ABSTRACT

A new class of nonsingular matrices, p-norm double strictly diagonally dominant matrices, (shorthand for p-norm DSDD matrices), is presented, and it is used to get a new eigenvalue inclusion region. A numerical example is given to show that the eigenvalue inclusion in this paper, in some cases, is in the famous Brauer-Cassini oval area.

Keywords:p-Norm DSDD Matrix, Nonsingular H-Matrix, Eigenvalue Localization

p-范数双严格对角占优矩阵与新的矩阵特征值包含区域

郑巧娟，李耀堂^*

云南大学数学与统计学院，云南 昆明

收稿日期：2017年5月6日；录用日期：2017年5月24日；发布日期：2017年5月27日

摘 要

给出一类新的非奇异矩阵——p-范数双严格对角占优矩阵(简记为p-范数DSDD矩阵)，并由其得到一个新的矩阵特征值包含区域。文中算例表明在某些情况下本文的矩阵特征值包含区域含于著名的Brauer- Cassini卵形区域之中。

关键词 :p-范数DSDD矩阵，非奇异H-矩阵，特征值定位

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1. 引言

矩阵特征值的包含区域在动力系统的稳定性分析，控制系统的可控制性研究，线性方程组的解法等问题的研究中有着重要的作用，是矩阵应用与分析中的一个重要课题。国内外许多学者都致力于这一问题的研究，无论是理论还是实用的需要，人们都希望用尽可能少的关于矩阵的信息与计算得到尽可能小的矩阵特征值包含区域以便更精确地定位矩阵特征值。本文继续矩阵特征值包含区域的研究，通过引进一类新的非奇异矩阵——p-范数DSDD矩阵，并由此给出一个新的矩阵特征值包含区域，在某些情况下改进了著名的矩阵特征值包含区域——Brauer-Cassini卵形区域。

首先给出文中所用的符号和术语。设n为自然数，记。q为正数或无穷大，记为。设向量，，。记

，，。

特别地，(1) 当时，；(2) 当时，。

下面我们回顾文 [1] 中双严格对角占优(DSDD)矩阵的定义及其由此得到的矩阵特征值包含集。

定义1 [1] 。设，如果对所有，且，都有

， (1.1)

则称为双严格对角占优矩阵，记为DSDD矩阵。

定理1 [2] [3] [4] 。若为双严格对角占优矩阵，则为非奇异的。

文献 [5] [6] 中给出了与双严格对角占优矩阵相对应的特征值包含区域：Brauer-Cassini卵形区域。

定理2 [5] [6] 。(Brauer定理)。设，则的所有特征值都包含在其个Cassini卵形区域的并集之中，即

(1.2)

其中为的谱(即的所有特征值所成之集)，

，

称为矩阵的Cassini卵形区域。

2. p-范数DSDD矩阵

本节，我们引入一类新的非奇异矩阵：p-范数DSDD矩阵。为此先介绍p-范数SDD矩阵的定义 [7] 。

定义2 [7] 。设，. 若存在满足的正向量，使得

。 (2.1)

则称为p-范数SDD矩阵，其中为的Hölder补，即。

定理3 [7] 。若为p-范数SDD矩阵，则为非奇异的。

下面定理给出p-范数SDD矩阵的一个充分必要条件。

定理4 [7] 。设，，则为p-范数SDD矩阵当且仅当

，(2.2)

其中，，，，为的Hölder补，即。

受定义1、定义2及定理1和定理3的启发，我们提出如下问题。设，。若满足

，。 (2.3)

那么是否为非奇异的呢？很显然，当时，为双严格对角占优矩阵，则从定理1知，是非奇异的。那么，在一般情况下，即时，条件(2.3)式能保证的非奇异性吗？我们先看如下例子。

例1。设

。

当时，恒有，则满足

，。

但是，由于，其中，则，故为奇异的。

此例说明，一般来讲条件(2.3)式并不能保证矩阵的非奇异性。因此要保证的非奇异性，仍需要添加一些条件。

定理5。设，。若存在满足的正向量，使得

，。(2.4)

则为非奇异的，其中为的Hölder补，即。

证明：设，由(2.4)知。令

。

将它们从小到大排列为

，

则条件(2.4)等价于

。

特别地，由知。若，则。因此，

。

故。若，记，则。令

。

由于矩阵表示乘上矩阵的第行，第列后得到的矩阵，则。因此，要证，只需证即可。对于矩阵，约定采用与类似的记号，但都标以“^'”以示区别。此时，有

,。

于是，

。

对于，

。

于是矩阵满足定义2中的条件(2.1)，故为p-范数SDD矩阵，再由定理3知非奇异，即。 因此，，则为非奇异的。

由定理5，我们可以给出p-范数DSDD矩阵的定义。

定义3。设，。若存在满足的正向量使得(2.4)式成立，即

。

则称为p-范数DSDD矩阵，其中为的Hölder补，因此。

由定义3和定理5可直接得到如下定理。

定理6。设为p-范数DSDD矩阵，则非奇异。

下面我们给出p-范数DSDD矩阵的一个充分必要条件。

定理7。设，，则为p-范数DSDD矩阵当且仅当

。 (2.5)

证明：记，为其的按行拉直向量，即

，

，

。

这里为向量的q-范数，为的Hölder补，即。

必要性，若为p-范数DSDD矩阵，由定义3知，存在满足的正向量使得(2.4)式成立，即

，

因此

充分性，设且，即

。

则存在充分小的，使得

。

取

其中满足对所有，，则且

。

故且

。

即正向量满足且能保证(2.4)式成立，故矩阵为p-范数DSDD矩阵。定理得证。

注 1：(1) 当时，由定义1知，为1-范数DSDD矩阵(即为DSDD矩阵)当且仅当

， (2.6)

(2) 当时，为¥-范数DSDD矩阵当且仅当

， (2.7)

(3) 当时，为2-范数DSDD矩阵当且仅当

， (2.8)

(4) 由定理6可知，1-范数DSDD矩阵(即为DSDD矩阵)，¥-范数DSDD矩阵，2-范数DSDD矩阵都为非奇异矩阵。

3. p-范数DSDD矩阵与非奇异H-矩阵的关系

非奇异H-矩阵是一类具有重要应用的特殊矩阵。众所周知，双严格对角占优(DSDD)矩阵是非奇异H-矩阵，即p=1时的p-范数DSDD矩阵是非奇异H-矩阵。那么当时的p-范数DSDD矩阵是否也为非奇异H-矩阵呢？本节我们讨论这个问题。为此首先回忆非奇异H-矩阵的定义。

定义4 [2] 。设可表示为

， (3.1)

其中。若，则称为M-矩阵；若，则称为非奇异M-矩阵。

定义5 [8] 。设，如果它的比较矩阵，其中

(3.2)

为非奇异M-矩阵，则称为非奇异H-矩阵。

引理1 [8] 。设，则为非奇异H-矩阵当且仅当对于所有，且

， (3.3)

其中，。

由引理1，我们可以得到p-范数DSDD矩阵与非奇异H-矩阵的关系。

定理8。设，如果是p-范数DSDD矩阵，则为非奇异的H-矩阵。

证明：设是p-范数DSDD矩阵，由定义3知可逆。再由引理1知，只需证明。假若此不等式不成立，即存在，使得，则

。

由于

，

故

。 (3.4)

由于是p-范数DSDD矩阵，故存在满足的正向量使得(2.4)式成立，即

。

于是对任意的有

。

因为，则对任意的有

，

，

所以对任意的有

。

此式表明为p-范数DSDD矩阵。由定理6知是非奇异的，因此，这与(3.4)式矛盾。定理得证。

4. 矩阵的特征值包含集

我们知道，每一类非奇异矩阵都对应一类矩阵的特征值包含集。由第2节的定理6知p-范数DSDD矩阵是非奇异的。本节就来讨论p-范数DSDD矩阵对应的矩阵特征值包含集。

定理9。设，，则对任意满足的正向量，有

， (4.1)

其中；为的Hölder补，即，

证明：用反证法。假若有，但，则存在满足的正向量，使得对任意有

，

即矩阵为p-范数DSDD矩阵。由定理6知，，这与矛盾。故对所有的，都有，即。

由定理7可以得到如下特征值包含区域。

定理10。设，，则

，

其中

。 (4.3)

证明：设，.假若存在，使得，则

。 (4.3)

设，由知，，故为奇异矩阵。由，

易得到

,，

,。

于是由(4.3)式可得

。

于是由定理7知矩阵为p-范数DSDD矩阵。再由定理8知矩阵为非奇异的，这与矩阵是奇异的相矛盾，故定理得证。

图1. 例2中矩阵A的特征值包含区域

5. 数值例子

本节我们给出一个数值例子。该例表明在某些情况下定理10所给的矩阵特征值包含区域含于定理2给出的Brauer-Cassini卵形区域。

例2。设

。

由Matlab可计算出矩阵的全部特征值为−1.8444，4.5470，1.2974。图1中的绿色部分表示定理2中Brauer-Cassini卵形区域，蓝色部分表示：当时，定理10中的矩阵特征包含区域。由图1知，对此例而言定理10给出的特征值包含区域比定理2中的Brauer-Cassini卵形区域要小。

文章引用

郑巧娟,李耀堂. p-范数双严格对角占优矩阵与新的矩阵特征值包含区域
p-Norm DSDD Matrices and New Eigenvalue Localization Region[J]. 应用数学进展, 2017, 06(03): 367-375. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.63042

参考文献 (References)