ABSTRACT

In this paper, we give the upper bounds estimation of unknown function with power of impulse integral inequality. The result is used to estimate the upper bound of impulsive differential systems.

Keywords:Impulse Integral Inequalities, Estimation of Unknown Function, Impulsive Differential Systems

含Power的脉冲积分不等式的推广与应用

柳长青^*，李自尊

百色学院数学与统计学院，广西 百色

收稿日期：2016年12月19日；录用日期：2017年1月2日；发布日期：2017年1月5日

摘 要

本文研究了含有幂次的脉冲积分不等式，给出了未知函数的上界估计。利用此结果估计了脉冲微分系统的上界。

关键词 :脉冲积分不等式，未知函数估计，脉冲微分系统

1. 引言

Gronwall-Bellman型积分不等式是研究微分方程和积分方程的重要工具，通过对积分不等式中未知函数的估计，可以研究某些微分方程解的存在性、有界性、唯一性和稳定性等定性性质(例如，文献 [1] - [17] )。通过对脉冲积分不等式中未知函数进行估计，可以研究某些脉冲微分方程和解的一些性质。2013年严勇 [16] 研究了含有时滞的脉冲积分不等式

2015年米玉珍，钟吉玉 [13] 研究了含有未知函数的复合函数的积分不等式

其中，是定义在上的单调不减连续函数且当时，。

本文在上述研究成果的基础上，研究了一类含有power的脉冲积分不等式

(1.1)

其中，是上只有第一类不连续点的非负逐段连续函数，以及都是给定的常数。

2. 主要结论

假设：

是定义在上的连续函数，且;

是定义在上的非负连续函数;

是常数。

定理2.1：具有第一类不连续点的非负逐段连续函数满足积分不等式(1.1)，则函数有下面的估计式：

其中

证明：首先，我们考虑情况，任取，可得

令

(2.1)

则为非负不减的连续函数，且

(2.2)

对式(2.1)求导，我们可得

(2.3)

令

则，由中，得，对求导，由(2.3)可得

(2.4)

由(2.4)得

(2.5)

令，则，(2.5)可变为

(2.6)

(2.6)两边同时乘以，可得

(2.7)

从到积分(2.7)的两边，我们得到

(2.8)

由公式和(2.8)得

(2.9)

令等于(2.9)的右边，由(2.3)和(2.9)得

(2.10)

(2.10)两边从到积分得

(2.11)

由(2.2)和(2.11)可得

(2.12)

由T的任意性，可得当时有

(2.13)

当时我们证明了估计式。

当时，任意取定，对于任意的，不等式(1.1)变为

(2.14)

令表示(2.14)的右边，且令，则是单调不减函数，且有

(2.15)

两边关于t求导得

(2.16)

其中，(2.16)化为了(2.3)的形式，用相同的过程可得估计式为

(2.17)

我们证明了当时估计式成立。

同理，对任意自然数，当时，我们可以得到未知函数的估计式

(2.18)

综上定理被证明。

3. 在脉冲微分方程中的应用

本节我们用得到的结果给出脉冲微分系统解的上界估计。考虑脉冲微分系统

(3.19)

(3.20)

，

其中：是常数，关于,在上连续。

假设(3.19)中满足

(3.21)

其中是上连续的非负函数。

推论1：在条件(3.21)成立的情况下，系统(3.19)，(3.20)所有的解满足估计式：

(3.22)

其中

证明：脉冲微分方程(3.19)与(3.20)等价于积分方程

(3.23)

利用条件(3.21)，由(3.23)，可得

(3.24)

令，由(3.24)，我们可得不等式

(3.25)

我们看出(3.25)是(1.1)的特殊形式。且(3.25)中的函数满足定理2.1的条件，由定理2.1，我们可以推出的估计式(3.22)。

基金项目

国家自然科学基金项目(11561019)；广西自然科学基金项目(2013GXNSFAA019022)；广西教育厅项目(201204LX423, 2013LX148, KY2015YB280)。

文章引用

柳长青,李自尊. 含Power的脉冲积分不等式的推广与应用
Generalization and Application of Impulse Integral Inequality with Power[J]. 理论数学, 2017, 07(01): 10-15. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.71002

参考文献 (References)