Pure Mathematics
Vol.06 No.05(2016), Article ID:18486,4 pages
10.12677/PM.2016.65054

A Note on the Convergence of Sequence

Jian Wu, Liao Zhou, Chengen Sun

School of Mathematics & Physics Science and Engineering, Anhui University of Technology, Ma’anshan Anhui

Received: Aug. 18th, 2016; accepted: Sep. 2nd, 2016; published: Sep. 7th, 2016

Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.

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ABSTRACT

In this paper, we discuss the relationship between Cauchy convergence, Cesaro convergence and Abel convergence. Some examples are given to show that the three kinds of Cenvergence are weaker one by one. Furthermore, by adding some mild conditions the weaker type inverse propositions are presented.

Keywords:Cauchy Convergence, Cesaro Convergence, Abel Convergence

关于序列收敛性的一个注记

吴健,周廖,孙成恩

安徽工业大学数理科学与工程学院,安徽 马鞍山

收稿日期:2016年8月18日;录用日期:2016年9月2日;发布日期:2016年9月7日

摘 要

本文讨论Cauchy收敛、Cesaro收敛、以及Abel收敛性之间的关系。给出了若干反例说明这三种收敛性一个比一个弱,并且通过增加适当的条件给出较弱形式的逆命题。

关键词 :Cauchy收敛,Cesaro收敛,Abel收敛

1. 引言

众所周知,序列的收敛性在数学分析中扮演着极其重要的角色(见 [1] - [4] ),通常的收敛均是Cauchy收敛。

定义1 对于有界序列,如果则称序列Cauchy收敛到

即:意味着对,存在,使得对,有

在实际应用中有一些序列并不能满足上述条件。因此,许多学者就提出了考虑在更弱的条件下序列的收敛问题。其中最著名的就是Cesaro收敛和Abel收敛。

定义2 对于有界序列,如果。则称序列Cesaro收敛到

定义3 对于有界序列,如果。则称序列Abel收敛到

本文主要研究这三种收敛性的关系,研究表明序列Cauchy收敛可推导序列Cesaro收敛,序列Cesaro收敛可推导Abel收敛,并且给出具体的例子说明它们的逆都不成立。即这三种收敛性一个比一个弱。我们通过增加适当的条件给出较弱形式的逆命题。

2. 主要结论

定理1设序列Cauchy收敛到,则序列Cesaro收敛到

证明 由,可以对任意给定的选取,使得当时成立于是

这里是一个确定的数,由此可见,只须取,就可以保证当成立

结论成立。

注1 如果定理1中的,结论仍然成立。即:如果,则。定理1的逆命题一般来说不成立,例如:取但通过附加适当的条件其逆命题也可以成立。

命题1 设序列单调递增,且Cesaro收敛到,则序列Cauchy收敛到

证明 见参考文献 [5] 。

命题2 设序列Cesaro收敛到,且满足,则序列是Cauchy收敛到

证明

于是

注意到,,结论成立。

如果序列有不同的收敛子列,则一定不是Cauchy收敛,但它的算术平均可能收敛。下面给出这样一个结论,它在概率论中非常有用。

命题3 设d是一正整数。序列满足

证明 由定理1,有

,则

,则。结论成立。

定理2 如果序列Cesaro收敛到,则序列Abel收敛到

证明 不妨假设级数的收敛半径小于或等于1。即

注意到

往证。事实上,如果,那么因为,故对任意的

因此,如果

注2 定理2的逆一般来说也不成立,例如:假设,易知的收敛半径为1,并且

因此, Abel收敛到0,但是Cesaro意义下发散。

基金项目

安徽省大学生创新基金项目资助(201410360300)。

文章引用

吴 健,周 廖,孙成恩. 关于序列收敛性的一个注记
A Note on the Convergence of Sequence[J]. 理论数学, 2016, 06(05): 398-401. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.65054

参考文献 (References)

  1. 1. Korevaar, J. (2004) Tauberian Theory. A Century of Developments. Grundlehren der Mathematichen Wissenschaften 329. Springer-Verlag, xvi+483.

  2. 2. Montgomery, H.L. and Vaughan, R.C. (2007) Multiplicative Number Theory I. Classical Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge, 147-167.

  3. 3. Tauber, A. (1897) Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen [A Theorem about Infinite Series]. Monatshefte fur Mathematik und Physik, 8, 273-277. http://dx.doi.org/10.1007/BF01696278 (in German)

  4. 4. Wiener, N. (1932) Tauberian Throrems. Annals of Mathematics, 33, 1-100. http://dx.doi.org/10.2307/1968102

  5. 5. Stoll, M. (2004) Introduction to Real Analysis. Chinese Machine Press, Beijing.

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