Advances in Applied Mathematics
Vol.07 No.01(2018), Article ID:23557,4
pages
10.12677/AAM.2018.71011
Fuzzy Number Expands to a Power Series of Triangular Fuzzy Number
Hangliang Li, Huili Pei
College of Mathematics and Information Science, Key Laboratory of Machine Learning and Computational Intelligence, Hebei University, Baoding Hebei
Received: Dec. 22nd, 2017; accepted: Jan. 19th, 2018; published: Jan. 26th, 2018
ABSTRACT
In this paper, it is studied that fuzzy number expands to power series of triangular fuzzy numbers. By introducing the definition of H-difference imaginary fuzzy number, the H difference between the fuzzy numbers can be calculated as the form. And then it is shown that formula of fuzzy number expands to power series of triangular fuzzy numbers.
Keywords:Power Series of Triangular Fuzzy Numbers, H-Difference Imaginary Fuzzy Number, Power Series Expansion
模糊数的三角模糊数幂级数展开
李洪亮,裴慧丽
河北大学,数学与信息科学学院,机器学习与人工智能重点实验室,河北 保定
收稿日期:2017年12月22日;录用日期:2018年1月19日;发布日期:2018年1月26日
摘 要
本文研究了模糊数表示成三角模糊数的幂级数问题。通过引入H差虚模糊数,使得模糊数之间的H差可以作形式计算,进而得到了模糊数展开成三角模糊数幂级数的公式。
关键词 :三角模糊数幂级数,H差虚模糊数,幂级数展开
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
自从模糊数的概念1972年被Chang提出,很多模糊分析学家对相关研究问题给予了很大的关注,并做出了很多贡献 [1] [2] [3] 。2009年,Mila Stojaković [4] 研究了特定条件下的模糊集项级数,扩大了研究对象的范围,即将模糊数水平集的闭性和紧性换成了弱闭性和弱紧性,得到了更加广泛的结论。
本文主要研究了模糊数项级数求和的反问题,研究了在一定条件下,模糊数展开成三角模糊数幂级数的展开公式问题。该问题的解决有助于模糊数的近似表示,以及计算机储存问题。
2. 预备知识
记 为模糊数空间。对 ,令 , , 。称 为水平集,记为 。根据模糊数的定义可知 为关于水平 的单调递增函数, 为关于水平 的单调递减函数, 。根据Zadeh扩张原理得到的加法运算,若存在模糊数 使得 ,则称 的H差存在,称 为 的H差,记为 。记 为隶属函数是单点集合 特征函数的模糊数。
定理2.1 [5] :如果 , ,则 ,并且 时, , 时 。
定理2.2 [5] :如果 , 存在,则 。
3. 模糊数的三角模糊数幂级数展开
根据参考文献 [6] 的论证可知:模糊数的H差可能不存在,并且Zadeh扩张原理下,模糊数的线性组合无法表示H差,这使得含有H差的算式不能利用线性组合表示。为了计算表达的便捷性,我们引入下述概念:
定义3.1:如果 ,记 ,称 为H差虚模糊数。
定理3.1:如果 ,则 。
证明:根据定理2.1和定理2.2可得。
对于任意的 , ,有 ,因此 并不存在。可知 是不存在的,只是一个形式符号。
记 , ,因此 ,为了表述方便,这里我们称 分别称为模糊数 的左部和右部,根据定义可知, 均为模糊数。
定理3.2:如果 , 收敛,则 ,其中 时,模糊数的运算为H差。
证明:根据定理2.1,定理2.2,以及文献 [5] 中的定理7,可知结论成立。
定理3.3:对 ,任意的 , 关于变量 能展开成麦克劳林级数,则 ,其中 为三角模糊数。
证明:设三角模糊数 ,根据已知及定理3.2,可知对任意的 ,有
根据定理2.1和定理2.2,可知 ,对任意的 成立。因此
其中 为正数时, 运算表示模糊数的数乘运算, 为负数时, 运算表示H差虚模糊数运算。记 ,由此可知 。
定理3.4:对 ,任意的 , 关于变量 能展开成麦克劳林级数,则 ,其中 为三角模糊数。
证明:根据定理2.1及左部右部的定义, ,并且有 ,根据定理3.3,可知
其中,连加号前面的负号表示模糊数的数乘。
定理3.5:对 ,任意的 , 与 能展开成麦克劳林级数,则
证明:根据定理3.3和定理3.4及模糊数左部右部的定义可知结论成立。
4. 模糊数展开成三角模糊数幂级数的应用
例4.1:设模糊数 的 , ,利用三角模糊数近似表示 ,并估计误差。
解:根据 的隶属函数可知, 。利用定理3.3,可得
取 ,则有 ,根据 [6] 中的结论可知,上述H差存在。而实际上
根据 [5] 中关于收敛模糊数项级数的结论可知,该模糊数项级数收敛,取前两项作为 的近似值,上确界度量下的误差 。
5. 总结
本文通过引入H差虚模糊数的概念,使得多个模糊数的连加连减运算可以做形式运算。虽然有些中间结果是H差虚模糊数,但最终的运算结果仍可能是模糊数。这使得三角模糊数项级数的表达式可以涵盖某些项是H差虚模糊数的情况,大大强化了三角模糊数项级数的表示能力。这里还证明了一般的模糊数展开成三角模糊数项级数公式,即定理3.5。这个结论为模糊数的近似计算,以及在计算机中的储存提
供了工具。比如例4.1中的模糊数 可以近似储存为向量 ,这样在计算机中储存模糊数比直接储存模糊数的隶属函数简化了,更便于模糊数在计算机中的应用。
基金项目
国家自然科学基金项目(61572011);河北省自然科学基金项目(F2016201161);河北省高等学校科学技术研究重点项目(ZD2017005);河北省教育厅青年基金(QN2014039)。
文章引用
李洪亮,裴慧丽. 模糊数的三角模糊数幂级数展开
Fuzzy Number Expands to a Power Series of Triangular Fuzzy Number[J]. 应用数学进展, 2018, 07(01): 91-94. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2018.71011
参考文献 (References)
- 1. Diamond, P. and Kloeden, P.E. (1994) Metric Space of Fuzzy Sets-Theory and Applications. World Scientific, Singapore.
https://doi.org/10.1142/2326 - 2. 吴从炘, 马明. 模糊分析学基础[M]. 北京: 国防工业出版社, 1991.
- 3. 吴从炘, 马明, 方锦喧. 模糊分析学的结构理论[M]. 贵阳: 贵州科技出版社, 1994.
- 4. Stojaković, M. and Stojaković, Z. (2009) Series of Fuzzy Sets. Fuzzy Sets and Systems, 160, 3115-3127.
https://doi.org/10.1016/j.fss.2008.12.013 - 5. 李洪亮, 裴慧丽, 欧芳芳. 模糊数项级数的收敛性[J]. 哈尔滨商业大学学报, 2012, 33(2): 212-213.
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