ABSTRACT

In this paper, we research some properties of Deng’s pseudo-metric, and show an equivalent form of its axioms. Therefore, we generalize Deng’s pseudo-metric from to completely distributive lattice。

Keywords:Deng’s Pseudo-Metric; Shi’s Pseudo-Metric, Fuzzy Point, Completely Distributive Lattice

Deng式伪度量在格上的推广

陈  鹏^1,2*，郭飞飞¹

¹河南科技大学，数学与统计学院，洛阳

²北京工业大学，应用数理学院，北京

Email: ^*chenpengbeijing@sina.com 

收稿日期：2014年3月2日；修回日期：2014年9月12日；录用日期：2014年9月29日

摘  要

本文研究了Deng式伪度量的一些性质，并给出了它的一种等价形式，由此把定义在上的Deng式伪度量推广到完全分配格上。

关键词

Deng伪度量，Shi伪度量，模糊点；完全分配格

1. 引言和预备

格上度量是格上拓扑学研究的重要内容，国外Erceg M.A.在上世纪70年代末给出了较经典的Erceg度量，得到了许多较满意结果[1] ，是无点派的优秀成果；国内邓自克教授上世纪八十年代初提出Deng度量，该度量是国内最早且较系统地研究过的度量，邓曾给出过该度量较漂亮的结果[2] ，是有点派的典范之一，但Deng度量是在这种特殊格上定义且是通过下列模糊点定义的，即

定义1.1 一个模糊点当且仅当是被定义如下[2] ：

这里。简记映射为，同时，被称为的余点。表示在所有模糊点的集合。

在文[3] [4] [5] 中，刘应明院士与王国俊教授分别对下列模糊点和重域(或远域)(参考后面预备知识)的合理性进行了论证，由此在上现大家广泛接受的模糊点是下列定义1.2，即

定义1.2是一个模糊点，当且仅当被定义如下[3] [4] [5] ：

尽管在文[2] 中，邓借助余点的邻域给出过该度量较好的结论。但由于Deng度量是建立在比较特殊的格与特殊的模糊点上，特别是邓给出的该度量公理体系在格上推广非常困难，这极大的局限了该度量的接受。

在文[6] 我们证明了Deng度量一定是Erceg度量，但反之不成立。并证明了Deng度量所诱导拓扑和-一致结构就是Erceg度量诱导拓扑和Hutton一致结构。本文在此基础上，给出了Deng度量的一组等价公理，由此把定义在上的Deng式伪度量很自然地推广到完全分配格上。

为此本文需要下列预备知识：

定义1.3 一个映射被称为Deng伪度量，如果它满足下列条件[2] ：

1) 如果，则；

2)；

3)；

4)，这里使得。

定义1.4  上的Shi伪度量是一个满足下列条件的映射[7] ：

(N1)如果，那么

(N2)

(N3)

(N4)使得使得。

注 (N4)是等价于下列条件

(N4)*。

定理1.5是一个Deng伪度量，如，有，且令和那么在上是一个Shi伪度量[6] 。

定义1.6是格上拓扑空间。1) 对称是的重域，若有开集使得且；2)的重域族称为的基，若对的任一重域，存在使得；3)称为是的，若对每一个有可数基[8] 。

2. 其它预备知识

本文表一个具有逆序对合对应“”的完全分配格。是指标集，是从到的全部映射组成的集，且带有点式地被定义和并按映射的大小顺序构成的一个偏序集。被叫一个分子，当且仅当对蕴含或，的全部分子集记为。分子表关系。是拓扑空间， (即为闭集)。如则称为的闭远域，如果有闭远域使，则称为的远域。其他未声明概念与符号请参考文[5] 。

3. 本文主要结果

为了推广Deng度量，首先我们证明Deng度量定义可以由下列定理中的(M1) - (M4)代替。

定理3.1 一个映射是Deng伪度量当且仅当它满足下列条件：

(M1) 如果，则；

(M2)；

(M3)，;

(M4)，，使得使得。

为证明定理3.1，我们需要证明下列一些引理，这些引理也是该度量的性质的进一步研究。

引理3.1 设映射满足(I)、(III)和(IV)，则(M3)成立。

证明 由于根据(I)和(III)得，从而。

假设，则，根据(IV)，使得而知有，从而矛盾，命题得证。

引理3.2 设映射满足(M3)，则(IV)成立。

证明 证明显然。

推论3.3 设映射满足(I)和(III)，则(IV) = (M3)。

证明 由引理3.1和引理3.2，结论显然。

引理3.4 设映射满足(I)、(III)、(IV)和(M4)，则(II)成立。

证明 取，根据(I)和(III)得

。

由于(N4)*Û(M4)，由(N4)*和引理3.2得：

。

同理。由上得。从而(II)成立，即命题得证。

推论3.5 设d映射满足(I)、(III)、(IV)，则(II) = (M4)成立。

证明 先证明(I) + (III) + (IV) + (II)Þ(M4)成立(由于(N4)*Û(N4)Û(M4))。

证(M4)成立，只需要证明(N4)*成立，设，因为

，

所以须证

由于

同理可证。根据(II)，能知有因此(N4)*成立。

其次有引理3.4 (I) + (III) + (IV) + (M4)Þ(II)成立。

定理3.1的证明 (M1)Û(I)，(M2)Û(III)，由推论3.3得(M3)Û(IV)，再由推论3.5得(II)Û(M4)，从而该命题结论成立。

定理3.2 设是一个映射，满足(N3)和(II)，则(IV)成立。

证明 取，由(N3)和(II)得

.

从而可知使得，再由(II)得，得即(IV)成立。

由于Deng度量是建立在比较特殊的模糊点上，且邓自克教授给出的公理也不好推广，这局限了该度量的使用和接受，现有了定理3.1，Deng度量很自然从到完全分配格上可做如下推广：

定义3.8上的Deng伪度量是一个满足下列条件的映射：

(L1)如果，那么

(L2)

(L3)

(L4)使得使得

这么推广的好处：第一：Deng度量在更加广泛的完全分配格上进行研究；第二：推广的Deng度量与Shi度量比较，两者仅仅(N3)与(L3)不同(Erceg度量一样，参考文[9] )，从而，根据使用不同连续性公理，得到三种Erceg度量，Den度量，Shi度量；第三，根据文[6] [9] 结论，尽管三种度量不同，但地位平行，它们之间既有联系又有差别，从诱导拓扑性质来看，上Deng度量性质优于Erceg度量和Shi度量，且根据定理1.5知：在上Deng度量所诱导的拓扑就是Shi度量诱导的拓扑，从而在上Deng度量是的。

参考文献 (References)

NOTES

^*通讯作者。