Advances in Applied Mathematics
Vol.05 No.01(2016), Article ID:17035,7 pages
10.12677/AAM.2016.51019

Some Convergence Properties of Pairwise NQD Random Sequences

Ying Lin1, Jianhua Shi2

1Department of Mathematics, Ningde Normal University, Ningde Fujian

2School of Mathematics and Statistics, Minnan Normal University, Zhangzhou Fujian

Received: Feb. 2nd, 2016; accepted: Feb. 22nd, 2016; published: Feb. 29th, 2016

Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.

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ABSTRACT

In this paper, Lr convergence and weak law of large numbers for the weighted sums of rowwise and pairwise NQD arrays are studied, moreover, a theorem of complete convergence for the weighted sums of pairwise NQD sequences is obtained.

Keywords:Pairwise NQD Random Sequences, Cesáro Uniform Integrability, Convergence Property

两两NQD列的若干收敛性质

林影1,施建华2

1宁德师范学院数学系,福建 宁德

2闽南师范大学数学与统计学院,福建 漳州

收稿日期:2016年2月2日;录用日期:2016年2月22日;发布日期:2016年2月29日

摘 要

本文主要研究了行为两两NQD的随机变量阵列加权和的Lr收敛性和弱大数定律,此外,还得到了两两NQD列加权和的一个完全收敛定理。

关键词 :两两NQD列,Cesáro一致可积,收敛性

1. 引言与引理

定义1 [1] :称r. v.是NQD (Negatively Quadrant Dependent)的,若对

称r. v.列是两两NQD列,若对任意是NQD的。

这一概念是由著名统计学家Lehmann在1966年引入的。从定义可以看出,两两NQD列是包含两两独立列在内的非常广泛的r. v.序列,因此对其极限理论的研究显得更为基本,更为困难。Matula对同分布两两NQD列部分和获得了的Kolmogorov型强大数律[2] ,王岳宝等讨论了两两NQD列的Marcinkiewicz型弱大数律及Jamison型加权和的强稳定性 [3] ,吴群英对同分布两两NQD列部分和获得了与独立情形一样的Baum和Katz型完全收敛定理 [4] ,万成高获得了不同分布两两NQD列的一些大数定律和完全收敛定理 [5] 。本文在Cesáro一致可积等条件下,研究行为两两NQD阵列加权和的收敛性及弱大数定律,作为推论得出一些两两NQD列的收敛性或弱大数定律。此外,还给出了两两NQD列加权和的一个完全收敛定理。本文约定:文中出现的总表示正常数,它在不同的地方可以代表不同的值。

定义2:称是行为两两NQD的零均值r. v.阵列,若都是两两NQD的,且

定义3:称r. v.阵列阶Cesáro一致可积的(),若

定义4:称实数阵列-Toeplitz矩阵(),如果满足:

1);2)为常数。

引理1 [1] :设r. v.是NQD的,则1);2) 对任意都有:

;3) 如同为非降(或非增)函数,则仍为NQD的。

引理2 (推广的Kolmogorov型不等式) [4] :设是两两NQD列,

,则有

引理3 [6] :设,且,若,则对任意,任意,有

2. 两两NQD列的Lr收敛性及弱大数定律

定理1:设是行为两两NQD的零均值r. v.阵列,且为2阶Cesáro一致可积的,-Toeplitz矩阵,若,则

证明:对任意给定的,对,记

,则均为的不降函数,由引理1知仍为两两NQD的。由引理2,有

先令,再令,则有

推论1:设是2阶Cesáro一致可积的零均值两两NQD列,-Toeplitz矩阵,若,则

证明:对每一,取,由定理1立即知推论1成立。

推论2:设是2阶Cesáro一致可积的零均值两两NQD列,,则。特别,满足弱大数定律,即

证明:在推论1中取,取,显然-Toeplitz矩阵且满足推论1的条件,故由推论1知推论2成立。

推论3:设是2阶Cesáro一致可积的零均值两两NQD列,,则

证明:在推论1中取,取,则-Toeplitz矩阵,且,故由推论1知推论3成立。

定理2:设是r. v.阵列,令,若下列条件之一成立,

1)阶Cesáro一致可积的;2)是行为两两NQD的零均值阵列,且为2阶Cesáro一致可积的,则。更有如下形式的弱大数定律成立:

证明:先证(2)。对每一,令,因为有

-Toeplitz矩阵,又,故由定理1立即知定理2的(2)成立。

下面证(1)。对任意给定的,对,记,则。由于,用不等式有

上式中先令,再令,立即知

注:R. Pyke与D. Root (1968)曾证明:若为独立同分布随机变量序列,对,若,则。显然定理2是这一结果的推广与改进。

如果不假定行为两两NQD的阵列有Cesáro一致可积性,则有下面的结果。

定理3:设是行为两两NQD的零均值r. v.阵列,是实数阵列,,若1);2),则

证明:不妨设。令

仍为两两NQD的。对任意给定的,有

由引理2,有

由于,故对一切,有。于是由引理3,对一切,有,从而有

对任意的,存在,当时,有,由的任意性知,于是

由Jensen不等式有

对任意的,存在,当时,若,则有,从而有

的任意性知,于是定理成立。

推论4:设为零均值的两两NQD列,,若,则

证明:在定理3中取,取,则

故由定理3知推论成立。

定理4:设为零均值的两两NQD列,满足条件:存在,存在正数列使有

,则对,有

证明:取使题设条件成立的,对,记

仍为两两NQD的。

由题设条件及Kronecker引理知

3. 两两NQD列加权和的完全收敛性

定理5:设为零均值的两两NQD列,是一列实数,且当时,。若存在,对足够小的,有,则对任意的,有

证明:不失一般性,可设。令

仍为两两NQD的。对任意给定的,有

由引理2,有

由Jensen不等式,有

故定理5成立。

推论5:设为零均值的两两NQD列,,若对足够小的,有

,则对任意的,有

证明:在定理5中取,取即得推论5。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(No. 11471153)。

文章引用

林影,施建华. 两两NQD列的若干收敛性质
Some Convergence Properties of Pairwise NQD Random Sequences[J]. 应用数学进展, 2016, 05(01): 143-149. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.51019

参考文献 (References)

  1. 1. Lehmann, E.L. (1966) Some Concepts of Dependent. The Annals of Mathematical Statistics, 43, 1137-1153. http://dx.doi.org/10.1214/aoms/1177699260

  2. 2. Matula, P. (1992) A Note on the Almost Sure Convergence of Sums of Negatively Dependent Random Variables. Statistics & Probability Letters, 15, 209-213. http://dx.doi.org/10.1016/0167-7152(92)90191-7

  3. 3. 王岳宝, 苏淳, 刘许国. 关于两两NQD列的若干极限性质[J]. 应用数学学报, 1998, 21(3): 404-414.

  4. 4. 吴群英. 两两NQD列的收敛性质[J]. 数学学报, 2002, 45(3): 617-624.

  5. 5. 万成高. 两两NQD列的大数定律和完全收敛性[J]. 应用数学学报, 2005, 28(2): 253-261.

  6. 6. 甘师信. B值随机元阵列加权和的收敛性与大数定律[J]. 武汉大学学报(自然科学版), 1997, 43(5): 569-574.

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