ABSTRACT

We introduce the notions of multiple content and parallel arithmetic series. Based on the overlap law of multiple contents and properties of parallel arithmetic progressions, we discuss the appearance rule of multiples in the series of natural numbers. As applications, we prove the even number Goldbach’s conjecture and the twin prime conjecture.

Keywords:Multiple Content, Overlap Law, Covering Theorem, Parallel Arithmetic Series, Sieve of Both Sides

倍数含量筛法与恒等式()的妙用

鲁思顺

临沂大学，山东 临沂

收稿日期：2017年6月23日；录用日期：2017年7月7日；发布日期：2017年7月13日

摘 要

本文挖掘出倍数含量及等差项同数列的概念，根据倍数含量重叠规律及等差项同数列的性质，对自然数列中倍数出现规律作了深入的探讨。作为应用，我们证明了偶数哥德巴赫猜想与孪生素数猜想。

关键词 :倍数含量，重叠规律，覆盖定理，等差项同数列，两筛法

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1. 引言

1.1. 偶数2n表为两自然数和的式子共有n种形式

记作为有序对偶集合：

如果把A(B)中的加数是合数及1的式子都筛除干净，若还有剩余的式子，说明偶数2n能表示为两素数之和。

1.2. 小于n的相差为2的数对共有n-2种形式

记作：

其中C(D)为有序对偶集合

如果把C(D)中的数是合数的都筛除干净，若能证明剩余的式子有无穷多，则说明存在无穷多相差为2的素数对。

2. 简单比例单筛

2.1. 倍数含量

在连续的n个自然数的集合中，自然数的倍数个数有或(为去尾取整)。

定义1：中数的个数与自然数的比值，叫做自然数的倍数含量.在中非的倍数含量为。

易知，的倍数含量与成正比例关系，的倍数个数与的倍数含量的正负误差的绝对值小于1。

2.2. 倍数含量重叠规律

引理1 [1] ：在里的倍数含量中，的部分倍数含量，也就是的倍数的含量中的的倍数含量，占有。

证明：在里，合数的倍数含量为，而。证毕

注：明筛与暗筛

由引理1知，明筛的倍数含量，同时也按照比例暗筛去了的部分倍数含量。

推论1 [1] ：筛除的倍数含量后，在剩下的非的倍数含量中，的倍数含量有。

证明：。证毕

由推论1知，筛除的倍数含量之后，欲筛除剩余部分中的倍数含量，只需对剩余部分，再筛除，即可。

推论2 [2] ：在中的n个数中，依次筛除的倍数含量后，在非的倍数含量中，的倍数含量占有，非的倍数含量占有()

证明：用数学归纳法证明

(I) 当时

在中，根据倍数含量的定义，，，的倍数含量分别为，，。

根据引理1及推论1，易得

。

。

则命题成立。

(II) 假设当时命题成立

即在中的倍数含量为

(1)

非的倍数含量为：

(2)

下边证明当时，命题成立。

由p的任意性及假设可知：

在中的倍数含量分别是：

(3)

(4)

(3)~(4)

(5)

(2)~(5)

综合(I) (II)，命题成立。

我们把推论2中，按照在的倍数含量占有比例规律，依次递筛的倍数含量，求出非倍数含量的方法，叫做倍数含量简单比例单筛法。

例1：带有1至210编号210名同学站在操场上，带操

老师第一次下口令，让编号是2的倍数的同学坐下，

老师第二次下口令，让编号是3的倍数的同学坐下，

老师第三次下口令，让编号是5的倍数的同学坐下，

老师第四次下口令，让编号是7的倍数的同学坐下，

问最后，还有几位同学站着？

解：因为210是2，3，5，7的公倍数，2，3，5，7的倍数含量与倍数个数相等，用推论2计算，得

3. 加强比例单筛法

3.1. 覆盖定理 [2]

引理2(覆盖定理)：设为小于的素数，即使间隔最小，即为孪生素数时，仍有

证明：因为 (为孪生素数时，等号取得)

所以。证毕

3.2. 加强方法

在筛除2，3的倍数时，我们不妨用和代替原来的2，3的倍数(含量)占有比例，在筛除的倍数时，依据引理2(覆盖定理)按照比例筛除，这种筛除方法我们称之为倍数含量加强比例单筛法。

,

4. 等差项同数列及其性质 [2]

大偶数2n表为两数和的式子共有n种形式：

前项集合：，

后项集合：，

要是把前项集合A，后项集合B中 (，的最大素数)倍数的式子都筛除干净，若还有剩余的式子，就说明大偶数能表为两素数和的式子。

问题是，筛去A中的一个素数的倍数(如3的倍数，是一个数列)，要带走B中的一个数列，这两个数列，都是等差数列，项数相同。下面我们看它们之间有什么性质。

4.1. 等差项同数列

定义2：如果两个正整数等差数列,项数相同，公差相等，则称这两个数列为等差项同数列。

定义3：设长度为的，公差为的等差数列，若，则称为在数列中的倍数含量，为其占有比例。

引理3：在长度为的，公差为的等差数列中，若自然数满足，则中的倍数个数有或个。

证明：只需证明当时中有且只有一个的倍数。

设数列为，则它们中任意两个元素对的余数不相同，若不然设关于同余，从而可得，即，这是不可能的。所以关于互不同余,从而其中有且只有一个的倍数。证毕

4.2. 等差项同数列的性质

引理4 (等差项同数列的性质)：若两数列为等差项同数列，则自然数在两数列中的倍数含量相等。即的倍数含量在两个数列中所占比例相等。

证明：由引理3显然。

引理4说明，明处是筛去A中的一个素数p的倍数(如3的倍数，是一个数列)，带走B中的一个数列，即带走了B中的q的部分(与筛去A中同样多少的)倍数含量。再进行下步筛去q的倍数含量时，只对剩余部分筛，就可以了。

主筛与从筛

在通过筛合数而筛式子的过程中，称筛除中素数的倍数含量的过程为主筛，称带走的中的数的过程，叫做对的从筛。

由引理1，引理4可知，筛除中的素数的倍数含量时，不仅按引理1 (重叠比例定理)暗筛中的的部分倍数含量，而且又按照引理4 (等差项同数列的性质)从筛了中的的部分倍数含量。

5. 两筛法

5.1. 简单比例两筛法

大偶数2n表两数和的式子共有n种，

,

前项集合：，

后项集合：，

两边(前项A，后项B)同时按引理1的推论2及定理4，筛除A，B中 (为小于等于最大素数)的倍数含量，两筛过程：其中2的倍数成对出现，所以只要筛除中2的倍数就把中2的倍数带走了。这样筛2的倍数含量时，只要一次按2的倍数含量的比例进行筛除即可(其余的是2n倍数的，也都按照两次筛，作为加强了)得

5.2. 加强比例两筛法:

依据引理1的推论2,引理2，引理4，两边(前项A，后项B)同时加强依次筛除A，B中 (为小于等于最大素数)的倍数含量，筛除2，3的倍数时，用和代替原来的2，3的倍数(含量)占有比例，在筛除的倍数时，按照比例筛除，这种筛除方法我们称之为加强比例两筛法，简称两筛法。

易得

(的最大素数)

由此易得，第一个算式：

(的最大素数) (一)

5.3. 加强比例两筛法的另一应用：

小于n的差为2的数对，共有种形式：

前项集合：，

后项集合：。

两边(前项C，后项D)同时加强筛除C，D中 (的最大素数)的倍数含量，筛除2，3的倍数时，用和代替原来的2，3的倍数(含量)占有比例，在筛除的倍数时，按照比例筛除，则最后至少剩下

(最大素数)。

(的最大素数)个式子。

所以，小于n的相差为2的素数对

(后边中括号中的每一项都小于1，则乘积小于1)

去掉中括号，−1暂且忽略不计，易得，第二个算式：

(最大素数) (二)

5. 恒等式的妙用

恒等式，看似简单，一个巧妙的应用，却解决了以上两个算式由有限到无限的问题。

算式(一)：的值(其中，的最大素数)，在时，其值永远大于2。

证明：取，，(q为合数)，巧用，

(其中，是小于的最大合数)，

，所以，用1代替，

从而

经过计算易知，计算到时，其值是2.1471949104后边的每项都大于1。

所以取，为，。当，时，其值永远大于2.即时，，问题得证。

即大偶数都能表为两素数之和。

算式(二)：

(其中，的最大素数)，求证：在是无穷大时，L的值也一定是无穷大的.

证明：取，，(q为合数)，巧用。

(其中，的最大素数)

(其中为小于的最大合数，即)

因为，所以，用1代替

(二)

又(二)中的q为偶合数时的，式的连乘积

所以， (二)

在(二)式中为有限数，，，，……等又都大于1，

是无穷大的，小于的最大偶合数也是无穷大的，那么也是无穷大的。

所以其积，也一定是无穷大的，−1也就真的可忽略不计了。

即：差为2的素数对有无穷多。

类似的，易证，差为4的素数对也有无穷多。

文章引用

鲁思顺. 倍数含量筛法与恒等式((a/b)×(b/a)=1 )的妙用
Sieve of Multiple Content and Subtle Effects of ((a/b)×(b/a)=1 )[J]. 理论数学, 2017, 07(04): 288-296. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.74038

参考文献 (References)