ABSTRACT

By using the Guo-Krasnosel’skii fixed point theorem, a Dirichlet boundary value problem with sign-changing nonlinearity is discussed and some results of existence and multiplicity of positive solutions are established.

Keywords:Positive Solution, Green Function, Fixed Point Theorem, Semipositone Problem

离散半正边值问题正解的存在性及多解性

曾云霞

广州大学数学与信息科学学院，广东 广州

收稿日期：2016年4月25日；录用日期：2016年5月10日；发布日期：2016年5月13日

摘 要

应用Guo-Krasnosel’skii不动点理论，在非线性项为变号函数的情形下，讨论离散Dirichlet问题，建立正解的存在性及多解性结果。

关键词 :正解，Green函数，不动点理论，半正问题

1. 引言

近几十年来，由于差分方程广泛的实际应用背景而日益引起人们的重视，有关差分方程的稳定性、周期解问题及边值问题的研究成果已有大量的文献。差分边值问题正解的存在性作为差分方程领域极其重要的一个研究分支也受到人们的广泛关注。关于这方面的研究，目前比较常用的工具和方法有临界点理论、上下解的方法、不动点方法和分支理论等 [1] - [8] 。在1994年，Anuradha-Shivaji [10] 考虑了下列两点边值问题正解的存在性

其中，，并且满足。Anuradha-Shivaji [13] 把文 [10] 中的研究方法运用到讨论Robin边值问题正解的存在性

其中，为参数，，且在无穷远处满足超线性增长条件。

在1996年，Anuradha在文献 [11] 中讨论了Sturm-Liouville边值问题

正解的存在性。其中，，即下有界的，并且在无穷远处满足超线性增长条件，即对一致成立。

文 [9] 将 [11] 中的研究结果推广到如下离散边值问题

同样要求有下界，并且在无穷远处满足超线性增长条件。

2011年，文 [12] 考虑了如下半正二阶多点边值问题正解的存在性

其中，为正参数，非线性项连续且下有界，。此外，还可参见文 [14] - [21] 。

最近，文 [22] 讨论了如下Neumann边值问题正解的存在性

文 [22] 将以上文献的条件极大地加以减弱，非线性项可能最终是非正的甚至是下无界的。

本文，我们研究如下Dirichlet问题

(1.1)

我们的目的是在非线性项可能下无界的情况下讨论正解的存在性和多解性。为此，我们做如下假设：

(C1)：连续；

(C2)：存在，使得；

(C3)：存在函数，及，使得

本文内容安排如下：在第二部分，我们做一些必要的准备工作，给出一些引理及Guo-Krasnosel’skii不动点定理；在第三部分给出问题(1.1)正解的存在性及多解性结果，并给予证明。

2. 准备工作

引理2.1：若，则问题(1.1)没有正解。

证明：假设，且问题(1.1)存在正解，则

。设。

若或，则由边界条件知，，这与为正解矛盾。

若，则

从而，，这与矛盾。

所以，若，则问题(1.1)没有正解。

注：由引理2.1知，要研究问题(1.1)正解的存在性，非线性项不能恒小于0。因此，我们给出了条件(C2)。

记

考虑如下线性Dirichlet边值问题

(2.1)

引理2.2. 问题(2.1)有唯一解

(2.2)

其中

，且。

证明：显然，对所有都成立，则。下面证明满足方程，即。因为

我们只需证明。由于为特征方程的根，对所有及，有

同理，我们可以得到。考虑，再次利用方程，有

故。

易知(2.1)对应的齐次方程只有零解，所以方程(2.1)有唯一解。又由知。

记

易知。

引理2.3.。

证明: 注意到在上单调递减，在上单调递增。当时，有

。

当时，有

。

因此，。

引理2.4：。这里

证明：当时，一方面，

另一方面，

因此，。

定义

我们考虑边值问题

(2.3)

容易得到下列结果：

引理2.5：是边值问题(1.1)的解当且仅当是边值条件问题(2.3)的解，且。

下面我们给出本文的主要工具：Guo-Krasnosel’skii不动点定理。

引理2.6：设是实Banach空间，是的一个锥，是中有界开集，全连续算子。如果下列条件之一满足

(i)

(ii)

则在中必有不动点。

3. 主要结果

本节我们介绍本文的主要结果及其证明。记

定义

定理3.1：设(C1)~(C3)成立，如果存在，使得

(C4)，，

则问题(1.1)至少存在一个正解。进一步，若

(C5)最终非正，即，当时，对所有，

(C6)，

则问题(1.1)至少存在两个正解。

证明：假设(C4)成立，我们先利用引理2.6证明方程(2.3)至少存在一个正解。

取空间，其中范数。定义

(3.1)

又由(C1)知，全连续，定义锥

(3.2)

由引理2.3，。接下来，证明在内有不动点，它是(2.3)的一个正解。

令

(3.3)

对，我们有。则

。又。因此由(C4)得到

即。

现在证明对成立。设，由引理2.4，对，

(3.4)

从而。再通过(C4)，对，

所以，由引理2.6知，算子有一个不动点，满足，也就是说，为边值问题 (2.3)的正解。又，故是边值问题(1.1)的一个正解。

现在，若(C5) (C6)都成立，我们证明问题(1.1)存在另外一个正解。由(C5)得到

对一致成立。因此存在，对成立。

取。对任意的，类似于(3.4)，我们有

(3.5)

从而，。因此，由条件(C6)，对任意的，

故，。因此，由引理2.6知，算子有一个不动点，且满足。所以是满足边值问题(1.1)的另外一个正解。

推论3.2：设(C1)~(C3)成立，且存在，使得(C4)成立。如果对一致成立，且，则边值问题(1.1)至少存在两个正解。

证明：取和分别是由(3.1)(3.2)和(3.3)给出的。由定理3.1的证明，有一个不动点，且，故为边值问题(1.1)的一个正解。现在，我们证明有另外一个不动点。

取足够小使得。从对一致成立，我们可以找出一个当，有。选取和。当，容易得出(3.5)成立。从而

。

因此，对，

即，。

因此，由引理2.6知，算子有一个不动点，且满足。所以是满足边值问题(1.1)的另外一个正解。

定理3.3：设(C1)-(C3)成立。如果存在，使得

(C4)*：，，

则差分方程边值问题(1.1)至少存在一个正解。更进一步，若同时满足

(C5)*：最终非负，即，当时，对所有，

(C6)*：，

则差分方程 (1.1)至少存在两个正解。

证明：取和分别是由(3.1)(3.2)和(3.3)给出的。类似于定理3.1的证明，若(C4)*成立，则和。所以有一不动点满足，它为问题(2.5)的正解并且满足。因此，由引理2.5知为(1.1)的一个正解。

若条件(C5)*和(C6)*同时成立，对(C5)*，我们知道

对一致成立。故存在，当时，有。选取及。对任意的，我们有

从而，。结合条件(C6)*，对满足，有

即，，。所以有另外一个不动点使得。因此，边值问题(1.1)存在两个不同的正解及。

下面推论可直接由定理3.3得到。

推论3.4：设条件(C1)-(C3)成立，且存在，使得(C4)*成立。如果对一致成立，且。则边值问题(1.1)至少存在两个正解。

文章引用

曾云霞. 离散半正边值问题正解的存在性及多解性
Existence and Multiplicity of Semipositone Discrete Boundary Value Problems[J]. 应用数学进展, 2016, 05(02): 232-241. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.52030

参考文献 (References)