ABSTRACT

In this paper, by the Bernoulli numbers and the exponential complete Bell polynomials, we establish one general asymptotic expansion related to the similar constant B of Glaisher-Kinkelin constant A and the function.

Keywords:Glaisher-Kinkelin Constant A, Similar Constant B, Asymptotic Expansion

关于Glaisher-Kinkelin常数A的类似常数B的 渐近展开

唐超敏^*，刘红梅，史云霄，石桂庆

大连民族大学理学院，辽宁 大连

收稿日期：2016年11月2日；录用日期：2016年11月18日；发布日期：2016年11月24日

摘 要

在本文中，通过Bernoulli数和指数型完全Bell多项式，我们建立了关于Glaisher-Kinkelin常数A的类似常数B和的渐近展开式。

关键词 :Glaisher-Kinkelin常数A，类似常数B，渐近展开

1. 引言

Glaisher-Kinkelin常数被定义为：

，(1.1)

其中，为超阶乘函数。最近，根据Euler-Maclaurin公式，Chen [1] 给出了下列关于超阶乘函数和Glaisher-Kinkelin常数的渐近展开：

， (1.2)

其中，为Bernoulli数。

在式(1.2)的基础上，Wang and Liu [2] 对超阶乘函数和Glaisher-Kinkelin常数推导出以下一般渐近展开：

.(1.3)

最近，我们发现，Chen [1] 还建立了以下关于和常数的渐近展开：

(1.4)

其中，为Glaisher-Kinkelin常数的类似常数。

以上知识给了我们一个启发，我们希望通过Bernoulli数和指数型完全贝尔多项式去推导出关于Glaisher-Kinkelin常数的类似常数和的渐近展开：

.(1.5)

为了得到这个渐近展开式，我们需要下列指数型完全Bell多项式的相关知识。指数型完全Bell多项式被定义为(见 [3] , Section 3.3)：

. (1.6)

它的具体表达式为：

. (1.7)

另外，根据 [4] , p.36, Equation (44)和 [5] , Theorem 1可以知道多项式满足递归式：

. (1.8)

2. 定理及证明

2.1. 定理

令为实数，，并定义，则我们有下列关于和常数的渐近展开：

，

其中，当时，；当时，

， (2.1)

在式(2.1.1)中，当时，；当时，.

2.2. 证明

令，由(1.6)以及的定义，我们可以将式(1.4)改写为：

另外，将展开为关于的幂级数：

.

要证：，即要使下列等式成立：

.

当我们定义时，上式可以写成：

.

通过以上等式，我们得到一个唯一解，而且有如下递推关系：

其中，满足(1.8)，定理得证。

通过指数型完全Bell多项式的定义(1.6)我们可以容易地计算出。下面我们列出的前几项：

.

将和取特殊值，我们可以得到一系列有关Glaisher-Kinkelin常数的类似常数和的渐近展开。下面我们举出几个例子。

3. 例子

令，分别取1，2，3，当时，我们有：

，

，

.

基金项目

国家自然科学基金/Natural Science Foundation of China (11501081)，省级大学生创新创业训练计划项目(项目编号：S201612026050)，中央高校基本科研基金(DC201502050405)。

文章引用

唐超敏,刘红梅,史云霄,石桂庆. 关于Glaisher-Kinkelin常数A的类似常数B的渐近展开
The Asymptotic Expansion Related to the Similar Constant B of Glaisher-Kinkelin Constant A[J]. 应用数学进展, 2016, 05(04): 646-650. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.54075

参考文献 (References)