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Advances in Porous Flow
Vol.3 No.3(2013), Article ID:12279,6 pages DOI:10.12677/APF.2013.33006

Study of the Percolation Relationship between Fracture Density and Permeability of 2-D Facture Networks*

Juying Wan1,2, Hehua Xu1#, Weibing Shu1,2

1Key Laboratory of Marginal Sea Geology of Chinese Academy of Sciences, South China Sea Institute of Oceanology, Guangzhou

2University of Chinese Academy of Sciences, Beijing

Email: #xhhcn@scsio.ac.cn

Received: May. 26th, 2013; revised: Jul. 20th, 2013; accepted: Aug. 15th, 2013

Copyright © 2013 Juying Wan et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

ABSTRACT:

Fracture networks strongly influence oil migration in reservoirs, especially in low-permeability reservoirs. So the parameter of fracture permeability plays an important role during the exploration of oil and gas fields. Simplifying the fracture network of reservoirs, and continuum percolation theory are successfully applied for studying the fracture permeability in deep and complex media. By using excluded area to dimensionless the fracture density, macroscopic properties of fracture networks become independent of fracture shape. Using Monte Carlo simulation, the facture network with different fracture density is obtained, and then based on continuum percolation theory and finite element analysis software, called COMSOL Multiphysics, we get the relationship between dimensionless density and macroscopic permeability, which is scaling law. The simulated results may offer a simple and practical method to evaluate fracture permeability quantitatively and enhance the applications of percolation theory in the exploration of oil and gas fields.

Keywords: Low-Permeability Reservoirs; Continuum Percolation; Fracture Density; Macroscopic Permeability; Excluded Area

二维裂隙密度及其渗透率的逾渗关系研究*

万菊英1,2,许鹤华1#,舒卫兵1,2

1中国科学院南海海洋研究所,中国科学院边缘海地质重点实验室,广州

2中国科学院大学,北京

Email: #xhhcn@scsio.ac.cn

摘 要:

在低渗透介质储存中,裂隙是石油运移的主要通道。因而裂隙介质的渗透率是石油勘探的一个重要参数。应用连续逾渗模型分析,把低渗透储存的裂隙网络合理简化,能够对深层复杂介质的渗透规律进行研究。使用排除体积对裂隙密度进行无量纲化,从而使裂隙的宏观性与裂隙的形状无关。使用Monte Carlo方法模拟得到不同裂隙密度时的裂隙网络图,然后基于连续逾渗模型,采用有限元方法利用COMSOL Multiphysics求解器解,数值模拟得到裂隙的渗透率与无量纲化密度成乘幂关系。该模拟结果可能为裂隙网络渗透率的定量评价提供一个简单而又实用的方法。这一规则的发现也增强了逾渗理论在油气田勘探中的应用。

收稿日期:2013年5月26日;修回日期:2013年7月20日;录用日期:2013年8月15日

关键词:低渗透储层;连续逾渗;裂隙密度;宏观渗透率;排除体积

1. 引言

裂隙是渗流的主要通道,控制着油气在低渗透储层中的运移。过去的几十年,国内外学者对裂隙岩体的渗透性进行了大量的研究[1-3]。研究裂隙岩石的渗流特性,对油、气、水资源开发、环境保护和温室气体埋存等工程都具有重要的意义。但由于裂隙的定位、分析和测量极其困难,因而预测油气在低渗透裂隙储层中的渗透性一直是国内外关注的焦点,对石油勘探和开发具有重要的意义。

逾渗理论(Percolation Theory)是由Boardbent和Hammersley[4]在1956年提出的,最初逾渗模型被用于描述流体在随机多孔无序介质中的随机扩展和流动。岩体内部的多孔体由许多狭窄的孔喉连接而成的相互连通的集团。随着外部条件而逐步演化成为贯通整个多孔介质的连通团。这种经典的逾渗理论研究仅仅局限于孔隙介质,忽略了裂隙这一主要的渗流通道。裂隙渗流理论通过建立随机裂隙网络,研究了流体在裂隙网络中的流动。

近年来国内外使用逾渗理论对裂隙岩体渗流的研究正逐渐的深入,并对裂隙岩体的状和渗流系统进行了较为深入的研究[5,6]。裂隙岩体的渗流是指流体在岩体多孔介质或裂隙介质(裂隙、断层等)中流动,其相关理论在油、气、水资源开发、环境保护和温室气体埋存等工程等方面都有着重要的应用。根据仵彦卿[7]的归纳总结,裂隙岩体渗流模型大致可分为三种基本模型:等效连续介质渗流模型、裂隙网络渗流模型和双重介质渗流模型。等效连续介质是将岩石裂隙的透水性平均到岩石中去,其中心问题是求得渗透张量,不考虑其作用机制,显然对于岩体中存在尺寸较大的裂隙,也当成连续介质来处理是不合适的。双重介质渗流模型是由苏联学者Barenblatt[8]于1960年首次提出来的,把裂隙岩体看作两种介质组成,即裂隙介质导水、孔隙岩块介质储水,分别建立裂隙介质渗流模型和孔隙介质渗流模型,用裂隙和孔隙岩块水量交替公式连接,组成一个耦合方程式求解。对于低渗透储层,孔体的渗透率几乎为0,可以忽略。裂隙网络渗流模型最初是由Wittke提出的,考虑了裂隙的形状、大小、密度和方向等参数。这类模型适合渗透主要由裂隙控制的储存。应用该模型,需要进行野外调查,统计节理的分布规律,按照节理参数的分布概率,使用Monte Carlo理论随机生成裂隙网络模型。而且,该模型可以进一步建立应力场模型,完成渗流场和应力场的耦合分析。低渗透储层中,裂隙是油气运移的主要通道,控制着油气的运移。因而本文使用裂隙网络模型来研究裂隙岩体的渗流模型,研究二维裂隙密度和宏观渗透率之间的逾渗关系。

目前的研究发现,影响裂隙渗透率的主要参数是裂隙的密度,长度,开度和裂隙的方向。罗森[9]等认为裂隙的长度、密度和裂隙的连通性之间存在着正相关的关系,随着裂隙的长度、密度的增加,裂隙的连通性也增加。M. Masihi[10]通过数值模拟的方法分别研究了二维和三维情况下裂隙连通性和裂隙长度之间的关系,模拟结果表明裂隙连通性和裂隙长度之间存在正相关的关系。单裂隙渗透率的实验方法得到裂隙开度和渗透率之间的关系,即立方定律,表明裂隙的开度和渗透率之间也存在着正相关的关系。

对二维裂隙的密度和宏观渗透率之间逾渗关系的研究,目前国内鲜有学者对此进行研究,国外对裂隙的密度和宏观渗透率之间逾渗关系研究正逐渐深入[5,6]。Anosshen[5]使用Monte Carlo方法得到裂隙的网络图,并用有限体积法求的裂隙密度和渗透率之间是成幂的关系。Alireza[6]使用逾渗方法和分形几何理论研究了裂隙的逾渗性质。但是Alireza在建立裂隙网络图时没有考虑裂隙的开度,并且假定裂隙的方向全部为垂直的,事实上由于成岩作用,裂隙的方向分布是随机的。

本文使用裂隙网络渗流模型,并结合连续逾渗理论和COMSOL Multiphysics中自带的有限元方法,研究低渗透储层中裂隙密度与裂隙渗透性的关系。本文考虑了裂隙的分布方向、长度、密度和开度进而建立裂隙的网络图,然后通过引入排除体积,对裂隙的密度进行无量纲化,从而使裂隙的宏观渗透性与裂隙的形状无关,最后得到裂隙的无量纲化密度和宏观渗透率之间逾渗关系是成幂关系,并且将模拟结果和前人进行了对比。

2. 二维裂隙网络模型

2.1. 裂隙网络模拟的假设

裂隙网络模拟的基本假设有四条:

1)       裂隙的迹线是由裂隙中点、裂隙长度 、裂隙的方向 (定义为自x轴逆时针旋转至裂隙的角度)和裂隙的开度a 4个参数来确定,如图1。迹线开度的中点坐标为:

(1)

由于裂隙方向的随机分布,则裂隙的四个点坐标为:

2) 裂隙的模拟区域内,裂隙的中点服从均匀分布,裂隙的长度服从对数正态分布,裂隙的方向服从正态分布,裂隙的开度服从正态分布。

3) 模拟区域内的裂隙是狭窄的平面,迹长表示裂隙的长度,宽度表示裂隙的开度,方向表示裂隙的产状。

4) 模拟区域内裂隙的密度定义为区域内裂隙的总数[11],即

(2)

其中:——模拟区域内裂隙的总数

——模拟区域内裂隙的密度

——模拟区域的面积

2.2. 裂隙网络模拟的生成

近年来,随着计算机的发展,建立在概率论和统计学基础上的裂隙网络模型的研究得到了迅速的发展。裂隙网络模拟的主要方法是应用Monte Carlo方法,也叫随机抽样技术或统计实验方法。它的理论依据是概率中的大数定律,因此它的应用范围几乎没有什么限制,目前普遍认为它是相对精确的方法[12]。连续逾渗理论是处理具有强无序和随机结构系统的重要理论方法之一,本质上是概率论的一个分支。因而本文用连续逾渗理论方法和Monte Carlo方法来研究裂隙网络渗透率和裂隙岩体密度之间的关系。

根据目前对岩体裂隙几何分布的研究成果以及工程实践可知,岩体裂隙的几何参数一般服从某一种或几种的概率密度分布:裂隙的中点服从均匀分布,裂隙的长度服从对数正态分布,裂隙的方向服从正态分布,裂隙的开度服从正态分布。假设生成裂隙网络模型的岩体裂隙几何参数见表1所示。本文使用Monte Carlo方法,用Matlab在研究区域L = 50内得到裂隙的网络图如图2。由图2知:在相同裂隙长度情况下,随着裂隙密度的增加,流体在裂隙中运移的通道也增加。

2.3. 裂隙网络渗透率的逾渗性质

逾渗理论是概率论的一个分支,可以用来处理具有强无序和随机特征系统的重要理论方法之一,可以描述深层复杂几何结构系统的渗透性[13]。该理论的

Figure 1. A schematic drawing of a fracture

图1. 单个裂隙示意图

Table 1. The initial geometric parameter of fracture media

表1. 裂隙岩体的初始几何参数

优点是许多具有强无序和随机结构系统的性质可以用简单的代数关系来表示,即尺度定律(scaling law)来表示[14]。逾渗模型的二种基本模型是座逾渗(site percolation)和键逾渗(site percolation)。假定座(或者键)被占据的概率为p,即流体可以通过的概率为p。对于很小的p,则存在很多孤立不连通的渗流团,流体不能通过;随着概率p的不断增加,渗流团中的单元数逐渐增加,当p达到某个临界值pc时,存在可以贯穿区域二边的渗流团,即流体可以从区域的一边流到另一边,该pc值称为逾渗阀值,与空间维数和网格的形状有关。在逾渗阀值pc处是存在尺度定律[10]

(3)

其中称为逾渗概率,即单元属于最大逾渗团的概率,指数称为通用指数,在二维和三维情况下分别为0.139和0.4。通用指数只与空间维数有关,因而格子逾渗(lattice percolation)的通用指数和连续逾渗(continuum percolation)的通用指数一样。

随机分布在低渗透储层中的裂隙密度直接影响着裂隙储层的渗透性[10]。但是研究低渗透储层中的裂隙时,由于裂隙是在成岩作用下随机分布的,因而本文使用了连续逾渗理论。相对与格子逾渗,连续逾渗最大的优点是:在建立裂隙网络模型时,裂隙是随机分布在研究区域内,而不是分布在指定的格子里。目前国外使用连续逾渗理论对裂隙岩体渗流的研究正逐渐的深入[5,6]

Stauffer[13]使用连续逾渗,得到裂隙岩体的有效渗透率和其逾渗性质之间存在着幂率关系:

(4)

式中:是有效渗透率,分别为逾渗概率和逾渗阀值,即单元属于最大逾渗团的概率,为指数。

本文基于连续逾渗理论,猜想裂隙渗透率和裂隙密度之间存在相同的乘幂关系,即,式中为无量纲化裂隙的密度,为无量纲化裂隙的密度阀值,二维随机分布的裂隙 [15]。Balberg[15]提出排除体积的概念,将裂隙密度用排除体积来表示,对裂隙密度无量纲化,从而使裂隙的有效渗透率和裂隙的形状无关[11,16]。所谓排除体积,就是在一个系统中,一裂隙占据某一空间后,其余的裂隙仅能占据剩余的一定空间,体系总体积与允许其它裂隙占有的剩余体积之差就是被研究裂隙的排除体积。

二维裂隙网络模型中,排除体积与裂隙长度之间的关系表示如下[15]

(5)

裂隙的密度定义为:单位面积区域内裂隙的数目,因而裂隙的密度表示如下[11]

(6)

对裂隙的密度进行无量纲化,表示如下[15,17]

(7)

3. 流体的控制方程

假定流体是Newton流体,流动是定场、等温的,裂隙介质中的渗流速度很小,可以忽略对流作用。由于流体力学分析理论知,裂隙中的流动为层流,这时流体在裂隙介质的流动应满足Navier-Stokes方程,即:

(8)

其中是流体的速度,是流体的粘度,是压力梯度,低雷诺数情况下,不可压缩的牛顿流体满足Darcy’s方程:

(9)

其中是渗透率张量,由于本文研究的是各向同性的裂隙,因而可以简化为一个标量。根据上面二个方程,推导得:

(10)

左右边界采用周期性边界条件;在流体的下边界进口处,给定压力的边界条件为:,上边界出口处给定压力;固液交界面采用无滑移边界条件,即;在流体的进口处假定水平方向速度为0,即,由连续方程知,垂直方向的速度梯度为0,即。已知进口和出口的压力以及研究区域L,则可得压力梯度。计算

(a)(b)(c)(d)

Figure 2.The fracture network of different fracture density: (a); (b); (c); (d)

图2. 不同裂隙密度时的裂隙网络图:(a);(b);(c);(d)

的参数为流体的密度,动力粘度为:

采用有限元方法利用COMSOL Multiphysics求解器解方程(10)[18]。COMSOL Multiphysics是以有限元法为基础,通过求解偏微分方程(单场)或偏微分方程组(多场)来实现真实物理现象的仿真,被当今世界科学家称为“第一款真正的任意多物理场直接耦合分析软件”,因而本文使用COMSOL Multiphysics软件求解不同裂隙密度下的裂隙岩体渗透率值。

本文使用周期性边界条件来求解上式方程。划分网格后得到了一些列离散点处的线性方程为:

(11)

其中是节点处的压力矩阵,是相应的驱动力,是与网格几何形状有关的稀疏矩阵。使用有限元方法计算方程(10),得到了裂隙的速度和压力分布图,如图3。结合图3和表达式(9),推导得到流量Q为:

(12)

其中s是裂隙的开度,由于使用有限元方法来计算不同网格处的值,因而表达式(12)可以表示为:

(13)

(a)(b)

Figure 3 The velocity distribution (a) and pressure distribution (b) of fracture at the density of 0.055

图3. 密度为0.055时裂隙的速度和压力的分布;(a) 速度分布图;(b) 压力分布图

结合达西公式得到了裂隙网络宏观裂隙的平均渗透率为:

(14)

其中是研究区域的长度。

4. 结果和讨论

在裂隙网络模型中,裂隙密度的大小直接决定了模型中裂隙数的多少。从定性分析来说,裂隙网络模型中随着裂隙条数的增加,流体在模型中流动的通道就越多,渗透率变大。本文通过给出一组变化的密度参数来定量分析裂隙岩体渗透率的逾渗性质,如表2。

为了研究裂隙网络渗透率的逾渗性质,基于连续逾渗,使用Monte Carlo方法得到随机分布的裂隙网络图,其中裂隙的中点服从均匀分布,裂隙的长度服从对数正态分布,裂隙的方向服从正态分布,裂隙的开度服从正态分布。采用有限元方法利用COMSOL Multiphysics求解器解[18],得到不同裂隙密度时的裂隙有效渗透率。

由于是讨论裂隙密度和裂隙渗透率之间的逾渗性质,就需要实现只有密度改变,其它初始几何参数不变的条件下的不同的裂隙网络模型。这个过程的实现首先是通过建立各裂隙组密度最大、裂隙条数最多的模型,然后根据各裂隙组密度的减少、随机删除各裂隙组中的裂隙数目。这样就可以建立只有密度改变,其他几何条件不变的裂隙网络模型,从而来定量分析裂隙密度和裂隙岩体渗透率的逾渗性质。

根据图4知,在裂隙密度的逾渗阀值处,无量纲化裂隙密度和裂隙岩体渗透率在裂隙密度的逾渗阀值处服从幂函数的关系,该结果与Alireza[6]模拟得到关系一样,都是幂函数关系,即随着无量纲化裂隙密度的增加,裂隙岩体的渗透率也增加。但是Alireza[6]模拟的结果比本文模拟结果偏小,原因之一是Alireza在建立裂隙网络图时只考虑了二个参数:裂隙的密度

Table 2. The percolation properties of different kinds of fracture

表2. 不同类型裂隙的逾渗性质

Figure 4. The relationship between the permeability of fracture network and

图4. 裂隙网络渗透率和的关系

和裂隙的长度,没有考虑裂隙的开度和方向参数;另外一个原因是Alireza假设裂隙的方向全是垂直的。事实上裂隙的方向是随机分布的,且裂隙的连通性和裂隙的开度之间有正相关关系。所以Alireza的裂隙网络图连通性偏小,从而使得模拟有效渗透率偏低。

5. 结论

1) 在低渗透介质储存中,裂隙是石油运移的主要通道。石油在低渗透储层中的流动路径由随机分布的裂隙介质决定,根据裂隙岩体几何参数一般服从某一种或几种的概率密度分布,进而得到裂隙的网络图,应用连续逾渗模型,通过改变不同低渗透储层中裂隙岩体几何参数的概率分布,然后模拟得到储层中裂隙岩体渗透率参数和裂隙密度的关系函数,即幂律关系。

2) 低渗透储层具有复杂的地质特点,如何借助逾渗理论和模型,研究深层复杂介质的渗透性,获得渗透率等参数的理论分析和定量计算,增强逾渗理论在油气田开发中的应用能力,值得进一步深入探讨。

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NOTES

*基金项目:盆地深层油气运聚成藏过程量化分析与技术方法(国家重大油气专项二级专题,2011ZX05008-004-44)。

#通讯作者。

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