Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 394-398 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.36060 Published Online November 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Lagrangian Stability of a Class of Second-Order Periodic Systems Shunjun Jiang College of Sciences, Nanjing University of Technology, Nanjing Email: jiangshunjun@njut.edu.cn Received: Oct. 9th, 2013; revised: Oct. 18th, 2013; accepted: Oct. 24th, 2013 Copyright © 2013 Shunjun Jiang. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which per- mits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: By the iteration of KAM, the following second-order differential equation: ,,, 0xfxxtaxbx xext is studied. Under some assumptions on the parities of ,, f xxt and , by a small twist theorem of reversible mapping, the existence of quasi-periodic solutions and boundedness of all the solutions are obtained. ,ext Keywords: Reversible System; KAM Theorem; Boundedness of Solutions 一类二阶周期系统的 Lagrangian 稳定性 江舜君 南京工业大学理学院,南京 Email: jiangshunjun@njut.edu.cn 收稿日期:2013 年10月9日;修回日期:2013年10 月18 日;录用日期:2013 年10月24 日 摘 要:用KAM 迭代方法研究了下列二阶微分方程: ,,,0xfxxtaxbx xext 。当 ,, f xxt 与 ,ext的导数满足一定条件时,利用关于可逆映射的小扭转定理得到拟周期解的存在性与 所有解的有界性。 关键词:可逆系统;KAM定理;解的有界性 1. 引言 在文献[1]中,作者研究下面的二阶方程: 2 ,xfxtxnx xpxt ,0 (1) 其中 ,, f xt x 有界,并且 ,,1,,,fxtfxtpxt pxt 1。 假设 ,, f xt x 以及 满足恰当的假设,使方程(1)具有可逆结构。通过将原方程化为一个可积系统 的小扰动,运用KAM 定理,[1]证明了方程的所有解的有界性。 px 受到文献[2-5]的启发,本文讨论下面的二阶方程 ,,,0xfxxtaxbx xext (2) Open Access 394 江舜君 一类二阶周期系统的 Lagrangian稳定性 其中 1 ,, ks k ks fxyt x Cx xy , 1 , ks k ks ext x Cx xt , (3) 01 , ,可以看出非线性扰动项是无界的,这也是本文与[5]不同的地方。 0,0, ,6xksm 2. 主要结论 定理 1. 假设,关于 t都是 周期 , 满足(3)且有 6 ,eCf C 62π ,,,,, ,,, ,,,,,,, . f xytFxytext ext f xytF xytextext (4) 那么所有(2)的解都是有界的。 3. 定理 1的证明 3.1. 作用角变量与坐标变换 通过坐标变换,方程(2)可变换成下面的系统, , xy yfaxbxextx (5) 由条件(4),我们很容易看出,(5)关于对合 :, ,Gxyxy具有可逆结构。 令 c 为方程 的解,显然满足初始条件0xaxbx 01,01xx 并且令 s 为其导数。下面做 变换: . xrc yrs 在变换 下,系统(5)变为: ,,rx y 111 222 ,,,, ,, 1,, 1,,,, rftrNtrPtr ft rNt rPt r (6) 其中 1 1,,Nt rarcs , 1 1,,Pt rafses 11 1 2,,Nt rarc , 1 2,,Pt rarfces 容易验证 11 ,, ,, f tr ftr , 22 ,, ,, f trftr ,因此,系统(6)关于对合 :, ,Gr r 。 是可逆的。 为了估计 12 ,,,,, f trftr ,我们需要下面的引理。 引理 1 令 ,,,,,,,,f trftrcrseretrcrs ,如果 ,, f tr 和满足(3),那么 有 ,,et r ,, ,, , ks ks kk ks ks ft ret r rcrr rtrt cr (7) 对, 6Rks 成立。 Open Access 395 江舜君 一类二阶周期系统的 Lagrangian稳定性 证明. 由直接计算,引理 1可以直接验证,因此我们省去细节。 为了下面讨论方便起见,我们引入函数空间 m M 的概念。 定义 1. 令 。我们称 2 12 ,nnn N n fM ,如果对 12 0,0jn sn ,存在,使得 00r0c 1 ,,, , , jjs rt o rDDftrcrr rtSS 1 。 由函数空间 的定义,易得 m M 1 12 5,5 5,5 ,,, ,,ftrMrftr Mr (8) 因此对于足够大的 ,我们有r21fr 。当 ,系统(6)等价于下面的系统: 1r 1 11 1 2 d,, 1,, d d1,, d rft rft r tftr (9) 容易验证 11 ,, ,, f tr ftr , 22 ,, ,, f trftr 。因此系统(9)关于对合 是可逆 的。我们将系统(9)写成下面的形式: :. ,Grtrt 111 11 222 22 d,, ,,,,,, ,, d d1,,,, 1,,,,,, d rftrhtr NtrPtrhtr t f trhtrNtr Ptrhtr (10) 其中 12 1 2 ,, 1 f f ht r f , 2 2 2 2 ,, 1 f ht r f 并且有 1122 ,,,,,,,,,ht rhtrhtrhtr , 因此(10)关于对合 ,,Grtr t也是可逆的。由直接计算,易得 21 22 12 5,5 5,5 ,,, ,,htr Mrhtr Mr (11) 现在系统(10)有如下形式 11 22 d,, ,, d d1,, ,, d Nt rgt r tNt rgt r (12) 其中 111 ,,,,,, g tr Ptrhtr , 222 ,,,, ,, g tr Ptrhtr 。由(11),易得 21122 12 5,5 ,,max,, ,,max,gt rMrrgtrrr (13) 下面,我们将对系统(12)进一步做变换。 引理 2. 存在变换 , ,tt rSr ,使得系统(12)变为 1 22 d,, d d1,, ,, d gt r tNt rgt r (14) 其中 1 15,5 ,,gt rMr , 25,5 ,,gt rMr 。并且系统(14)关于对合 ,Gt t, 是可逆的。 证明. 令 Open Access 396 江舜君 一类二阶周期系统的 Lagrangian稳定性 1 1 1 0 ,,,d 1 r SrNtrar 那么有 ,,2πp Sr Sr , ,Sr Sr, 。容易验证 1 5,5 ,SrM r 。因此 ,rt, 关于 ,rSr 微分同胚。那么,存在函数 ,LL 使得 ,rL ,其中 ,2π, p LLr , ,,LL ,Lr 且 。 1 5,5 M 通过上面的变换,(12)变成(14)其中 1122 22 ,,,, , ,,,,,,,, g tgtLgtNtNtLgt L , 由(13)以及直接计算,我们有 211 22 12 5,5 5,5 ,,max,, ,,max,gtrM rrgtrM rr 。 既然 ,LL , ,系统(14)关于对合 :, ,Gtt 是可逆的。引理 2证明完毕。 下面我们将对方程(14)中第二个式子进行变换,主要是把 2,,Nt r 中的平均项分离出来。 Lemma 3. 存在变换 , ,tS 使得系统(14)变为 1 22 d,, d d1, d H tNH , (15) 其中 1 2 N ,2π11 0 1ad 2πc , 12 ,, ,,,HH 满足 21122 12 5,5 5,5 Hmax,, max,MrrHMrr (16) 并且系统(15)关于对合 :, ,G 是可逆的。 证明. 定理证明类似引理 2。 3.2. Poincare映射与不变环面 令 2 N 。当 时, 1 2 N ,故 0 。 定义变换 1 , ,那么系统(15)有如下形式 1 2 d,,, d d1,, d g g , (17) 其中 2 1 1122 d ,,,,,,,,,,,,, d N gHgH 引理 4扰动项 1 g ,2 g 满足下面估计: 0 1 12 , , ks ks ks ks gc gc 0 1 (18) 其中 0max,1 0 1 。 Open Access 397 江舜君 一类二阶周期系统的 Lagrangian稳定性 Open Access 398 证明. 当 时,估计(18)易由(16)得出。引理 4得证。 1ks 由引理 2、3以及(18),我有 1122 ,,,,,,, ,,,,,,gggg 。 系统(17)关于对合 :, ,G 是可逆的。令为(17)的Poincare 映射,则关于P P :, ,G 也 是可逆的并且有以下形式: 1 22 2π2π,, ,, pp g g 1 (19) 其中 , 1 S 1, 2 。 12 ,, ,,,gg 满足 0 1 12 , ks ks ks ks ggc (20) 至此,我们验证了映射(19 )满足[6] 中针对可逆映射的扭转定理的所有条件。这意味着当 足够小,存在 Poincare 映射的不变环面,保证了系统(5)解的有界性,因此(2)的所有解都是有界的。这样定理 1的证明完毕。 4. 致谢 本文由国家自然基金青年基金资助,基金号11301263。 参考文献 (References) [1] Kunze, M., Kupper, T. and Liu, B. (2001) Boundedness and unboundedness of solutions for reversible oscillatorsat resonance. Nonlinearity, 14, 1105-1122. [2] Morris, G.R. (1976) A case of boundedness of Littlewood’s problem on oscillatory differential equations. Bulletin of the Australian Mathe- matical Society, 14, 71-93. [3] Dieckerhoff, R. and Zehnder, E. (1987) Boundedness of solutions via the twist theorem. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa- Classe di Scienze, 14, 79-95. [4] Levi, M. (1991) Quasiperiodic motions in superquadratic time-periodic potential. Communications in mathematical physics, 143, 43-83. [5] Liu, B. (2005) Quasiperiodic solutions of semilinear lienard reversible oscillators. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 12, 137-160. [6] Liu, B. and Song, J. (2004) Invariant curves of reversible mappings with small twist. Acta Mathematics Sinic, English Series, 20, 15-24. |