鲁东大学数学与统计科学学院，山东 烟台

收稿日期：2021年12月20日；录用日期：2022年1月22日；发布日期：2022年1月29日

摘要

刻画对称图的正则覆盖是代数图论的基本问题之一，它常常是刻画一般对称图的关键环节。完全二部图作为典型的对称图类，作为正规商图出现在很多传递图类的研究中。本文利用有限群论的技巧和陪集图的相关性质，刻画了2p阶完全二部图的边传递部分亚循环覆盖，并且构造了一类完全二部图的边传递初等交换覆盖。本文的结果将部分亚循环群的覆盖归为幂零群的覆盖问题，将对一般亚循环覆盖的研究起到一定的促进作用。

关键词

完全二部图，正则覆盖，边传递图

Edge-Transitive Metacyclic Regular Covers of the Complete Bipartite Graph K_p,p

Zhaohong Huang

School of Mathematics and Statistics Science, Ludong University, Yantai Shandong

Received: Dec. 20^th, 2021; accepted: Jan. 22^nd, 2022; published: Jan. 29^th, 2022

ABSTRACT

Characterizing regular covers of symmetric graphs is one of the fundamental topics in the field of algebra graph theory, and is often a key step for approaching general symmetric graphs. Complete bipartite graphs, as typical symmetric graphs and normal quotient graphs, appear in many studies of transitive graphs. In this paper, we characterize the edge transitive partial metacyclic covers of complete bipartite graphs of order 2p, and we construct the edge transitive elementary abelian cover of complete bipartite graphs by using the techniques of finite group theory and the related properties of coset graphs. The results of this paper classify the cover of some metacyclic groups as the cover problem of nilpotent groups, which will promote the study of the general metacyclic cover.

Keywords:The Complete Bipartite Graph, Regular Cover, Edge-Transitive Graph

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

1938年，R. Frucht证明了对于任意给定的抽象群，都存在一个图以它为自同构群。此项工作揭开了群与图(代数图论)研究的帷幕。近几十年来，代数图论的研究出现了快速的发展，并在计算机网络、密码学、原子物理学、结构化学等众多学科中有很好的应用。研究传递图的一个典型方法是利用图的自同构群的正规子群做正规商图。而基图的覆盖的研究常常成为刻画一般传递图类的“关键”环节，成为了代数图论学科最重要的、最根本的研究方向。经过众多学者的研究，逐渐形成了一套建立在电压图技术上的图的“覆盖理论”。应用这些理论，一系列小阶数对称图的循环和初等交换正则覆盖被完全确定。

经过众多学者的研究，逐渐丰富基图的覆盖图的研究方法和研究成果。应用电压图技术，一些小阶数对称图的循环和初等交换正则覆盖被完全确定。文献 [1] [2] [3] 等得到一些小阶数小度数对称图的初等交换覆盖。此外，文献 [4] [5] 等分类了完全图 $K_n$ 和 $K_{n,n}-n{K}_2$ (完全二部图去掉一个完全匹配)的2-弧传递循环和一些初等交换覆盖，其中n为任意大于等于4的正整数，并发现2类非常有趣的电压图类。

本文主要是刻画二倍素数阶完全二部图图类的边传递亚循环正则覆盖。

2. 已有结论及相关准备

2.1. 抽象群和群作用

设G是群，对任意的 $a,g\in G$ ，用 $a^g:=g^{-1}ag$ 表示a在g下的共轭。对于G的子群H，用 $H^g:=g^{-1}Hg$ 表示H在g下的共轭子群。

我们用End(G)表示G的全体自同态作成的环，用Aut(G)表示G的全体自同构作成的自同构群，用Inn(G)表示G的全体内自同构作成的群。众所周知：Inn(G)为Aut(G)的正规子群，且 $Inn\left(G\right)\cong G/Z\left(G\right)$ ，其中Z(G)为G的中心。

下面介绍群的正规化子和中心化子的概念。

定义2.1 设H为群G的子群，则称 $N_G\left(H\right)=\left\{g\in G|H^g=H\right\}$ 为H在G中的中心化子，称 $C_G\left(H\right)=\left\{g\in G|h^g=h,\forall h\in H\right\}$ 为H在G中的中心化子。

关于正规化子和中心化子，下面是重要且基础的“N/C”定理。

定理2.1 [6] 设 $H\le G$ ，则 $N_G\left(H\right)/C_G\left(H\right)$ 同构于Aut(H)的一个子群。

定义2.2 设G为一个群，若G有一个正规子群N使得 $G/N\cong K$ ，则称G为N被K的扩张，记为 $G=N.K$ 。如果G的两个子群N，K满足条件： $G=NK$ ， $N⊲G$ ， $K\le G$ 且 $N\cap K=1$ ，那么称群G为N与K的半直积，记作 $G=N:K$ 。特别地，若K也是G的正规子群，则G是子群N与K的直积，记作 $G=N\times K$ 。

设G为一个有限群，p为整除群G的阶 $\left|G\right|$ 的一个素数，若 $p^n|\left|G\right|$ 但 $p^{n+1}$ 不能整除 $\left|G\right|$ ，则记为 $p^n\parallel \left|G\right|$ 。

定理2.2 [7] 设p为素数。

第一Sylow定理：设 $p^n\parallel \left|G\right|$ ，则G中必存在 $p^n$ 阶子群，称为G的Sylow p-子群。

第二Sylow定理：G的任意两个Sylow} p-子群皆在G中共轭。

第三Sylow定理：G中Sylow p-子群的个数 $n_p$ 是 $\left|G\right|$ 的因子，并且 $n_p\equiv 1\left(\mathrm{mod}p\right)$ 。

定义2.3设N是群G的子群，称N在G中有补，如果存在G的子群K使得 $G=NK$ ，并且 $N\cap K=1$ ，这时称K为N在G中的补群。

定理2.3 [7] 设N是G的正规Hall子群，则

1) N在G中有补：

2) 若N或G/N可解，H和H₁是N在G中的两个补群，则在N存在元素u使 $H^u=H_1$ 。

定理2.4 [7] 设G是有限群，则下述命题等价：

1) G是幂零群；

2) 若 $H<G$ ，则 $H<N_G\left(H\right)$ ；

3) G的每个极大子群M都是G的正规子群，并且 $\left|G:M\right|$ 是素数；

4) G的每个Sylow子群都是正规的，因而G是它的诸Sylow子群的直积。

定义2.4 1) 设G是有限群，令 $\Phi \left(G\right)$ 表示G的所有极大子群的交，我们称 $\Phi \left(G\right)$ 为G的Frattini子群。

2) 设G为有限群，G的所有幂零正规子群的乘积称为G的Fitting子群，它是G的最大幂零正规子群。

易知，群G的Frattini子群和Fitting子群都是G的特征子群。

定义2.5 [7] 设 $\Omega$ 为一个非空集合， $\Omega$ 中的元素称为点， $S_{\Omega }$ 表示 $\Omega$ 上的对称群。 $\phi$ 称为群G在 $\Omega$ 上的一个作用，如果 $\phi$ 是G到 $S_{\Omega }$ 的一个同态。即G中每个元素x对应 $\Omega$ 上的一个变换 $\phi \left(x\right):\alpha \to {\alpha }^x$ ，并且满足 ${\left({\alpha }^x\right)}^y={\alpha }^{xy},x,y\in G,\alpha \in \Omega$ 。

如果 $Ker\phi =1$ ，称G忠实地作用在 $\Omega$ ，此时G可看作 $\Omega$ 上的置换群. 如果 $Ker\phi =G$ ，称G平凡地作用在 $\Omega$ 上。

定义2.6 [7] 设群G作用在集合 $\Omega$ 上，则对每个 $\alpha \in \Omega$ ，

$G_{\alpha }=\left\{x\in G|{\alpha }^x=\alpha \right\}$

是G的子群，称为点 $\alpha$ 的稳定子群。并且对任意的 $y\in G$ ，有 $G_{{\alpha }^y}=y^{-1}{G}_{\alpha }y$ 。

定义2.7 1) 如果G作用在集合 $\Omega$ 上只有一个轨道，那么称G在 $\Omega$ 上传递。

2) 群G作用在集合 $\Omega$ 上称为半正则的，如果对每个 $\alpha \in \Omega$ 都有 $G_{\alpha }=1$ 成立。传递的半正则群称为正则群。

3) 设G作用在集合 $\Omega$ 上， $\Delta$ 为 $\Omega$ 的一个子集，称 $G_{\Delta }=\left\{g\in G|{\Delta }^g=\Delta \right\}$ 为G在 $\Delta$ 上的稳定子群。

2.2. 图的已有结论

对于无向图 $\Gamma$ 的两个顶点u和v，用u~v表示u与v邻接，用 $\Gamma \left(u\right)$ 表示所有与u邻接的点作成的集合。在本文分别用 $V\Gamma ,E\Gamma ,A\Gamma$ 表示图 $\Gamma$ 的顶点集，边集和弧集。

定义2.8 设L, R是群G的两个子群，且 $L\cap R$ 在G中是core-free的。定义二部陪集图 $\Gamma =Cos\left(G,L,R\right)$ ，其中顶点集为 $\left[G:L\right]\cup \left[G:R\right]$ 且

$\left\{Lx,Ry\right\}\in E\Gamma \iff y{x}^{-1}\in RL$ 。

关于二部陪集图我们常用下面的两个引理。

引理2.5 [8] 群G的两个子群L, R满足 $L\cap R$ 在G中是ore-free的，则二部陪集图 $\Gamma =Cos\left(G,L,R\right)$ 有下列性质：

1) $\Gamma$ 是连通的当且仅当 $\langle L,R\rangle =G$ ；

2) $G\le Aut\Gamma$ ，且 $\Gamma$ 是G-边传递和G-点不传递；

3) $\Gamma \left(L\right)=\left\{Rx|x\in L\right\},\Gamma \left(R\right)=\left\{Lx|x\in R\right\}$ ；

4) $\left|\Gamma \left(u\right)\right|=\left|L:L\cap R\right|,\left|\Gamma \left(\omega \right)\right|=\left|R:L\cap R\right|$ ，其中 $u\in \left[G:L\right],\omega \in \left[G:R\right]$ 。

反过来，每个G-边传递但不是G-点传递图都同构于二部陪集图 $\Gamma =Cos\left(G,G_u,G_{\omega }\right)$ ，其中 $u,\omega$ 是邻接的两个点。

引理2.6 [7] 设 $\Gamma =Cos\left(G,L,R\right)$ ，其中L, R为G的子群，且 $L\cap R$ 在G中是core-free的。设存在 $\sigma \in Aut\left(G\right)$ 使得 $\sigma$ 交换L和R，或者稳定L和R，则 $\sigma$ 可以自然地诱导图 $\Gamma$ 上的一个自同构。

特别地，如果 $\sigma$ 交换L和R，那么 $\Gamma$ 是弧传递图。

定理2.7 [9] 设 $\Gamma$ 为X-点传递局部本原图，且X有一个正规子群N在 $V\Gamma$ 上至少有3个轨道，则下列结论成立：

1) N在 $V\Gamma$ 上半正则， $X/N\le Aut\left({\Gamma }_N\right)$ ， ${\Gamma }_N$ 为X/N-局部本原图，且 $\Gamma$ 为 ${\Gamma }_N$ 的N-正则覆盖。

2) 为 $\left(X,s\right)$ -弧传递图 $\left(s\ge 2\right)$ 当且仅当 ${\Gamma }_N$ 为 $\left(X/N,s\right)$ -弧传递图，其中 $1\le s\le 5$ 或 $s=7$ ；

3) $X_{\alpha }\cong {\left(X/N\right)}_{\delta },\alpha \in V\Gamma ,\delta \in V{\Gamma }_N$ ；

4) 如果X有一个正规子群 $M\subset N$ ，则 ${\Gamma }_M$ 为 ${\Gamma }_N$ 的 X/M-局部本原N/M-正则覆盖。

定理2.7 [10] 设 $\Gamma$ 是2p阶对称图 $\Sigma$ 的 $Z_n$ -正则覆盖，其中p是素数且 $val\left(\Sigma \right)=r$ 是奇素数。设保纤群在 $\Gamma$ 上是弧传递的，则

1) 当 $\Sigma \cong K_4$ 时，有 $n=2$ ， $\Gamma \cong K_{4,4}-4K_2$ ，或 $n=4$ ， $\Gamma \cong P\left(8,3\right)$ 是广义Petersen图；

2) 当 $\Sigma \cong O_2$ 时，有 $n=2$ ， $\Gamma$ 是正十二面体或 $O_2$ 的标准双覆盖；

3) 当 $\Sigma \cong K_{2p},p\ge 3,2p-1=r$ 时，有 $n=2$ ， $\Gamma \cong K_{2p,2p}-2p{K}_2$ ；

4) 当 $\Sigma \cong K_{p,p}$ 时， $\Gamma \cong Cos\left(G,\langle a\rangle ,\langle b\rangle \right),CD\left(2pn,p,k\right)$ 或者 $CG{D}_{2pn,k,l}^{\left(1\right)},CG{D}_{2pn,k,l}^{\left(2\right)}$ ；

5) 当 $\Sigma \cong CD\left(2p,r\right),r|\left(p-1\right)$ 时，有 $n=r^s{p}_1^{r_1}\cdots p_t^{r_t}$ ，其中 $s\le 1,t\ge 0,p_1,p_2,\cdots ,p_t$ 不相同的素数，使得对每个 $1\le i\le t$ ，都有 $r|p_i-1$ ，且

i) $\Gamma \cong CD\left(2pn,r,k\right)$ 是二面体群 $D_{2pn}$ 上的正规Cayley图；或

ii) $\Gamma$ 是广义二面体群 $Dih\left(Z_n\times Z_p\right)$ 上的正规弧传递Cayley图，其中 $p|n$ 。

定理2.8 [11] 设 $\Gamma$ 是2p阶对称图 $\Sigma$ 的K-正则覆盖，其中p是素数且 $val\left(\Sigma \right)=r$ 是奇素数，覆盖变换群 $K\cong Z_m.Z_q$ 为亚循环群但非循环群，且 $q<r$ 为素数。设保纤群在 $\Gamma$ 上是弧传递的，则下述之一成立：

1) $\Sigma \cong K_4,K\cong D_{2m}$ ，其中m是奇数， $\Gamma$ 如文献

2) $\Sigma \cong C{D}_{2p}$ ，其中 $3|\left(p-1\right),m=2\cdot 3^s{p}_1^{r_1}\cdots p_t^{r_t},s\le 1,t\ge 0,p_1,\cdots ,p_t$ 是互不相同的素数，使得对每个 $1\le i\le t$ ，都有 $3|p_i-1,K\cong Z_{2m}\times Z_2$ ，且 $\Gamma \cong CGD\left(2,\frac{mp}{2},\lambda \right),\Gamma \cong CGD\left(2,\frac{m}{2p},\lambda \right),p|m$ 。

3) $\left(\Gamma ,K,\Sigma \right)$ 如下所示：

3. 完全二部图K_p,p的边传递亚循环正则覆盖

在这一节，我们将给出本文的主要结果和完全二部图的边传递交换正则覆盖的例子。

设 $\Gamma$ 是完全二部图 $\Sigma$ 的边传递K-正则覆盖，其中 $\Sigma \cong K_{p,p}$ ， $K:=\langle a\rangle .\langle b\rangle \cong Z_m.Z_n$ ，且 $\left(\left|K\right|,p\right)=1$ 。设 $X\le Aut\left(\Gamma \right)$ ， $\Gamma$ 是X-弧传递的。令 $Y:=X/K\le Aut\Sigma$ ，且Y在 $K_{p,p}$ 上是弧传递的。设 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 是 $K_{p,p}$ 的两个部， $Y^{+}:=Y_{{\Delta }_1}=Y_{{\Delta }_2}$ ， $X^{+}:=K.Y^{+}$ ，则 $\left|X:X^{+}\right|=2,\left|Y:Y^{+}\right|=2$ 。设 $K_1,K_2$ 是 $Y^{+}$ 分别作用在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上的核，若 $Y^{+}$ 忠实作用在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上，则 $Y^{+}\le S_p$ ，且 $Y_{\alpha }^{+}\le S_{p-1}$ ，矛盾。由此得到 $Y^{+}$ 非忠实作用在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上，且 $K_1\cap K_2=1$ ， $K_1\times K_2⊲Y^{+}$ 。令 $P:=Y^{+}/\left(K_1\times K_2\right)$ ，则 $K_2.P\cong Y^{+}/K_1$ 是 ${\Delta }_1$ 上的传递置换群， $K_1.P\cong Y^{+}/K_2$ 是 ${\Delta }_2$ 上的传递置换群。 $K_i.P$ 是p个点上的传递置换群，则 $K_i.P$ 是本原置换群。

令 $T_i=soc\left(K_i.P\right)$ ， $G:=K.\left(T_1\times T_2\right)$ 。设 $T_i$ 交换， $i=1,2$ ，则 $T_1\times T_2\cong Z_p^2$ 在 $K_{p,p}$ 上边传递、点不传递，由此推出 $G:=K.\left(T_1\times T_2\right)=\left(Z_m.Z_n\right).Z_p^2$ 在 $\Gamma$ 边传递、点不传递，进一步由引理2.5知， $\Gamma \cong Cos\left(G,G_{\alpha },G_{\beta }\right)$ ，其中 $\alpha ,\beta$ 是 $\Gamma$ 上的相邻接的两个顶点。

引理3.1 设 $H:=\left(\langle x\rangle \times \langle y\rangle \right):\langle \sigma \rangle \cong \left(Z_p\times Z_p\right):Z_2$ ，其中 $x^{\sigma }=y$ ，则H由两个p阶正规子群 $\langle xy\rangle ,\langle x{y}^{-1}\rangle$ 。

证明：由于 $x^{\sigma }=y$ ，可知 $\sigma :x^i{y}^j\to y^i{x}^j$ ，其中 $0\le i,j\le p-1$ 。设 $\langle x^i{y}^j\rangle$ 是H的p阶正规子群，则 $y^i{x}^j\in \langle x^i{y}^j\rangle$ 。我们不妨假设 $y^i{x}^j={\left(x^i{y}^j\right)}^k$ ，则 $y^i{x}^j=x^{ik}{y}^{jk}$ ，由此得到 $x^{ik-j}{y}^{jk-i}=1,p|\left(ik-j\right),p|\left(jk-i\right)$ 。设 $ik-j=lp$ ，则 $j=ik-lp$ ， $jk-i=\left(ik-lp\right)k-i=i{k}^2-lpk-i$ ，由此得到 $p|\left(i{k}^2-lpk-i\right),p|\left(i{k}^2-i\right)$ ，即 $p|i\left(k^2-1\right)$ 。因为p不能整除i，则 $p|\left(k^2-1\right)$ ， $k\equiv \pm 1\left(\mathrm{mod}p\right)$ 。可知 $y^i{x}^j=x^i{y}^j$ ，或者 $y^i{x}^j={\left(x^i{y}^j\right)}^{-1}$ 。如果 $y^i{x}^j=x^i{y}^j$ ， $y^{j-i}{x}^{i-j}=1,p|\left(j-i\right)$ ，即 $i\equiv j\left(\mathrm{mod}p\right)$ ，可知此时 $\langle x^i{y}^j\rangle =\langle xy\rangle$ 。如果 $y^i{x}^j={\left(x^i{y}^j\right)}^{-1}$ ，则 $y^{j+i}{x}^{i+j}=1,p|\left(j+i\right)$ ，即 $i\equiv -j\left(\mathrm{mod}p\right)$ ，可知此时 $\langle x^i{y}^j\rangle =\langle x{y}^{-1}\rangle$ 。

引理3.2 设K是亚循环群，令F是K的Fitting子群，则K/F是循环群。

证明：设 $K=\langle a\rangle .\langle b\rangle$ ，则可知 $K^{\prime }\le \langle a\rangle$ ，又因为 $\langle a\rangle \le F$ ，且 $K/\langle a\rangle$ 是循环群，可知K/F也一定是循环群。

定理3.3 设 $K=\langle a\rangle .\langle b\rangle \cong Z_m.Z_n$ ，令 $K/F:=\langle z\rangle$ ，若 $\left(\left|\langle z\rangle \right|,p\right)=1$ ，则 $K=F$ 是幂零群。

证明：因为 $FcharK⊲K.H$ ，故 $F⊲K.H$ 。设 $\overline{K}:=K.H/F=\left(K/F\right).H=\langle z\rangle .\left(\langle x\rangle \times \langle y\rangle :\langle \sigma \rangle \right)$ ，因为 $Aut\left(\langle z\rangle \right)$ 是交换群，且 $C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)=C_{\overline{K}}\left(K/F\right)⊲\overline{K}$ ，所以得到

$C_{\overline{K}}\left(K/F\right)/\left(K/F\right)=C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)/\langle z\rangle ⊲\overline{K}/\langle z\rangle \cong H$ 。

由引理3.1知 $C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)/\langle z\rangle =\langle xy\rangle$ ， $C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)/\langle z\rangle =\langle x{y}^{-1}\rangle$ 或者 $C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)/\langle z\rangle =\langle x\rangle \times \langle y\rangle$ 。

情形(1) $C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)/\langle z\rangle =\langle xy\rangle$

若 $C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)/\langle z\rangle =\langle xy\rangle$ ，则 $\langle x{y}^{-1}\rangle \notin C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)$ 。这是因为若 $xy,x{y}^{-1}\in C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)/\langle z\rangle$ ，则 $\langle x\rangle \times \langle y\rangle \le C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)/\langle z\rangle$ ，这种情况将在下面讨论。由此得到若 $C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)/\langle z\rangle =\langle xy\rangle$ ，则 $\langle x{y}^{-1}\rangle \notin C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)$ 。此时，又因为 $\langle \langle x{y}^{-1}\rangle :\langle \sigma \rangle \rangle =D_{2p}$ ，这与 $Aut\left(\langle z\rangle \right)$ 是交换群相矛盾。

情形(2) $C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)/\langle z\rangle =\langle x{y}^{-1}\rangle$

若 $C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)/\langle z\rangle =\langle x{y}^{-1}\rangle$ ，且 $\langle xy\rangle \notin C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)$ ，则可知 $xy$ 不能中心化 $\langle z_r\rangle$ ，其中r是某个素数，并且可知 $\langle z_r\rangle$ 不能中心化F的Sylow q-子群Q。因为 $F⊲K.H$ ，且 $QcharF$ ，所以 $Q⊲K.H$ 。进一步， $\langle Q,z_r,xy\rangle =Q.\langle z_r,xy\rangle =Q.\left(\langle z_r\rangle .\langle xy\rangle \right)$ ，而 $Aut\left(Q\right)=Q_0.GL\left(2,q\right)$ ，则 $\langle z_r\rangle .\langle xy\rangle \le GL\left(2,q\right)$ ，这不可能。

情形(3) $C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)/\langle z\rangle =\langle x\rangle \times \langle y\rangle$

若 $C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)/\langle z\rangle =\langle x\rangle \times \langle y\rangle$ ，则 $C_{\overline{K}}\left(\langle z\rangle \right)\ge \langle z\rangle \times \langle x\rangle \times \langle y\rangle$ 。令 $W:=K.H=\left(\langle a\rangle .\langle b\rangle \right).\left(\left(\langle x\rangle \times \langle y\rangle \right):\langle \sigma \rangle \right),\overline{W}:=W/K$ 。

因为 $\overline{K}:=K.H/F=\left(K/F\right).H=\langle z\rangle .\left(\langle x\rangle \times \langle y\rangle :\langle \sigma \rangle \right)$ ，且 $FcharK⊲W$ ，所以 $F⊲W$ 。又因为 $K/F=\langle z\rangle$ ， $K=F.\langle z\rangle$ ，所以 $W=\left(F.\langle z\rangle \right).\left(\left(\langle x\rangle \times \langle y\rangle \right):\langle \sigma \rangle \right)=F.\left(\left(\langle z\rangle \times \langle x\rangle \times \langle y\rangle \right):\langle \sigma \rangle \right)=\left(F.\langle x,y\rangle \right).\left(\langle z\rangle .\langle \sigma \rangle \right)$ ，由此可知 $F.\langle x,y\rangle ⊲W$ 。令 $N:=F.\langle x,y\rangle$ ， $\Gamma$ 是W-弧传递图，可知 $\left|V\Gamma \right|=\left|K\right|\cdot 2p$ 。下面分析N作用在 $V\Gamma$ 上的轨道个数。

1) 若N作用在 $V\Gamma$ 上是传递的，则 $\left|{\alpha }^N\right|=2p\cdot \left|K\right|$ ，即 $\left(2p\cdot \left|K\right|\right)|\left(\left|F\right|\cdot p^2\right)$ ，由此得出 $\left(2\left|K\right|\right)|\left(\left|F\right|\cdot p\right)$ 。若 $\left|K/F\right|\ne 1$ ，即 $\langle z\rangle \ne 1$ ，若 $\left(\circ \left(z\right),p\right)=1$ ，则N不可能在顶点集上传递。若 $\left|K/F\right|=p$ ，则 $\left|K\right|=\left|F\right|\cdot p$ ，此时 $2\left|K\right|$ 不能整除 $\left|F\right|\cdot p$ 。若 $\left|K/F\right|=p^2$ ，则 $\left|K\right|=\left|F\right|\cdot p^2$ ，此时 $2\left|K\right|$ 不能整除 $\left|F\right|\cdot p$ 。

由以上分析知，N作用在 $V\Gamma$ 上不可能是传递的。

2) 若N作用在 $V\Gamma$ 上有两个轨道，则 $\left|{\alpha }^N\right|=p\cdot \left|F\right|\cdot \left|\langle z\rangle \right|$ ，此时不可能。

3) N在 $V\Gamma$ 上至少有三个轨道，由引理2.7知， ${\Gamma }_N$ 是W/N-弧传递图，且 $val\left({\Gamma }_N\right)=p$ 。因为 $\left|V\Gamma \right|=\left|K\right|\cdot 2p$ ， $\left|V{\Gamma }_N\right|=\left(\left|K\right|\cdot 2p\right)/\left|{\alpha }^N\right|$ 。因为 $\left(\left|\langle z\rangle \right|,p\right)=1$ ，所以经计算可以得到

$\left|K\right|\cdot 2p/\left|N\right|=2p\cdot \left|F\right|\cdot \left|\langle z\rangle \right|/\left(\left|F\right|\cdot p^2\right)=2\left|\langle z\rangle \right|/p$ ，可知 $\left|V{\Gamma }_N\right|=\left(\left|K\right|\cdot 2p\right)/\left|{\alpha }^N\right|$ 整除 $2\left|\langle z\rangle \right|$ 。

若 $\left(\left|\langle z\rangle \right|,p\right)=1$ ，则只有 $\langle z\rangle =1$ ，即 $K=F$ 是幂零群。

构造1设 $G=\langle a,b,x,y|a^q=b^q=x^p=y^p=1=\left[a,x\right]=\left[b,x\right]=\left[x,y\right],a^y=a^r,b^y=b^{r^i}\rangle$ ，其中 $r={\alpha }^{\frac{q-1}{p}}$ ，

而 $\alpha$ 是模q的原根。若q不能整除 $\left(r-1\right)$ ， $p|\left(r-1\right)$ ，则 $G=\langle xy,aby\rangle$ ，且 $\Gamma \cong Cos\left(G,G_{\alpha },G_{\beta }\right)$ 是完全二部图 $K_{p,p}$ 的边传递 $Z_q^2$ -正则覆盖，其中 $G_{\alpha }=\langle xy\rangle$ ， $G_{\beta }=\langle aby\rangle$ 。

证明：因为 $a^y=a^r$ ， $b^y=b^{r^i}$ ，经过计算可知 ${\left(aby\right)}^p=y^p{a}^{r^p+r^{p-1}+\cdots +r}{b}^{r^{pi}+r^{\left(p-1\right)i}+\cdots +r^i}$ ，因为 $r={\alpha }^{\frac{q-1}{p}}$ ，而

$\alpha$ 是模q的原根，所以 ${\left(aby\right)}^p=y^p{a}^{r^p+r^{p-1}+\cdots +r}{b}^{r^{pi}+r^{\left(p-1\right)i}+\cdots +r^i}=a^{r^p+r^{p-1}+\cdots +r}{b}^{r^{pi}+r^{\left(p-1\right)i}+\cdots +r^i}=1$ ，由此可知 $aby$ 是p阶元。因为 ${\left(xy\right)}^{-1}\left(aby\right)\left(xy\right)=a^r{b}^{r^i}y$ ， $aby\cdot y^{-1}{x}^{-1}=ab{x}^{-1}$ ， ${\left(ab{x}^{-1}\right)}^{-1}=x{b}^{-1}{a}^{-1}$ ，而 ${\left(x{b}^{-1}{a}^{-1}\right)}^r=x^r{b}^{-r}{a}^{-r}$ ， $\left(x^r{b}^{-r}{a}^{-r}\right)\left(a^r{b}^{r^i}y\right)=x^r{b}^{r^i-r}y$ ，进一步计算可以得到 ${\left[{\left(xy\right)}^r\right]}^{-1}\left[x^r{b}^{r^i-r}y\right]=y^{-r+1}{b}^{r^{2i}-r^{i+1}}$ ，

${\left(xy\right)}^{r-1}\cdot \left(y^{1-r}{b}^{r^{2i}-r^{i+1}}\right)=x^{r-1}{b}^{r^{2i}-r^{i+1}}$ ，因为 $r={\alpha }^{\frac{q-1}{p}}$ ，且x是p阶元，所以 ${\left(x^{r-1}{b}^{r^{2i}-r^{i+1}}\right)}^p=b^{p\left(r^{2i}-r^{i+1}\right)}$ 。又因为 $r={\alpha }^{\frac{q-1}{p}}$ ，而 $\alpha$ 是模q的原根，且假设q不能整除 $\left(r-1\right)$ ， $p|\left(r-1\right)$ ，可知 $\left(r^i-r,q\right)=1$ ， $\left(r^i\left(r^i-r\right),q\right)=1$ 。

此时 $b^{r^{2i}-r^{i+1}}\in \langle xy,aby\rangle$ ，又因为 $\left(r^i\left(r^i-r\right),q\right)=1$ ，可知 $b\in \langle b^{r^{2i}-r^{i+1}}\rangle$ ，进一步可知 $b^{-1}aby=ay$ ， ${\left(xy\right)}^{-1}ay\left(xy\right)=a^{r}y$ ， $\left(a^{r}y\right){\left(ay\right)}^{-1}=a^{r-1}$ 。由因为 $\left(q,r-1\right)=1$ ，所以 $a\in \langle xy,aby\rangle$ ， $a^{-1}{b}^{-1}aby=y$ ，进一步可知 $x,y,a,b\in \langle xy,aby\rangle$ ，这样我们得到 $\langle xy,aby\rangle =G$ 。此时令 $G_{\alpha }=\langle xy\rangle$ ， $G_{\beta }=\langle aby\rangle$ ， $\Gamma \cong Cos\left(G,G_{\alpha },G_{\beta }\right)$ ，由引理2.5知 $\left|V\Gamma \right|=2p{q}^2$ 。因为 $R=\langle a,b\rangle ⊲G$ ，可知 ${\Gamma }_R$ 是2p阶p度图， $\Gamma$ 是 $K_{p,p}$ 的边传递 $Z_q^2$ -正则覆盖。

4. 结语

本文利用有限群论的技巧和陪集图的相关性质，将部分亚循环群的覆盖归为幂零群的覆盖问题，并且构造了一类完全二部图的边传递初等交换覆盖，将对2p阶完全二部图的一般亚循环覆盖的研究起到一定的促进作用。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11801252)。

文章引用

黄兆红. 完全二部图K_p,p的边传递亚循环正则覆盖
Edge-Transitive Metacyclic Regular Covers of the Complete Bipartite Graph K_p,p[J]. 理论数学, 2022, 12(02): 233-239. https://doi.org/10.12677/PM.2022.122027

参考文献