ABSTRACT

The initial-boundary value problem for a kind of fourth order nonlinear Schrödinger equations is studied in this paper. Firstly, with the help of the semi-group theory, the existence and uniqueness of local solution of initial value problem is obtained. Secondly, a new global existence criterion for the classical solution is given by using B-G inequality, namely, that whether the solution globally exists is determined by whether its H² norm blows up.

Keywords:Nonlinear Schrödinger Equation, Initial Value Problem, B-G Type Inequality, Global Solution, Blow-Up Criteria

一类四阶非线性Schrödinger方程的爆破准则

米彩莲，卢美虹，杨晗

西南交通大学数学学院，四川 成都

收稿日期：2016年11月3日；录用日期：2016年11月19日；发布日期：2016年11月24日

摘 要

本文通过改进的B-G型不等式研究了一类四阶非线性Schrödinger方程的初边值问题。首先借助半群理论得到初值问题局部解的存在唯一性，其次利用B-G型不等式得到了初值问题经典解整体存在的一个新判定准则，即整体解是否存在可由其H²范数是否爆破决定。

关键词 :非线性Schrödinger方程，初值问题，B-G型不等式，整体解，爆破准则

1. 引言

本文考虑如下四阶非线性Schrödinger方程的初边值问题

(1.1)

其中是复值函数，为常数，为边界充分光滑的有界区域。问题(1.1)描述的是在Kerr非线性介质中强激光束的稳定孤子的传播模型，其中为波函数。方程(1.1)有如下守恒律

质量守恒

， (1.2)

能量守恒

. (1.3)

首先回顾经典Schrödinger方程的一些研究结果。Brézis和Gallouët [1] 研究了如下的二阶三次非线性Schrödinger方程

(1.4)

的初边值问题，其中。该文借助半群理论、能量估计及B-G型不等式

，且， (1.5)

建立了解的范数的先验估计，得到初边值问题(1.4)经典解的整体存在性。事实上，B-G型不等式(1.5)是对经典的Sobolev不等式的改进，即由把线性增长控制减弱为由对数增长控制，这是该文的主要创新点。

Tsutsumi [2] 考虑了更一般的非线性Schrödinger方程

(1.6)

的初边值问题，其中，对初始条件加以更多限制，即要求，。

作者考虑了的情形，运用衰减估计、Strichartz不等式及B-G型不等式，得到当时，，方程(1.6)存在唯一整体解，即，使得

，

和

。

最近，Ozawa和Visciglia [3] 研究了如下半波方程的初值问题

(1.7)

其中，建立了如下的B-G型不等式

，， (1.8)

引入能量泛函，运用Yosida正则化准则得到相应的能量估计，进而得到方程(1.7)存在唯一解，且得到一个新的爆破准则，即

i) 当时，整体解存在；

ii) 当，且时，解爆破。

文 [3] 还研究了如下的二阶四次非线性Schrödinger方程的初边值问题

(1.9)

其中。作者建立了如下的B-G型不等式

，， (1.10)

得到方程(1.9)存在唯一解，且得到一个新的爆破准则，即

i) 当时，整体解存在；

ii) 当，且时，解爆破。

在空间、中分别判定问题(1.7)、(1.9)的整体解的存在性，通常是考查其、范数的有界性，而该文判定整体解是否存在只需分别考查其、范数是否有界即可，这是该文的创新之处。

对于四阶非线性Schrödinger方程情形，Karpman和Shagalov [4] 考虑了如下方程的初值问题

， (1.11)

其中为参数，且充分小，为空间维数。在文 [4] 中分别给出稳定孤子在一维、二维和三维的存在性和稳定性的条件。Zhu，Yang和Zhang [5] 考虑了如下的四阶非线性Schrödinger方程的初值问题

， (1.12)

研究了低正则性解的爆破问题，即考查初值在低正则能量空间的情形。

上述文献没有给出解的爆破准则。本文希望利用文 [3] 的技巧研究方程(1.1)，借助半群理论及Segel定理，得到初值问题局部解的存在唯一性，并且通过建立一个B-G型不等式，得到初值问题经典解整体存在的一个新爆破准则。

本文主要结论如下：

定理1.1 假设为边界充分光滑的有界区域，为常数，并记，，，则对，方程(1.1)存在唯一经典解，即，使得

。

且有如下的二则性原理

i) 当时，整体解存在；

ii) 当，且时，解爆破。

注：一般情况下判定解是否整体存在要考查其范数是否有界，本文拟对其改进，建立如下的爆破准则。

定理1.2 假设在定理1.1的条件下，存在如下二则性原理

i) 当时，整体解存在；

ii) 当，且时，解爆破。

注：由定理1.2知，判定方程(1.1)的解是否整体存在只需考虑其范数是否爆破，而在通常情况下判定解是否整体存在要考查其范数是否有界，这是本文的创新。

本文的安排如下：首先在第一节中介绍背景知识及给出定理1.1和定理1.2；B-G型不等式的构建及在空间上具有局部Lipschitz连续的证明将在第二节给出；最后定理1.1及定理1.2的证明在第三节给出，通过引入合适的能量泛函，建立解的范数估计。

2. 准备工作

类似文献 [3] ，我们首先构建一个B-G型不等式。

引理2.1具有光滑边界的有界域，对成立

， (2.1)

证 存在延拓算子P：，且满足

P是的有界算子，

P是的有界算子，

，，

令，记为的Fourier变换，易知

， (2.2)

， (2.3)

， (2.4)

对，则有

其中，上式可得

(2.5)

此处用到这个事实：当常数时，得到成立，结合(2.4)及(2.5)式，此处取，因此。证毕。

引理2.2 记，，，则具有局部Lipschitz连续。

证 i)易证，

ii)下证具有局部Lipschitz连续。

(2.6)

只需对做如下估计

(2.7)

下面分别对做估计。

根据Sobolev嵌入定理

， (2.8)

及

，(2.9)

对第一项进行如下估计

对做估计

(2.10)

把Sobolev嵌入不等式

， (2.11)

及Gagliardo-Nirenberg不等式

， (2.12)

代入(2.10)得

。

对进行估计

，

由Sobolev嵌入不等式

， (2.13)

及(2.8)式得

.

对进行估计

由Gagliardo-Nirenberg不等式

， (2.14)

Poincaré不等

， (2.15)

及(2.8)，(2.13)式得

运用(2.8)，(2.13)及(2.15)式，对最后一项进行估计

基于的估计，得具有局部Lipschitz有界。证毕。

3. 主要结论的证明

下面分别对定理证明。

3.1. 定理1.1的证明

证 由于为自伴的m-增值算子，又根据引理2.2得具有局部Lipschitz连续，则由segel定理 [6] ，可得定理1.1成立，证毕。

3.2. 定理1.2的证明

事实上，我们只需证明有界可推出有界。

首先引入下列能量泛函

，

引理3.2.1在定理1.1的条件下，则有如下等式

(3.1)

　　证 由(1.2)式，则有

(3.2)

把(3.2)式中第二项变为

其中经计算得

对于的计算如下

此处为常数。

引理3.2.2在定理1.1的条件下，且，得

， (3.3)

证 由引理3.2.1，可知

下面分别给出的估计，其中第一项估计为

由(2.12)式即得

，

同理，对做估计

由(2.12)式得到

利用不等式，对做估计有

由Gagliardo-Nirenberg不等式

，(3.4)

及(2.12)得到

对进行估计

由(2.12)，(2.13)及(3.4)式，即对于上式第5项估计

可得

下面对进行估计

对进行估计，同理，即有

从而引理3.2.2得证。

定理1.2的证明

首先假设，且，由引理3.2.1，需要对下面几个进行估计，运用Hölder不等式及加权的Young不等式得

， (3.5)

利用加权的Young不等式得

(3.6)

同理，则有

(3.7)

又由能量泛函的定义及(3.5)~(3.7)式有

， (3.8)

再结合(3.3)式和(3.8)式有

(3.9)

由Gronwall不等式得，从而得出矛盾，并结合定理1.1，进而得出结论，证毕。

文章引用

米彩莲,卢美虹,杨晗. 一类四阶非线性Schro^¨dinger方程的爆破准则
Blow-Up Criteria for a Kind of Fourth Order Nonlinear Schro^¨dinger Equations[J]. 应用数学进展, 2016, 05(04): 672-682. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.54079

参考文献 (References)