ABSTRACT

Proper pulse shaping is useful for reducing Multiple Access Interference (MAI) in CDMA system. In this paper, several prolate spheroidal wave functions (PSWF) are selected as the shaping pulses for CDMA communication system, further analyzed and compared with traditional pulses to improve system performance. Theoretical analysis and Matlab simulation results show that PSWF_4 and PSWF_3 which are proposed in our paper have better system performances compared with other traditional pulses in the power limited condition.

Keywords:Code Division Multiple Access (CDMA), Pulse Shaping, Prolate Spheroidal Wave Functions (PSWF), Bit Error Rate (BER), Throughput

PSWF函数在CDMA系统脉冲整形中的应用

朱宁龙^1,2，李海月¹，李英善¹

¹南开大学电子信息与光学工程学院，天津

²中国人民解放军91404部队，河北 秦皇岛

收稿日期：2016年6月11日；录用日期：2016年6月27日；发布日期：2016年6月30日

摘 要

适当的脉冲整形对降低码分多址(Code Division Multiple Access, CDMA)通信系统中的多址干扰(Multiple Access Interference, MAI)具有良好的效果。本文针对这一问题，提出将椭圆球面波函数(Prolate Spheroidal Wave Functions, PSWF)引入CDMA系统进行脉冲整形，通过理论分析和Matlab仿真，与常规波形进行了对比，研究了该函数对CDMA系统通信性能的优化情况。理论分析和仿真结果均证明：在能量有限条件下，本文提议的PSWF_4、PSWF_3具有比其他常规波形更优的通信性能。

关键词 :码分多址，脉冲整形，椭圆球面波函数，误码率，吞吐量

1. 引言

CDMA通信系统中广泛存在着MAI [1] 。MAI的存在会直接影响到系统的误码性能和吞吐量，甚至对整个通信系统的容量造成极大影响。

适当的脉冲整形可以改善传输信号的频谱性能 [2] 。这种改善对于CDMA系统非常重要，因为它使得系统可以在一个给定的带宽内使用较长的扩频码，或者在相同的条件下容纳更多的用户。CDMA系统广泛采用相关接收机，这种技术使得MAI的方差既与整形脉冲的能量有关，又与整形脉冲的形状自身相关。因此，研究不同整形脉冲对于CDMA系统性能的影响具有非常重要的意义 [3] [4] 。而PSWF可在时域范围和频域范围内都近似带限。这一优良特点使得它在脉冲整形中的应用成为可能 [5] - [7] 。

本文针对这一问题，提出将PSWF函数引入CDMA系统作为整形脉冲，通过理论分析和Matlab仿真，与常规波形进行对比，研究该函数对CDMA系统检测性能的优化情况。理论分析和仿真结果均证明：在能量有限条件下，具有更大时间带宽积因子的PSWF波形对应的CDMA系统通信性能更优。

2. CDMA系统

直接序列扩频CDMA(Direct sequence CDMA，DS-CDMA)系统利用不同的地址码来区分不同的用户，接收端可以利用这种差别，从接收信号准确地分离出所要传输的有用信息。图1所示为DS-CDMA系统简单框图。

由图1可知，在发射端经过基带调制和直接序列扩频后的不同用户信号进行叠加，相加后的信号经过脉冲整形进行传输。接收端，经过Rake接收，匹配滤波，然后进行解扩，最后经基带解调和抽样判决，恢复出原始信息。

DS-CDMA系统利用不同用户之间的正交性来区分用户，而实际应用中，这种正交性不会那么严格，这种不完全正交产生的干扰叫做多址干扰(MAI)。单个用户时MAI很小，可以忽略不计，但当用户增多时，MAI就会越来越明显，并影响到系统的误码率和吞吐量，对系统容量产生极大影响。

为了克服MAI对CDMA通信系统的影响，进一步优化CDMA数字通信系统的传输性能。我们试图找到更加恰当的脉冲波形，通过脉冲整形改善传输性能，满足系统对传输的更高要求。传统的整形脉冲有：矩形、半正弦、三角波、升余弦等。

3. PSWF波形

PSWF最早由Slepian和H. O. Pollark等人在上世纪60年代提出，其带通形式的积分定义如式(1) [8] ：

图1. DS-CDMA系统框图

(1)

式中，参数表示PSWF函数的能量集中度因子，为阶数；是角频率带宽；为时间带宽积因子，且满足。

PSWF可以在时域持续时间有限的条件下，满足在近似带限的频率范围内最大化集中频域的能量。这一优良特性使得它在脉冲整形中的应用成为可能。

但PSWF函数为积分形式，它的闭式解很难求取。这在实际分析和研究过程中显得十分不方便。在文献 [9] 中，作者通过计算机仿真得到了、、、时的计算机仿真波形，如图2所示。

在文献 [10] 中，作者给出了图2几种波形的近似解析表达式，用于理论分析和研究，各表达式如式(2)~式(5)。

1) 99%BW，WTc = 1.2：

(2)

2) 99.9%BW，WTc = 1.6：

(3)

3) 99%BW，WTc = 2：

(4)

4) 99%BW，WTc = 3：

(5)

图2. PSWF函数仿真波形

其中，和为幅度归一化常数，，。

本文引用上述PSWF波形的表达式，用来与常规波形进行比较分析和研究。

4. 波形比较研究

4.1. 误码率比较

假设个用户的DS-CDMA系统采用QPSK调制，根据文献 [3] ，其系统可表示为如式(6)：

(6)

其中，为单位比特能量，为噪声功率谱密度，为用户个数，为单位比特内的chip个数。是波形的相关性指标，不同波形的相关性不同。

部分相关性指标反映的是不同码片之间的正交性，越小，反映的是码片之间的正交性越好，即不同码元之间产生的码间干扰就会越低，这对于DS-CDMA系统来说意味着系统误码性能的提升。

整形脉冲的部分相关性指标定义为：

(7)

其中为整形脉冲的频域表达式。

根据公式(6)可以发现，在相同的条件下，对于相同的用户数，的大小仅与相关，而反映的是信号的波形形状。也就是说，不同形状的整形脉冲通过相关函数对系统的产生影响，进而影响到系统的误码性能，并且，的值越小，系统越大，对应的系统误码率也就越小。

本文针对能量有限条件，研究不同整形脉冲对系统检测性能的影响。为了保证波形形状，首先要对整形脉冲进行归一化，即满足式(7)和式(8)：

时域：

(8)

频域：

(9)

为了保证能量有限条件，限制不同波形的均为1。在式(8)和式(9)的条件下，整形脉冲的能量均为1，满足要求。同时，为了公平，要求不同波形对应系统具有相同的比特速率，即相同的比特周期。由于均为1，根据可知，不同系统的也相同。因此，不同系统的将只与系统的相关。

根据以上分析，只需比较不同整形脉冲的值，数值越小，DS-CDMA系统的误码率性能越好。

这里选择六种波形进行对比，其中常规波形两个，PSWF波形四个。

常规波形为：三角波和升余弦波。两种常规波形经过幅度归一化后表达式为：

1) 三角波：

(10)

2) 升余弦：

(11)

PSWF波形选择PSWF_1()、PSWF_2()、PSWF_3()、PSWF_4()四种。

表1所示为按照公式计算得到的各波形值的大小。由表可知，的大小顺序由大到小依次为：PSWF_1 > 三角波 > 升余弦(PSWF_2) > PSWF_3 > PSWF_4。根据以上分析，采用相应波形的DS-CDMA系统的的大小顺序依次为：PSWF_4 > PSWF_3 > PSWF_2(升余弦) > 三角波 > PSWF_1，对应的系统误码性能优劣顺序从优到劣依次应为：PSWF_4、PSWF_3、PSWF_2(升余弦)、三角波、PSWF_1。由于升余弦波形是常规波形中性能最优的波形，也就是说PSWF_3和PSWF_4波形具有比上述常规波形更好的误码率性能。

4.2. 吞吐量比较

对于DS-CDMA系统，当用户的数量超过DS-CDMA的系统容量时，由于过载，数据包就会发生丢失。为了考量系统发送数据的能力，在DS-CDMA系统中，定义系统的吞吐量(Throughput)为：单位时间段内成功接收到的平均数据块个数。如果用系统容量进行归一化，则可得到归一化吞吐量。其定义式如式(12)：

(12)

表1. 能量有限条件下各波形的M_c值

其中，为包含个数据比特的数据块传输成功的接收概率，定义为：,为个用户同时出现时的平均误比特率，是每个传输成功的数据块所包含的比特数目。同时，为在传输的数据块中包含个用户的概率，若给定通信速率服从泊松分布，则其定义为：

(13)

若给定通信速率服从二项分布，则其定义为：

(14)

其中，是系统容量，即系统所能容纳的最大用户数。本文仅对通信速率服从二项分布的情况讨论研究。

由DS-CDMA系统的归一化误码率定义式可以看出，在系统容量和通信速率都给定的情况下，相当于已经给定，对某个特定DS-CDMA系统，也是给定的，因此只需要求得系统中同时存在不同个用户时的误比特率，根据以上公式便可通过计算得出DS-CDMA系统的归一化吞吐量。

5. 仿真结果和分析

为了验证第3节关于误码率的比较结果，并进一步研究Throughput性能，本节在能量有限条件下，通过对不同整形脉冲对应的DS-CDMA系统进行Matlab仿真，研究系统误码率和吞吐量性能的变化情况。

5.1. 误码率仿真

仿真主要参数为：DS-CDMA系统，QPSK调制，Gold码(码长为31)扩频，用户数选择user = 1，user = 10，user = 30三种情况，信道选择AWGN信道和Rayleigh信道两种，采用Rake接收机。

由图3可知，在AWGN信道下，对于单用户情况，采用四种不同整形脉冲的DS-CDMA系统的误码率性能几乎一样。对于多用户情况，无论是user = 20还是user = 30，系统误码率性能的优劣顺序从优到劣均为：PSWF_4、PSWF_3、PSWF_2(升余弦)、三角波、PSWF_1，并且，随着user个数的增加，各波形之间的误码率差距越来越大，也就是说，系统的检测性能差别越来越大，这与多用户下MAI对DS-CDMA系统误码率影响的理论分析是吻合的。另外，对于PSWF波形，时间带宽积因子越大，对应的系统误码率性能越好。

由图3可知，在Rayleigh信道条件下，无论单用户情况还是多用户情况，采用不同整形波形的系统误码率性能顺序和AWGN信道情况完全一致。不同的是，同等条件下，Rayleigh信道情况的误码率更大，

图3. 误码率性能仿真结果(a) (b) (c) 为AWGN信道环境，(d) (e) (f) 为Rayleigh信道环境

不同波形之间的误码率性能差距更小。

5.2. Throughput仿真

仿真参数为：DS-CDMA系统，Gold码扩频，，，，Rayleigh信道，Rake接收，接收分集数分别为2和3。仿真结果如图4。

由图4可知，在Rayleigh信道下的DS-CDMA系统，无论接收分集数M = 2还是M = 3时，系统吞吐量的大小顺序从大到小均为：PSWF_4、PSWF_3、PSWF_2 (升余弦)、三角波、PSWF_1。并且，随着M值的增大，相同整形脉冲情况下，系统的吞吐量变大。由此可见，在Rayleigh信道下的DS-CDMA系统吞吐量性能与误码率性能的顺序完全相同，且当接收分集数越多时，系统吞吐量性能更好。对于PSWF波形，由仿真结果可知，时间带宽积因子越大，系统吞吐量性能越好。

6. 结束语

本文针对CDMA系统面临的多址干扰问题，首先从理论上分析了能量有限情况下整形脉冲对DS-CDMA系统性能的影响，提出了将椭圆球面波函数PSWF作为整形脉冲。与其他常规波形进行比较，分析得出了PSWF_4、PSWF_3波形比其他常规波形对DS-CDMA系统性能的提升更大的结论。进一步通过Matlab仿真验证了如下结论：在AWGN信道和Rayleigh信道环境中，不同用户数情况下，PSWF_4、PSWF_3波形比其他常规波形具有更优的误码率性能，在Rayleigh信道环境中，不同分集数条件下，PSWF_4、PSWF_3具有比其他常规波形更优的Throughput性能。

图4. 误码率性能仿真结果(a) (b) (c) 为AWGN信道环境，(d) (e) (f) 为Rayleigh信道环境

综上所述，在CDMA多用户通信中，在能量有限情况下，PSWF_4、PSWF_3具有比其他常规波形更优的检测性能，可以有效降低多址干扰的影响。

基金项目

天津市应用基础及前沿研究计划项目BE026011。

文章引用

朱宁龙,李海月,李英善. PSWF函数在CDMA系统脉冲整形中的应用
The Application of Pulse Shaping in CDMA Communication System Based on PSWF[J]. 无线通信, 2016, 06(03): 81-91. http://dx.doi.org/10.12677/HJWC.2016.63011

参考文献 (References)