ABSTRACT

The mode I fracture toughness K_Ic of rocks is a mechanical properties index which characterizes the resistance of instability expansion of inner cracks, namely brittle fracture damages of materials, but it is usually difficult to obtain this parameter in laboratory test. Therefore, based on the equivalent principle of uniaxial tensile strength of rocks, combining the relationship between mode I fracture toughness K_Ic and tensile strength of rocks with the relationship between experience parameter m_i of Hoek-Brown (H-B) strength criterion and uniaxial compressive, tensile strength of rocks, a new estimation method of mode I fracture toughness K_Ic of rocks based on uniaxial compressive strength and experience parameter m_i of rocks is proposed. Lastly, the reliability of the correlation is validated by some related testing results. When the basic testing data are unavailable, the proposed correlation can provide a preliminary estimation value of mode I fracture toughness K_Ic by the uniaxial compressive strength of rocks.

Keywords:Rocks, Mode I Fracture Toughness, Uniaxial Compressive and Tensile Strength, Experience Parameter m_i, Correlations

一种岩石I型断裂韧度K_Ic估算方法

刘军¹，孙辉²

¹东南大学混凝土及预应力混凝土教育部重点实验室，江苏 南京

²东南大学土木工程学院，江苏 南京

收稿日期：2018年1月7日；录用日期：2018年1月21日；发布日期：2018年1月29日

摘 要

岩石的I型断裂韧度K_Ic是表征岩石材料抵抗裂纹失稳扩展即脆断破坏的力学性能指标，而在实验室开展该参数的测试工作往往比较困难。为此，本文基于岩石单轴抗拉强度等效的原则，结合岩石I型断裂韧度与单轴抗拉强度、岩石Hoek-Brown (H-B)强度准则的经验参数m_i与单轴抗压和抗拉强度之间的相关关系，提出以岩石单轴抗压强度和参数m_i估算岩石I型断裂韧度K_Ic的经验公式。最后，通过相关试验成果验证了经验公式的可靠性。在缺乏必要的试验数据时，所建议的经验关系式可用于通过岩石单轴抗压强度对I型断裂韧度的初步估算。

关键词 :岩石，I型断裂韧度，单轴抗压、抗拉强度，经验参数m_i，相关关系

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1. 引言

断裂韧度是表征材料，如：岩石、混凝土等抵抗裂纹失稳扩展即脆断破坏的力学性能指标。脆性和半脆性岩体断裂是地壳表层广泛存在的地质构造，也是工程地质、探矿工程等研究的重要对象。长期以来，在岩体地下工程、页岩气开采、CO₂地质封存等过程中广泛采用的工程爆破和水压劈裂等技术，关于岩石断裂韧度的评价显得愈加重要。朱传云 [1] 指出预裂爆破装药密度与断裂韧度之间存在必然联系，并由岩石I型(张开型)断裂韧度估算预裂爆破的线装药密度；陈建国等 [2] 指出岩石断裂韧度对于定量评价页岩储层可压裂性具有重要的意义并进行了室内断裂韧度测试，从而建立断裂韧度与地球物理测井数据之间的直接联系；陈治喜等 [3] 为对水力压裂设计中裂缝的几何形态进行有效预测，提出利用液体压力对空心厚壁圆柱形岩样进行压裂而测定岩石断裂韧性的简单方法；水工大坝“无坝不裂”的铁律，对拟建混凝土大坝的材料抗裂、防裂提出一定的要求，并开展这方面的研究工作 [4] 。研究表明：岩石类脆性材料的破坏，其根本原因之一在于岩石内部的微裂隙向前延伸扩展，而引起微裂隙向前延伸扩展的根本原因在于其受到了拉应力的作用 [2] 。Erdogan和Sih关于脆性材料的复合型裂纹失稳扩展问题，提出了最大周向拉应力理论，指出当周向拉应力达到临界值K_Ic时断裂失稳扩展 [5] ；Whittaker等 [6] 从已有试验数据得出，最大主应力理论最能解释岩石的断裂特性。对于地下工程中的许多结构来说，常常处于压剪复合应力状态下 [7] ，并且复合型裂纹扩展中的压剪断裂可以等效转化为张开型裂纹扩展问题，如李世愚、潘别桐等关于I-II型复合断裂判据的推导 [8] [9] ，而滑移型(II型)和撕开型(III型)裂纹扩展实质是裂纹I型起裂后在扩展过程中产生的次生现象 [10] 。因此，反映材料抵抗张开型裂纹扩展的I型断裂韧度K_Ic的测试越来越受到广大科研工作者的研究与关注。

岩石材料断裂韧度参数的测试和断裂力学试验技术的研究是工程断裂力学的重要组成部分 [11] 。目前，ISRM对岩石断裂韧度K_Ic的测试推荐三点弯曲、短圆棒、巴西圆盘3种测试方法。但这些试验的开展需要专用试验设备，并且已有经验表明试件制备时间较长，难以获得与规定的公差相一致的切口尺寸，采用不同测试方法和试样类型获得的I型断裂韧度值往往存在较大差异，使这一参数的准确获得与合理评价带来诸多不便。此外，Colak等 [12] 建立了目前运用最为广泛的岩石通用屈服准则——Hoek-Brown (H-B)岩体强度准则中的参数m_i与岩石间接拉伸强度σ_tB、单轴抗压强度σ_c之间的经验关系式，并且E. Hoek等结合大量工程地质人员来自实验室和工程实践的经验积累，提出了比较全面且可以覆盖多种岩石类型(包括岩石质地和矿物成分)的参数m_i取值方法，详见文献 [13] 。故相对而言，岩石经验参数m_i和抗压强度σ_c的获取比较容易，并且对于岩石单轴抗压强度的测试已形成国际统一标准。

因此，探讨岩石的I型断裂韧度与其强度参数的相关性具有十分重要的理论和工程意义。本文开展岩石I型断裂韧度K_Ic与抗拉强度、经验参数m_i与抗拉及抗压强度的关系分析，提出结合H-B强度准则中的参数m_i，由岩石单轴抗压强度估算取值较为困难的I型断裂韧度K_Ic的简单实用方法。相较以往的类似研究成果，本文因结合了岩石的经验参数m_i，考虑了岩石类型对其断裂韧度的影响，使拟合得到的经验公式更具有一般性。最后通过与相关其他试验成果的比较，验证了公式的可靠性。在缺乏必要的试验数据时，所建议的经验关系式可用于通过岩石的单轴抗压强度对I型断裂韧度的初步估算。

2. 岩石I型断裂韧度K_Ic与抗拉强度的关系分析

邓华锋等 [10] 对于岩石纯I型断裂问题运用断裂力学中的最大周向拉应力理论，从理论上分析了岩石I型断裂韧度与抗拉强度的相关性，其表达式如下：

$K_{\text{I}c}={\sigma }_t\sqrt{2\pi r}$ (1)

式中，K_Ic为岩石的I型断裂韧度，MPa∙m^1/2；σ_t为岩石的单轴抗拉强度，MPa；r为裂纹扩展半径，m。

因此，从理论上讲，对于某种岩石的纯I型断裂破坏，其裂纹扩展半径r值应该是一个常数。试验研究表明，岩石类脆性材料的抗拉强度与I型断裂韧度之间存在良好的线性关系，基于不同类型的岩石试验结果，研究者们已建立多种反映岩石I型断裂韧度与抗拉强度之间的经验关系，表1列出用数据统计方法给出的一些经验公式。

以上统计结果表明，对于各种不同类型的岩石，其I型断裂韧度与抗拉强度之间都可以建立相应的经验关系。鉴于Zhang Z X提出的经验公式是基于各种不同类型的岩石，并且相关系数很高，故以岩石抗拉强度为联结，由岩石单轴抗压强度σ_c和参数m_i估算岩石I型断裂韧度K_Ic的修正经验公式时，岩石断裂韧度K_Ic与抗拉强度经验公式采用σ_t = 6.88K_Ic。

3. 岩石参数m_i与抗拉、抗压强度的关系分析

H-B强度准则中反映不同类型岩石软硬程度的经验参数m_i提供的只是一个范围值，而更加精确的m_i取值尚需通过一系列的室内岩石力学试验获得，如根据岩石三轴压缩试验数据进行拟合。因此，研究者从理论或数据拟合角度已进行了大量的参数m_i的试验取值研究，并建立参数m_i与岩石间接拉伸强度σ_tB或直接拉伸强度σ_t、单轴抗压强度σ_c等的经验关系式，表2列出用数据统计方法给出的一些经验公式。

考虑到岩石抗拉强度会因试验方法的不同而各异，并且在目前的工程实践中，巴西试验已被广泛应用于确定岩石的间接抗拉强度，统计资料中将以劈裂抗拉强度为主，故在接下来的分析计算中，文献中基于不同测试方法得到的拉伸强度不再细分而统称为抗拉强度。

从以上统计结果可知，不同研究者都试图构建参数m_i与比值σ_c/σ_t或者σ_c/σ_t和σ_t/σ_c等之间的关系，但具体形式差别较大。同样，鉴于不同研究者在数据拟合时样本数量及岩石类型有限，这些关系式对各种类型的岩石不一定都具有适用性。下面将通过本文统计的近100组包含岩石单轴抗压强度和抗拉强度值(部分数据如表3所示)，对表2中的经验关系式一一进行分析检验，然后探索岩石经验参数m_i与抗拉、抗压强度值之间的一般关系。

Cai由Griffith强度理论推得脆性材料的抗拉强度为抗压强度的1/8 [17] ，岩石单轴抗拉强度与抗压强度的比值大致分布在区间1/10~1/20，该结论已为较多研究者提出 [22] ，由本文统计的岩石强度参数计算

表1. 岩石断裂韧度K_Ic与抗拉强度经验公式统计表

表2. 岩石参数m_i与强度参数的经验关系

表3. 部分岩石单轴抗压强度和抗拉强度统计结果^*

注：^*未列数据详见文献 [21] 中岩石的自然含水状态下的测试结果。

得到的抗拉与抗压强度的比值，绝大多数也分布在此区间。因各种岩石的经验参数m_i分布在2~35之间，故Richards等提出的经验公式对于m_i值较大及较小时将无法有效预测；Cai提出的经验公式含有岩石单轴压缩试验中的初始起裂强度σ_ci，虽然该值可由岩石单轴压缩试验中的声发射过程得到，但其与抗拉强度的关系尚不明确；经初步试算，由Gercek提出的经验公式得到的m_i值普遍偏小。故Colak等提出的经验公式成为唯一的选择，但通过比较Richards等与Colak等提出的经验公式可以发现，后者的计算结果要稍小于前者，该差值即为岩石单轴抗拉强度与抗压强度的比值，故尚需根据统计结果对Colak等提出的经验公式进行重新拟合，在比值σ_t/σ_c与σ_c/σ_t前分别确定一个系数a和b (形如式(2)所示)，使修正后的经验关系式能够较好地反应大多数岩石的经验参数m_i与其抗拉、抗压强度之间的关系。

$m_i=a\frac{{\sigma }_c}{{\sigma }_t}-b\frac{{\sigma }_t}{{\sigma }_c}$ (2)

根据表3及文献 [21] 的岩石单轴抗压强度和抗拉强度共计近100组统计结果，以比值σ_t/σ_c与σ_c/σ_t为自变量，经验参数m_i为因变量，采用1stOpt 4.0数理统计软件进行非线性曲线拟合(图1)，拟合的结果为a = 1.318，b = 4.586，即：

$m_i=1.318\frac{{\sigma }_c}{{\sigma }_t}-4.586\frac{{\sigma }_t}{{\sigma }_c}=1.318\frac{{\sigma }_c}{{\sigma }_t}-4.586\frac{1}{{\sigma }_c/{\sigma }_t}$ , R² = 0.731 (3)

利用表达式(3)并结合岩石的经验参数m_i即可通过岩石单轴抗压强度间接获得单轴抗拉强度。但表达式(3)的相关系数并不高，可能的原因有：

1) 岩石参数m_i是基于三轴试验并且围压通常很大而获得的一经验值，部分岩石的取值区间较大，最大差值可达10，对于单轴拉伸或压缩应力状态下可能不太适用，针对某一特定岩石合理而准确地确定其m_i值存在较大的困难。

2) 鉴于岩石强度测试为破坏性试验以及试件数量的多寡等原因，故在部分统计结果中，岩石的单轴抗压强度与其抗拉强度可能不具有代表性。

图1. 参数m_i与比值σ_c/σ_t关系曲线

4. 岩石I型断裂韧度K_Ic确定新方法及验算

4.1. 岩石I型断裂韧度K_Ic确定新方法

李江腾等 [23] 曾基于4种不同类型的岩石试验结果建立岩石I型断裂韧度K_Ic与抗压强度之间的相关关系。比较Zhang Z X建立的岩石I型断裂韧度K_Ic与抗拉强度、参数m_i与单轴抗压和抗拉强度之间的经验关系即式(3)，结合参数m_i并以单轴抗拉强度为联结，提出以岩石单轴抗压强度和参数m_i共同确定I型断裂韧度K_Ic的新方法，如式(4)所示。

$K_{{\rm I}c}=-\frac{{\sigma }_c\left(m_i-\sqrt{m_i{}^2+24.177}\right)}{63.103}$ (4)

则在通过岩石单轴压缩试验获得其单轴抗压强度并结合参数m_i，即可根据式(4)方便地获得岩石I型断裂韧度K_Ic的估测值。

表4. 采用修正试用关系式的计算结果

4.2. 岩石I型断裂韧度K_Ic确定新方法的验算

以下通过本文统计的试验数据(包括13组包含岩石I型断裂韧度和单轴抗压强度值，14组包含岩石I型断裂韧度与抗拉强度、单轴抗压强度值的室内试验数据)对Zhang Z X推荐试用的岩石I型断裂韧度K_Ic与其抗拉强度之间的关系式和岩石参数m_i与其抗拉、抗压强度之间的经验关系式(3)进行可靠性检验。根据统计结果由岩石经验参数m_i与单轴抗压强度σ_c通过式(3)计算得到单轴抗拉强度σ_t，将σ_t代入Zhang Z X的直线关系式来估算K_Ic的值或直接由岩石经验参数m_i与单轴抗压强度σ_c通过式(4)来估算K_Ic的值，同时评价K_Ic的计算误差，采用修正试用关系式的计算结果如表4所示。

从表4可以看出，由式(4)估算得到的断裂韧度K_Ic的预测值大多具有较好的精度，除去两个最大误差，最大相对误差约为65%，在缺乏必要的试验数据时，该经验关系式可用于通过岩石单轴抗压强度对其I型断裂韧度进行初步估算。当岩石的经验参数m_i较大而单轴抗压强度与抗拉强度较小时相对误差也相应地增大。

5. 结论与建议

1) 岩石参数m_i与抗拉、抗压强度之间的经验关系式可表示为m_i = 1.318σ_c/σ_t − 4.856σ_t/σ_c，R² = 0.731。由此关系式，即可由岩石参数m_i和单轴抗压强度得到抗拉强度预测值。

2) 利用关系式 $K_{{\rm I}c}=-\frac{{\sigma }_c\left(m_i-\sqrt{m_i{}^2+24.177}\right)}{63.103}$ ，即可通过岩石单轴抗压强度并结合H-B强度准则中

的经验参数m_i，估算取值较为困难的I型断裂韧度值K_Ic。

3) 岩石经验参数m_i与其抗拉、抗压强度之间的相关关系可能因岩石类型不同而相差较大。以上建议的三者之间的经验关系式，其相关系数R²并不高，通过岩石单轴抗压强度估算的部分I型断裂韧度K_Ic与实测值相差较大。针对不同岩石类型建立参数m_i以及断裂韧度K_Ic与其强度参数之间的经验关系有待于进一步的理论和试验研究。

文章引用

刘 军,孙 辉. 一种岩石I型断裂韧度K_Ic估算方法
An Estimation Method for Mode I Fracture Toughness K_Ic of Rocks[J]. 土木工程, 2018, 07(01): 74-81. http://dx.doi.org/10.12677/HJCE.2018.71010

参考文献 (References)