Statistics and Application
Vol.05 No.03(2016), Article ID:18501,7 pages
10.12677/SA.2016.53022

The Empirical Bayes Two-Sided Tests for the Parameter of Linear Exponential Distribution under Longitudinal Data

Xiuhui Luo, Chengdong Wei*, Jinli Li

School of Mathematical and Statistics Sciences, Guangxi Teachers Education University, Nanning Guangxi

Received: Aug. 19th, 2016; accepted: Sep. 4th, 2016; published: Sep. 9th, 2016

Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

ABSTRACT

In the case of longitudinal data, this paper studies two-side test problem of linear exponential distribution parameters under square loss function. By applying Markov inequality, the EB test rules for parameter of the linear exponential distribution are constructed and the asymptotically optimal property is obtained. Finally, we obtain the convergence rate of the proposed EB test under suitable conditions.

Keywords:Longitudinal Data, Linear Exponential Distribution, Empirical Bayes Test, Asymptotic Optimality, Convergence Rate

纵向数据下线性指数分布参数的经验Bayes 双边检验

罗修辉,韦程东*,李进立

广西师范学院数学与统计科学学院,广西 南宁

收稿日期:2016年8月19日;录用日期:2016年9月4日;发布日期:2016年9月9日

摘 要

基于纵向数据下,本文讨论了在平方损失函数下线性指数分布参数的双边检验问题,利用Markov不等式证明了构造的经验贝叶斯双边检验函数具有渐近最优性,并获得了其收敛速度。

关键词 :纵向数据,线性指数分布,经验Bayes,渐近最优性,收敛速度

1. 引言

自John和Ryzin [1] [2] 分别对独立同分布()样本情形的离散型和连续型指数族提出经验贝叶斯(EB)检验方法以来,经过国内外学者的致力研究,目前对于分布族参数的经验贝叶斯双边检验问题的研究已有了一定的成果 [3] - [8] 。但大多数文献都是针对无重复样本进行讨论的,而很少讨论重复样本下贝叶斯的双边检验问题。然而,在实际研究中常常需要对随机变量进行大量重复的观测,如在生物学,医学和经济学等领域的研究中常常对观测个体进行重复的大量观察,获得一系列的纵向数据。鉴于此,本文将在纵向数据情形下,构造线性指数分布族参数的检验函数,并对其双边检验问题进行讨论。

考虑如下的线性指数分布族

(1)

其中,为未知参数,为常数且已知。参数空间为。样本空间为

本文讨论下列双边检验问题

(2)

此处为给定的常数,如果取,则(2)等价于

(3)

对于(3)式的双边假设检验问题,可设其平方损失函数为

其中,为常数,表示行动空间;表示接受则表示否定;此处假定参数的先验分布为,且,其中先验分布族为。而且未知。

设随机判决函数为

, (4)

的风险函数为

(5)

此处

(6)

的边缘分布为

,故有

所以由(6)得

(7)

其中分别表示的一阶和二阶导数,且

由(6)可知贝叶斯检验函数为

(8)

其贝叶斯风险为

(9)

若先验分布已知且等于时,是可以精确达到的。然而是未知的,因此对我们而言是不适用的,于是需要引入EB方法。

2. EB检验函数的构造

本节主要目的是构造纵向数据下的EB检验函数。设序列共同的边际概率密度函数为表示历史样本,表示当前样本。记纵向数据为对历史样本进行第次观测所得的样本相互独立,且为其共同的边际概率密度函数。记,假定,其中表示中的一族概率密度函数,其有s阶导函数,连续且有。接下来首先构造的估计量。

为有界的Borel可测函数,其在区间之外取值为零且满足条件

表示的第阶导数。定义的核估计为

(10)

其中为正数序列,且。由于,故可定义的估计量为

所以的估计量定义为

(11)

故EB检验函数定义为

(12)

的联合分布均值,若有,其中为EB检验函数的全面Bayes风险

(13)

则称为渐近最优的EB检验函数。

若有,则称EB检验函数的收敛速度为。接下来将导出的渐近最优性及其收敛速度。

3. 几个主要的引理

引理3.1 [5] :设由(10)式定义,其中为独立同分布随机变量序列。假定条件(A1)成立,对

(I) 当关于连续,当时,则有

(II) 当,当取时,对于

引理3.2 [2] :令分别由(9)和(13)式给出,则

引理3.3 [6] :设,则对

4. EB检验函数的性质

本节主要讨论线性指数分布函数族的的性质并导出其收敛速度为

定理4.1:设由(12)式定义,为独立同分布随机变量序列。假定条件(A1)成立,若

(i)为正数序列,且满足,

(ii)

(iii)的连续函数。

则有

(14)

证明:由引理3.2得

(15)

,则有。又由式(6)和Fubini定理得

故由控制收敛定理我们可以得到

所以要证明定理1成立,只需证明成立即可。

由马尔科夫不等式和Jansen不等式有

再由引理3.1中的(I)知,,当时,有

(16)

将式(16)带入式(15),定理得证。

定理4.2:设由(12)式定义,其中为独立同分布随机变量序列。假定条件成立,且,若

(iv)

则当取时,有

(17)

其中为正整数。

证明:由引理3.2,引理3.3和Markov不等式得

(18)

由引理3.2 (II)和条件(iv)知

(19)

(20)

(21)

(22)

其中表示常数。

将式(19)~(22)带入(18)得

定理得证。

从定理4.2可以看出,当时,收敛于

基金项目

国家自然科学基金项目(A011103);数据科学广西高等学校重点实验室资助项目。

文章引用

罗修辉,韦程东,李进立. 纵向数据下线性指数分布参数的经验Bayes双边检验
The Empirical Bayes Two-Sided Tests for the Parameter of Linear Exponential Distribution under Longitudinal Data[J]. 统计学与应用, 2016, 05(03): 225-231. http://dx.doi.org/10.12677/SA.2016.53022

参考文献 (References)

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