ABSTRACT

In this paper, by comparing the axioms of Erceg-Peng metric and classical metric, we have proved that there is no intrinsic relationship between the topology induced by Erceg metric and the continuous condition in its axioms, and further given some relationships of several types of basic spheres in Erceg-Peng’s pseudo-metric.

Keywords:Induced Topology, Erceg-Peng’s Axiom, U_r Open Mapping, B_r Closed Mapping

Erceg伪度量连续性公理及其基本球的关系的研究

陈鹏，胡志娟，杨晓，金梦洁，刘磊磊，田志钢

河南科技大学数学与统计学院，河南 洛阳

Email: chenpengbeijing@sina.com

收稿日期：2015年5月7日；录用日期：2015年5月22日；发布日期：2015年5月29日

摘 要

该文通过对Erceg-Peng公理与经典度量公理进行比较，证明了它的诱导拓扑与Erceg-Peng度量公理的连续性条件没有本质的联系，并且还进一步给出Erceg-Peng的一些基本球之间的一些相互关系。

关键词 :诱导拓扑，Erceg-Peng公理，开映射，闭映射

1. 引言和预备

自从Erceg M.A.在文献[1] 中引入伪度量概念以来，格上度量理论已取得了很大的发展 [1] - [7] 。Erceg M.A.的伪度量定义是基于集合间的Hausdorff距离而引入的 [8] 。

为了研究Erceg度量，本文从另一个角度通过对Erceg-Peng度量公理与一般拓扑学中度量公理进行比较，我们猜测Erceg-Peng度量公理的连续性条件对它的诱导拓扑没有本质的影响，从而，从拓扑学角度出发，Erceg度量公理可以进行简化，为了证明这种猜测，我们先列出一般拓扑学中公理如下：

定义1.1 [9] 设是一个不空集合，一个伪拟度量(简称p.q.度量)是一个映射满足下列条件：

(A1)，如果，那么；

(A2)，。

一个p.q.度量称为伪度量(简称p.度量)，如果还满足：

(A3)。

除(A1)，(A2)，(A3)外，如果还满足：

(A4)，则，

那么称是在上的一个度量。

由于Erceg度量的定义较为复杂且直观意义不明显，鉴于此，1992年，彭育威在文 [5] 中最先给出了Erceg伪度量的点式意义的简化形式定义如下：

定义1.2 [5] 格上的Erceg-Peng伪拟度量(简称Erceg-Peng p.q.度量)就是满足下列条件的函数：

(B1)，如果，那么；

(B2)，；

(B3)，。

一个Erceg-Peng伪拟度量被称为Erceg-Peng伪度量，如果还满足下列条件：

(B4)使得使得。

除(B1)，(B2)，(B3)和(B5)外，如果还满足下列条件：

(B5)，如果则，

那么称是在上的一个Erceg-Peng度量。

在Erceg-Peng度量公理中，如去掉(B3)，显然定义1.1就是定义1.2的特殊形式。其中(B1)，(B2)，(B5)分别是(A1)，(A2)和(A4)的推广，(B1)，(B5)分别与(A1)，(A4)的差异是由于上带有序的结构；(B4)体现了完全分配格的对合对应的性质，它是(A3)的推广。

通过比较，发现在定义1.1中没有条件与(B3)对应，由此我们猜测：在Erceg-Peng度量公理中的条件(B3)对它所诱导的拓扑没有实质的作用，即去掉(B3)，这将不会改变它所诱导的基本拓扑性质。为了证明这种猜测的正确，现给出一些必要的定义和引理。

定义1.3设是一个映射。且对，定义映射为：。另外还分别定义映射和使得且当时，和。

引理1.4 设是映射，则。

证明：如，则结论显然。不妨设。根据的定义知。因此。反过来，设，则有，从而使得且。根据的定义可得，所以。由此得，由的任意性知。综述命题得证。

引理1.5 如果映射满足(B4)，则。

证明：设。对每个(也就是)，且(也就是且，根据(B4)，且使得。由此有，(否则，存在使并且，但从和定义，有，因此，再根据得，矛盾)。这表明只要就有，因此，即。所以。

反过来，设且，则，即使得。根据(B4)，知使得。所以。由和得和，因此有。根据与得，即。这就是说只要就有，因而可得，即。综上所述，命题得证。

引理1.6 如果映射满足(B4)，则。

证明 由引理1.4，引理1.5和DeMorgan对合律可得下面等式：

引理1.7 设是一个满足(B1)，(B2)和(B4)的映射，则为，及，有下列结论：

1)；

2)；

3)；

4)；

5)。

证明 1)和2)是显然的。

3) 由。再根据引理1.5显然。

4) 由引理1.6得。

5) 从3)和4)有，因而(5)获得证明。

定义1.8 设是一个满足(B1)，(B2)和(B4)的映射，对每个和，定义一个映射使得。

注1.9 首先，在这定义中，如果，那么演变为，这与前面引理1.6结论相一致，这说明如此定义是有意义且与定理1.6不矛盾。其次，根据引理1.6和定义1.3，对每个和，可得。因此在本文后面的论述和证明中，对它们两者不加区别，等同看待。

在本文我们规定：表示一个具有逆序对合对应“”的完全分配格，简称fuzzy格；中所有非的-既约元(也被称为点)的集合记为(或)；中每个元都有一个最大极小集用表示，且易见也是的一个极小集，当且仅当，这里恰是上的way below关系 [4] [10] ；定义域是值域是的映射定义为。指有，另外，规定。其它未声明的概念与符号请参考文献 [10] 。

2. Fuzzy p-度量及与Erceg’s伪度量的关系

定理2.1 如果是一个满足(B1)，(B2)和(B4)的映射(称p是L上的一个Fuzzy p-度量)，则有下列结论：

(D1)；

(D2)；

(D3)；

(D4)；

(D5)。

证明. 根据引理1.7，命题显然成立。

定理2.2 如果p是一个满足(B1)，(B2)和(B4)的映射，那么，有如下结论：

1)是一个在上的拓扑基，记这个拓扑为。

2)。

3)。

证明. 根据定理2.1和文[4] 中的主要结论得命题成立。

推论2.3 设p是满足(B1)，(B2)和(B4)的映射，则：

1)；

2)；

3)。

因此，如果是一个满足(B1)，(B2)和(B4)的映射，则根据定理2.1和定理2.2知：由这组(D1)~(D5)条件按定义获得一个Erceg伪度量并且，这里。梁基华曾经在文 [4] 中给出的与之满足(D1)~(D5)映射相对应的那个Erceg伪度量只不过是满足这组给定的(D1)~(D5)的所有映射组成的代表类其中的一个特定代表而已。

3. Erceg伪度量函数的简化

本节在Erceg-Peng伪度量基础上对它的度量函数做进一步的简化。

定理3.1 一个映射是上的Erceg伪度量当且仅当满足条件(B1)，(B2)，(B4)和下面(B3)^*。

(B3)^*

证明 设是Erceg伪度量，则满足(B1)，(B2)和(B4)，下证满足(B3)^*由于，

因此，有。由此利用得

从而。因此满足(B3)^*。

反之，满足(B1)，(B2)，(B3)^*和(B4)下证满足(B3)。如果，则有，由引理1.6和极小集的保并知使得。于是。因此有。由的任意性有。也就是如就有，因此

.

其次，，由(B1)和(B2)得。于是，因满足(B3)，所以，因此是Erceg伪度量。证毕。

定义3.2 设是一个从的映射。，定义映射如下：，称为的闭邻域映射簇(简称C-nbd簇)。

定理3.3 设映射满足(B1)和(B2)。则。

证明 假设，那么。因此。反过来，，有。取使得。于是，从。因此。

定理3.4 设是上的Erceg伪拟度量，。

证明 只须证明。取且。那么，使得且。由满足(B1)和(B2)可知。因此由(B3)^*得。

注意：由于我们对Erceg度量进行了简化，因此一个映射如果满足(B1)，(B2)和(B3)^*，(B4)和(B5)，则我们也习惯地称是Erceg伪拟度量(Erceg度量)。这和前面Erceg伪拟度量定义有一点差别。因为(B3)^*代替(B3)的简化是借助于(B4)，但这里如此称呼是与(B4)无关，不过它们的区别是显然的，在论述和证明中体现，一目了然，因而这不影响后面涉及的有关论述和证明。

定理3.5 设是上的Erceg伪度量，则它的闭邻域映射簇满足下面条件：

(R1)；

(R2)；

(R3)；

(R4)。

证明 (R1) 这能够被获得从定理3.4和(B1)。

(R2) 根据的定义，这能够被获得从定理3.4和(B2)。

(R3) 由，。可证。

(R4) 根据(B4)和定理3.3易得(B4)。

定理3.6 设映射簇满足(R1)-(R4)，定义映射如下：

,

则是上的一个Erceg伪度量，且的闭邻域映射簇恰是。

证明 首先证明下列结果： (1)。

根据定义和(R3)，是显然的。反过来，让.，根据的定义有。由(R3)知。

(B1) 能够从(R1)获得。

(B2) 假设和那么和。因此。从(R2)知道，由此. 即。

(B3) 由：可得。

(B4) 从(R2)和定理3.3可得。

最后，的闭邻域映射簇恰好是，这可由定理3.4和(1)得。证毕。

在一个Erceg伪度量里，由引理1.7知有和成立。受此启发，我们断言在Erceg伪度量里，其它基本球也有相似性质。现给出下列几个结果。

定理3.7 设p是Erceg伪度量，则。

证明 因为，由，得，另外根据定理3.5中(R3)可得，从而命题成立。

定理3.8 如果，p是一个Erceg伪度量且令，那么

1)；

2)。

证明 1)显然。另一方面，取则使得和。根据(B1)和(B2)有。取使得.那么有。这显示。

2) 显然，让。从(B1)和(B2)，可得到。如果，那么有为每个，这暗示。因此。这是一个矛盾。因此，。从而。

定理3.9 如果是一个Erceg伪度量，那么

1)；

2)。

证明 1)显然。反过来，假设，那么对每个，我们有。从(B1)和(B2) 可得，所以。从而。由此。

2) 如果，那么对每个。因此。从(1)，我们有。又因为。从引理1.7和定理3.7，我们可知。

定理3.10 如果是一个Erceg伪度量，那么

1)；

2)。

证明 1)显然。反过来，让，那么对每个，我们有，那蕴含，由此。因此。从而。

2) 显然。其次，如果，那么。因此我们有。

定理3.11 设是Erceg伪度量，则。

证明 假设。根据定理3.8知使得。由此得。假如，那么对每个有，也就是，。因此，存在使得且。因此。根据(B2)，存在使得且。让。那么，即。因为蕴含。所以得，也就是。因此，存在使。。又根据(B3)^*得。这矛盾，这显示。另一方面，假设。那么使得。所以对每个有。对每个(也就是)，根据(B4)存在，使得。因此有。再由于，所以有(即)。这可推。根据定理3.7可得。由获得。因此。所以，。

定理3.12 假设是Erceg伪度量。那么。

证明 首先，证明。假设。那么由极小集性质知使得且，也就是。这显示对每点，存在使得，由此可推出。取。从(B4)可知存在使得且。让，那么，也就是。这显示只要就有，因此得(也就是，)。根据，知存在使得且。根据(B1)和(B2)，得到。因是任意的，所以，由此有。这显示。

其次，证明，也就是，。假设。那么对每个且，知使得且，由此。现证明。假如。那么。取且使得，则可知。根据(B4)知存在使得，这矛盾。因此。由此，再根据及(R3)有，命题得证。

文章引用

陈 鹏,胡志娟,杨 晓,金梦洁,刘磊磊,田志钢, (2015) Erceg伪度量连续性公理及其基本球的关系的研究
The Researches of the Continuous Axiom of Erceg’s Pseudo-Metric and the Relationships between Its Basic Spheres. 应用数学进展,02,209-216. doi: 10.12677/AAM.2015.42026

参考文献 (References)