些结论的获得不仅丰富了剩余格的滤子理论,而且扩大了软集的应用。

2. 预备知识

定义2.1 [18] :代数如果满足条件

(1)是有界格;

(2)是交换幺半群;

(3)构成伴随对,即当且仅当,则称为剩余格。

为了方便,约定

定理2.1 [19] :设为剩余格。则对任意

(1)

(2)

(3) 如果,那么

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10),其中

为论域上的参数集,称偶对为软论域。记的幂集。

定义2.2 [4] :设为软论域,映射,如果对任意的,都有,则称为是上的一个软集。

定义2.3 [4] :设分别为上的软集。若,则称的软子集。

定义2.4 [4] :设分别为上的软集。的交集和并集分别定义为:

3. 交软滤子及其格结构

本节引入剩余格上交软滤子的概念,验证所有交软滤子构成有界分配格。

以下假设为软论域上所有软集的集合,其中为剩余格,为论域。

定义3.1:设,如果

(1)

(2)

则称为剩余格上的交软滤子。

例3.1:设满足。定义上运算如下:

,

,定义满足,则容易验证为交软滤子。

文献 [17] 给出交软滤子如下刻画,结合剩余格性质,不难发现其证明都是基于剩余格的基本性质,因此可以类似的推广到剩余格。

定理3.1:设,则为交软滤子当且仅当以下条件成立:

(1)蕴含

(2)

定理3.2:设,则为交软滤子当且仅当蕴含

记软论域上的所有交软滤子的集合为。以下结果是显然的。

定理3.3:设为交软滤子,如果,那么

定义3.2:设,称包含的所有交软滤子的交为由生成的交软滤子,记为

定理3.4:设,定义,其中,则

证明:设满足,由定义有。对,有如下包含关系:

因此为交软滤子。设为交软滤子满足。由交软滤子定义有

所以

例3.2:从上述定理不难发现例3.1中

定理3.5:设为交软滤子且。定义

为交软滤子。

证明:设。如果,那么。由的定义有

。考虑如下情形:

情形1:。如果之一等于1,不妨设,那么。所以

如果或者,矛盾。

如果,则有

情形2:。显然,不可能有

如果或者,明显地,

如果,则有

总之,有。所以为交软滤子。

定义3.3:设为软集,定义如下:

定理3.6:设为交软滤子。则有

证明:首先证明为交软滤子。

显然,是保序的。所以是交软滤子。

容易验证,因此有

最后,假设是交软滤子,满足如果,则有;如果,则有

所以

为交软滤子,定义如下运算:

则有如下结果:

定理3.7:是有界分配格。

证明:只证分配性。

显然,,下证。设。如果,那么

如果,则有

,容易验证,则上式可表示为

所以,即分配性成立。

4. 交软同余

本节引入交软同余概念,讨论其性质及其与交软滤子之间的关系。

定义4.1:设上的软集,如果

(1)

(2)

(3)

(4),其中

则称上的交软同余。

给定交软滤子,定义

定理4.1:设的交软滤子,则是交软同余。

证明:由容易验证,故略。

上交软同余且。定义

其为的交软同余类。称为由确定的商集。

定理4.2:设上交软同余,则的交软滤子。

证明:由定义4.1(3)有

所以。由定义4.1(3)和(4)有

。所以为交软滤子。

定理4.3:设的交软同余,那么对任何

证明:由定义4.1(4)有

由定理2.1(1)和(10)有

因此

类似地,。所以

因此等式成立。

定理4.4:设的交软同余,那么

证明:由定理4.3有

所以

定理4.5:设的交软滤子,则

证明:容易验证,故略。

由定理4.4和4.5不难验证如下结果:

定理4.6:交软滤子的全体和交软同余之间存在一一对应。

定理4.7:设的交软滤子,那么当且仅当

证明:对任意,假定,则有

特别地,令,有

反之,由定理2.1(10)有

所以。类似地,。所以,即

的交软滤子。对任意定义如下运算:

定理4.8:设的交软滤子,则

为剩余格,称为由交软滤子诱导出的商剩余格。

证明:容易验证,故略。

5. 结束语

本文引入了剩余格上的交软滤子,讨论了它们的一些性质。特别地,证明了所有交软滤子构成有界分配格;在交软滤子和交软同余之间存在一一对应;剩余格相对交软滤子诱导出商剩余格。

作为本文的进一步研究,我们将结合文献 [20] 引入剩余格上各种类型具体的交软滤子,将软集应用到决策和数据分析上。

基金项目

临沂大学大学生创新创业训练项目(No. 201510452106);山东省自然科学基金(No. ZR2013FL006)。

文章引用

林春鑫,马振明. 剩余格上的交软滤子与交软同余
Int-Soft Filters and Their Congruences on Residuated Lattices[J]. 运筹与模糊学, 2017, 07(02): 37-44. http://dx.doi.org/10.12677/ORF.2017.72005

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