ABSTRACT

The problem of the solvability for the matrix equation is studied by using the matrix decomposition and its Moore-Penrose generalized inverse. Some solvability conditions are obtained and the general expression of its solution is given.

Keywords:Matrix Equation, Solvability, Generalized Inverse

矩阵方程的解

赵琳琳，王金婵

德州学院数学科学学院，山东 德州

收稿日期：2015年10月16日；录用日期：2015年11月2日；发布日期：2015年11月6日

摘 要

利用矩阵分解，结合矩阵广义逆理论，研究了矩阵方程有解的条件，得到了方程有解时解的一般表达式。

关键词 :矩阵方程，可解性，广义逆

1. 引言

令表示所有复矩阵的集合。符号，，分别表示矩阵的转置，Moore-Penrose逆和秩。矩阵方程在观察器设计、带有输入约束的控制系统和故障检验等领域中有着广泛的应用。对于上述方程，文献[1] 利用矩阵的广义逆给出了C为复对称矩阵时它可解的条件；文献[2] 利用正则矩阵束得到了它唯一可解的条件；文献[3] 研究了方程的一般解；文献[4] 讨论了算子方程的可解性质。本文将利用矩阵分解及其广义逆讨论矩阵方程的一般可解性及解的表达式。

2. 主要结果

本文以下所有讨论中符号表示适当阶数的单位矩阵，下面我们首先给出两个引理。

引理2.1 [5] ：设。则方程有解当且仅当

，

且其一般解可表示为

其中为任意矩阵，满足，这里。

引理2.2 [6] ：设，。则方程有解当且仅当，且其一般解可表示为，其中为任意矩阵。

定理2.1：设，，。令。若是行满秩的，则方程可解，并且可表示为

(1)

其中为任意矩阵并满足，，为任意矩阵。

证明:方程等价于

由方程和上述方程可得，

(2)

(3)

方程有解等价于方程(2)和(3)有公共解。由引理2.1可得，

，其中

，其中

由以上两方程得，

由引理2.2，若是行满秩的，则方程可解，并且可由(1)式表示。

定理2.2：设，，。若，则方程可解的充要条件是存在矩阵满足，使得

且它的一般解可表示为

其中，为任意矩阵。

证明:由定理2.1和引理2.2易证。

在实践中经常会遇到定束，定义为：若，且为正定矩阵，则称为定束。对于阶矩阵满足，，由文献([6] , p. 152)可知存在非奇异实矩阵使得

(4)

(5)

由上述性质可得方程可解的另一条件。

定理2.3：设为定束，其中均为阶矩阵，则方程可解当且仅当

且，(6)

若令，则其一般解可表示为

(7)

这里，，。

证明：由(4)和(5)式可得，方程等价于

令，。则

上面的方程可分解为如下的个方程

和如下的个二阶系统

由上面的方程可得当(6)式成立时，方程有解且解可由(7)式表示。

3. 结论

通过矩阵分解及其广义逆，研究了矩阵方程的可解性,得到了若干可解的条件和解的一般表达式。

基金项目

山东省高等学校科研发展计划项目(J13LI53)。

文章引用

赵琳琳,王金婵. 矩阵方程AX+X^TB=C的解
Study on the Solvability of Matrix Equation AX+X^TB=C[J]. 理论数学, 2015, 05(06): 255-258. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2015.56036

参考文献 (References)