ABSTRACT

In this paper, the superderivation algebra of the finite-dimensional simple modular Lie superalgebra is discussed, and the structure of it is determined, i.e..

Keywords:Modular Lie Superalgebra, Superderivation Algebra, Z-Grade

有限维单模李超代数的导子超代数

张丽华，王 璐

沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁 沈阳

Email: nankaizlh@163.com

收稿日期：2015年4月29日；录用日期：2015年5月8日；发布日期：2015年5月15日

摘 要

本文研究了有限维单模李超代数的导子超代数，确定了其的结构，即。

关键词 :模李超代数，导子超代数，Z-阶化

1. 引言

目前，有限维单模李超代数的分类问题还没有解决[1] -[4] ，所以文献 [5] 构造了有限维模李超代数，并证明了它是单模李超代数。

为了将与已有的有限维单模李超代数进行比较，本文确定了的导子超代数，得到的结论是，于是与已有的有限维单模李超代数都不同构。

2.回顾

下面将文献[5] 构造的有限维单模李超代数作简要介绍。用表示正整数集，是特征数为的域，设，为域上具有个未定元的外代数。

定义，，令。对,令，且约定，则构成了的一组-基底。

令，为满足， 的截头多项式代数。令为模的剩余类环，，设，定义：，于是，为的一组-基底。

令，表示模2的剩余类环，令：，，于是是由的阶化诱导的结合超代数。

设是超代数，若，其中，则称是次数的-齐次元素，并记。在本文中若出现在某个表达式中，则约定是-齐次元素。用表示超代数的所有-齐次元素构成的集合，即。

若，将简记为，于是是的一个-基底。令，则是-阶化超代数，且。

设，对，令为对的偏导子，则可扩充为的导子，使得对，。

设，若，则令，使得；令，若，约定，那么对任意的，有，于是，当时，，而当时，。

设，定义，则对，有：

令，那么是的导子超代数的子代数，为的一组-基底。下面简记为。

令，其中：，那么是阶化李超代数 [1] 。

3.的导子超代数

设。

引理3.1 设，令，其中，则是阶化李超代数。

证明：参见文献 [1] 第30页引理2.1的证明。

引理3.2 若其中，那么。

证明：当时，；当时，令，其中(下面相同)，有，于是。

命题3.1 若, 其中且，那么存在，使得。

证明：参见文献 [6] 第29页命题2.5.5的证明。

命题3.2。

证明：参见文献 [6] 第18页命题2.3.14的证明。

引理3.3 设，若对任意的，都有成立，那么。

证明：由引理3.2及文献 [6] 第16页引理2.3.10的证明可知引理3.3成立。

引理3.4 设，其中。若，那么。

证明：首先，因，所以当时，又，所以对，，从而有。

下面要证明，为此对做数学归纳法：首先，假设且，任取，因对，，，而，所以，，且，，由归纳假设，因此，，。又：

因此有，，由引理3.3知。

因，，所以，所以。

由于，所以，而，因此，故，从而知，于是有。

综上可知：

因为，所以任意可表为：，其中，而，所以，因此：，即对任意，都有，因此。

命题3.3。

证明：任取，下面证明。注意到：

对，其中因为，所以，因此可设。

因，所以存在，于是有，进而有。

设。因，所以，，从而，，于是将作用在等式两端得：

因此当时有，得：。

因，又，所以有，由前面讨论知，所以将作用于等式两端得：，推出，从而知。

对，其中，也有，因此也可设。

因，所以，因此存在，进而得及同样也有，于是将作用于等式的两端就有：

故此当时有，并且有，因此。

综上可知：，由引理3.4知，因此。

定理3.1。

证明：由命题3.3知，而，其中，所以，于是任意的可表为：，其中。

由命题3.2知，所以存在，使得。

对，因，所以存在，使得，由命题3.1知，存在，使得，于是，因此若令，则有，因此，但，故此。

4. 结论

本文确定了有限维单模李超代数的导子超代数，从而说明与已有的有限维单模李超代都不同构，进一步要讨论它的限制性及表示。

文章引用

张丽华,王 璐, (2015) 有限维单模李超代数W⌒(n,m)的导子超代数
The Superderivation Algebra of the Finite-Dimensional Simple Modular Lie Superalgebra W⌒(n,m). 理论数学,03,95-99. doi: 10.12677/PM.2015.53015

参考文献 (References)