Operations Research and Fuzziology
Vol.06 No.04(2016), Article ID:18805,8
pages
10.12677/ORF.2016.64014
The Stability of a Multi-Quadratic Functional Equation on a Restricted Domain
Lin Wang1, Peisheng Ji2, Weiwei Liu2
1College of Mathematics and Physics, Qingdao University of Science and Technology, Qingdao Shandong
2School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Qingdao Shandong
Received: Oct. 8th, 2016; accepted: Oct. 24th, 2016; published: Oct. 27th, 2016
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
In this paper, we obtain the stability of the multi-quadratic functional equation on a restricted domain.
Keywords:Hyers-Ulam Stability, Functional Equation, Multi-Quadratic Functional Equation
多元二次函数方程在限制定义域上的稳定性
王琳1，纪培胜2，刘韦韦2
1青岛科技大学数理学院，山东 青岛
2青岛大学数学与统计学院，山东 青岛
收稿日期：2016年10月8日；录用日期：2016年10月24日；发布日期：2016年10月27日
摘 要
本文证明了多元二次函数方程在限制定义域上的稳定性。
关键词 :Hyers-Ulam稳定性，函数方程，多元二次函数方程
1. 引言
关于函数方程的稳定性问题，早在1940年S. M. Ulam [1] 提出了群同态的稳定性。次年，D.H. Hyers [2] 把群
和
换做Banach空间，并给出近似可加映射的稳定性。在证明这一问题的过程中Hyers使用了“直接法”，这一方法是研究各类函数稳定性的有力工具。在Ulam-Hyers-Rassias稳定性理论的基础上越来越多的数学家对稳定性理论产生兴趣，从目前研究现状来看，限制定义域上函数方程稳定性问题对于稳定性研究具有重大意义。近几年国内外的许多数学家专注于研究限制定义域上函数方程稳定性理论，而在这方面贡献较为突出的是F. Skof和Jung等。1983年F. Skof解决Ulam 可加函数在限制域上稳定性问题。之后又有许多数学家给出了各类函数在限制定义域上稳定性的相关结论：Z. Kominek [3] 证明了Jensen函数方程在限制定义域上的稳定性；S.M. Jung [4] 证明了限制定义域上Jensen函数方程稳定性并且应用这一结论研究可加函数的近似性质。John Michael Rassias [5] 在Jung关于二次函数稳定性证明的基础上，给出了二次函数在限制定义域上的稳定性。Hyers, Isac和Rassias [6] 给出可加Cauchy 方程的Hyers-Ulam-Rassis稳定性，并应用它去研究渐进可导性。Dorota Wolna [7] 证明了多项式函数在限制定义域上的稳定性。John Michael Rassias和Matina John Rassias [8] 证明了Jensen和Jensen型函数在限制定义域上的稳定问题，并且给出了Jensen和Jensen型函数的近似性问题，在证明中用到的方法与文献 [5] 是一致的。Jae-Young Chung, Dohan Kim和John Michael Rassias [9] 给出了群上Jensen型函数在限制定义域上的稳定性。Yang-Hi Lee [10] 在2013年证明了限制定义域上二次可加函数方程的稳定性。Won-Gil Park和Jae-Hyeong Bae [11] 证明了Bi-二次函数方程稳定性，纪培胜 [12] 给出了多元二次函数方程等价形式并证明其稳定性。
本文主要证明的是多元二次函数方程在限制定义域上的稳定性。
2. 主要结果及证明
定义2.1 [12] ：函数
被称作多元二次的或者
-二次的是指函数
关于每一变元都是二次的，即：
其中
。
以下均设
是赋范线性空间，
是赋范Banach空间。
引理2.1 [12] ：函数
对
满足
(2.1)
当且仅当
是多元二次的。
引理2.2 [12] ：设函数
满足
，函数
对
满足不等式
且对
，如果
，那么
中至少有一个元素为0，则存在唯一的多元二次函数
使得
，
。
下面来给出并证明方程(2.1)在限制定义域上的稳定性。
定理2.1 设
，
是给定的数，函数
满足
(2.2)
，
，
，且对
，如果
，那么
中至少有一个元素为0，则存在唯一的多元二次函数
使得
，
(2.3)
证明：定理的证明过程分为四部分。
I. 首先证明对
当
，
，
。如果
取
且
，当
时，令
，当
时，令
，显然有，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
。 (2.4)
记
，
，
则
由(2.2)，(2.4)式及上面的关系可得
(2.5)
其中，
，
，
，
。现在设
(2.6)
其中，
，
，
，
。
，如果
，取
，
。否则，当
时，令
，当
时
。显然有，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
(2.7)
记
，
。
则
由(2.6)，(2.7)式及上面的关系式可得
(2.8)
其中，
。
II. 证明(2.3)式成立。
令(2.8)中
，
，然后再除
。由已知，当
至少有一个元素为0，
，可得对
，
。
用
代替
，
，不等式两端同除
可得对
，
。
因此对于非负整数
，
，有
(2.9)
令(2.9)式中
可得
是
中的Cauchy列，由于
是Banach空间，所以Cauchy列收敛。记
，
(2.10)
令(2.9)式中
，
再令
，由(2.10)式可得，对
，
III. 证明函数
是多元二次的。
将(2.8)式中用
，
分别代替
，
，
，不等式两端同除
，可得
(2.11)
其中
。令
得
是多元二次的。
IV. 证明函数
是唯一的。
假设有
满足(2.3)式，由
和
的多元二次性可得，
,
令
可得
，从而
是唯一的多元二次函数满足(2.3)式。
基金项目
山东省优秀中青年科学家科研奖励基金(No.BS2013SF014)；山东省高等学校科技计划(No.J16LI51)。
文章引用
王 琳,纪培胜,刘韦韦. 多元二次函数方程在限制定义域上的稳定性
The Stability of a Multi-Quadratic Functional Equation on a Restricted Domain[J]. 运筹与模糊学, 2016, 06(04): 107-114. http://dx.doi.org/10.12677/ORF.2016.64014
参考文献 (References)
- 1. Ulam, S.M. (1960) A Collection of Mathematical Problems. Interscience, New York.
- 2. Hyers, D.H. (1941) On the Stability of the Linear Functional Equation. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 27, 222-224. http://dx.doi.org/10.1073/pnas.27.4.222
- 3. Kominek, Z. (1989) On a Local Stability of the Jensen Functional Equation. De-monstratio Mathematica, 22, 499-507.
- 4. Jung, S.M. (1998) Hyers-Ulam-Rassias Stability of Jensen’s Equation and Its Applica-tion. Proceedings of the American Mathematical Society, 126, 3137-3143. http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-98-04680-2
- 5. Rassias, J.M. (2002) On the Ulam Stability of Mixed Type Mappings on Restricted Domains. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 276, 747-762. http://dx.doi.org/10.1016/S0022-247X(02)00439-0
- 6. Hyers, D.H., Isac, G. and Rassias, Th.M. (1998) On the Asymptoticity Aspect of Hyers-Ulam Stability of Mappings. Proceedings of the American Mathematical Society, 126, 425-430. http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-98-04060-X
- 7. Wolna, D. (2006) The Stability of Monomial Functions on a Restricted Domain. Aequationes Mathematicae, 72, 100- 109. http://dx.doi.org/10.1007/s00010-006-2832-z
- 8. Rassias, J.M. and Rassias, M.J. (2003) On the Ulam Stability of Jensen and Jensen Type Mappings on Restricted Domains. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 281, 516-524. http://dx.doi.org/10.1016/S0022-247X(03)00136-7
- 9. Chung, J.Y., Kim, D. and Rassias, J.M. (2012) Stability of Jensen Type Functional Equations on Restricted Domains in a Group and Their Asymptotic Behaviors. Journal of Applied Mathematics, 2012, 1-12. http://dx.doi.org/10.1155/2012/691981
- 10. Lee, Y.-H. (2013) Hyers-Ulam-Rassias Stability of a Quadratic Additive Type Functional Equation on a Restricted Domain. International Journal of Mathematical Analysis, 7, 2745-2752. http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2013.39224
- 11. Parka, W.-G. and Baeb, J.-H. (2005) On a Bi-Quadratic Functional Equation and Its Stability. Nonlinear Analysis, 62,643-654. http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2005.03.075
- 12. Ji, P.S., Qi, W.Q. and Zhan, X.J. (2014) Generalized Stability of Multi-Quadratic Mappings. Journal of Mathematics Research with Applications, 34, 209-215.