中国地质调查局西安矿产资源调查中心，陕西 西安

收稿日期：2021年5月17日；录用日期：2021年6月24日；发布日期：2021年7月1日

摘要

在我国城市化进程中，高层建筑物越来越多。为了保证建筑物的正常使用寿命和建筑物的安全性，很有必要对建筑物进行长期和系统的监测。本文采用时间序列分析法，利用建筑物观测的15期沉降数据建立ARMA模型，对未来3期的沉降值进行预测，通过与实际值进行对比，从检验效果上看，此模型预测精度高，效果好。

关键词

沉降数据，时间序列分析，ARMA模型

Study on Building Settlement Prediction Based on Time Series ARMA Model

Yuan Tian, Ke Yang, Xiaoxing Zhang, Shaolei Kou, Ji Liu, Wei Yang

Xi’an Mineral Resources Survey Center of CGS, Xi’an Shaanxi

Received: May 17^th, 2021; accepted: Jun. 24^th, 2021; published: Jul. 1^st, 2021

ABSTRACT

In the process of urbanization in China, there are more and more high-rise buildings. In order to ensure the normal service life of buildings and the safety of buildings, it is necessary to carry out long-term and systematic monitoring of buildings. In this paper, the time series analysis method is used to establish ARMA model based on the settlement data of 15 periods of building observation to predict the settlement value of the next 3 periods. Through the comparison with the actual value, from the perspective of test effect, this model has high prediction accuracy and good effect.

Keywords:Settlement Data, Time Series Analysis, ARMA Model

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

随着国民经济的发展，高层建筑物越来越多，而建筑物在施工和运营期间，受到多种主观原因和客观因素的影响，会产生变形，变形如果超出了规定的限度，就会影响建筑物的正常使用，严重时还会危及建筑物的安全，给社会和人民生活带来巨大的损失。为了保证建筑物的安全，避免事故，因此对建筑物进行变形监测显得尤为重要。

目前对建筑物沉降预测的研究方法有灰色模型法、小波神经网络法、卡尔曼滤波分析法、回归分析法和时间序列分析法。灰色模型法，是从统计规律的角度进行研究，各因素之间的关系不明确，预测精度不高 [1]。小波神经网络法在进行预测时存在容易陷入局部最优和训练速度慢等缺点，需要不断修正预测值与实际值的误差，而且预测速度慢 [2]。卡尔曼滤波分析法应用的前提是首先知道系统的初始情况，而实际中系统初始情况很难确定，如果估计初始值与实际值相差很大，则会导致模型预测的误差变大 [3]。回归分析法最大的特点就是在偶然中发现必然，而建筑物沉降因素很难确定，因此应用回归分析法预测精度不高 [4]。时间序列分析法是一种动态数据的分析法，能够在数据量很少的情况下对未来进行预测，和对短期预测比较适合 [5]。本文采用时间序列分析法，对不等时间间隔的建筑物沉降观测数据进行处理，研究其随时间变化的规律，利用Eviews软件建立ARMA模型，采用逆函数预报法预测后3期沉降数据值，通过与实际观测值进行对比分析，说明了时间序列分析在建筑物沉降预测的可行性。

2. 时间序列分析法

2.1. 时间序列模型

时间序列分析的基本思想是对于平稳、正态、零均值的时间序列 $\left\{x_t\right\}$，若 $x_t$ 的取值不仅与其前n步的各个取值 $x_{t-1},x_{t-2},\cdots ,x_{t-n}$ 有关，而且还与前m步的各个干扰 $a_{t-1},a_{t-2},\cdots ,a_{t-m}$ 有关( $n,m=1,2,\cdots$ )，按照多元线性回归的思想，可得到一般的ARMA模型 [6]：

$x_t={\phi }_1{x}_{t-1}+{\phi }_2{x}_{t-2}+\cdots +{\phi }_n{x}_{t-n}-{\theta }_1{a}_{t-1}-{\theta }_2{a}_{t-2}-\cdots -{\theta }_m{a}_{t-m}+a_t$ (1)

公式(1)中， ${\phi }_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 称为自回归系数， ${\theta }_j\left(j=1,2,\cdots ,m\right)$ 称为滑动平均系数， $\left\{a_t\right\}$ 称为白噪声序列。该式称为 $x_t$ 的自回归滑动平均模型，简记为ARMA (n, m)模型。

当 ${\theta }_j=0$ 时，称为n阶自回归模型，简记为AR (n)。模型变为

$x_t={\phi }_1{x}_{t-1}+{\phi }_2{x}_{t-2}+\cdots +{\phi }_n{x}_{t-n}+a_t$ (2)

当 ${\phi }_i=0$ 时，称为m阶滑动平均模型，简记为MA (m)。模型变为

$x_t=a_t-{\theta }_1{a}_{t-1}-{\theta }_2{a}_{t-2}-\cdots -{\theta }_m{a}_{t-m}$ (3)

2.2. 时间序列模型的建模步骤

1) 数据预处理。采用ADF检验法对时间序列进行平稳性检验，对于非平稳的时间序列进行差分处理后再进行检验。

2) 模型识别。根据模型自相关系数和偏相关系数的变化特征进行模型识别 [7]，见表1。

表1. 模型类别

3) 模型优化。模型优化的目的是选择相对最优的模型。模型优化采取最小信息量准则(AIC)方法，优先考虑的模型是AIC值最小的 [8]。

4) 模型参数估计。模型参数估计是指求出模型中的自回归系数和滑动平均系数，本文利用极大似然估计法进行参数估计。

5) 模型适用性检验。通过检验模型的残差序列是否为白噪声序列来判断建立的模型是否适用，本文利用LB统计量的方法进行检验。

对于给定的置信概率 $1-\alpha$，可查 ${\chi }^2$ 分布表中自由度为m的 ${\chi }^2$ 值 ${\chi }_{\alpha }^2\left(m\right)$，将LB统计量值与 ${\chi }_{\alpha }^2\left(m\right)$ 进行比较。

当LB检验统计量 $\le {\chi }_{\alpha }^2\left(m\right)$，接受原假设，认为残差序列为白噪声序列，拟合模型显著有效，可用于预测。

当LB检验统计量 $>{\chi }_{\alpha }^2\left(m\right)$，拒绝原假设，说明残差序列中还残留着相关信息，不适合用于预测的时间序列数据，拟合模型不显著 [9]。

6) 模型预测。本文采取逆函数预报法对ARMA模型进行预报，所谓逆函数预报法就是用现在和过去的观察数据通过逆函数对未来值进行预报。

${\hat{x}}_k\left(l\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\lambda }_i^{\left(l\right)}{x}_{k+l-i}}$ (4)

公式(4)称为ARMA (n, m)的逆函数直接预报公式 [10]。它避免了利用 $x_{k+l-i}$ 的预报值 ${\hat{x}}_k\left(l-i\right)$ 对 $x_{k+l}$ 进行预报产生的误差。由于公式(4)中右边是无穷项求和，因此在实际预测中，只取有限项和进行预测。

其中系数 $\left\{{\lambda }_i^{\left(l\right)}\right\}$ 可由公式(5)求得

$\{\begin{array}{l}{\lambda }_i^{\left(l\right)}={\lambda }_i\left(l=1\right)\\ {\lambda }_i^{\left(l\right)}={\lambda }_{i+l-1}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{l-1}{\sum }}{\lambda }_j{\lambda }_i^{\left(l-j\right)}}\left(l>1\right)\end{array}$ (5)

3. 工程实例

现以某住宅楼2019年4月9日至2020年8月30日的沉降数据为样本进行分析。根据建筑区的地质情况，结合建筑物的类别，选定沉降观测的精度为二级，在楼上布置8个沉降观测点，总共观测了18次。

3.1. 数据预处理

本文以1号点的沉降数据为样本进行分析，根据前15期的观测数据对后3期进行预测，沉降数据见表2。

表2. 沉降观测数据

由于时间序列分析法要求的是等间隔、平稳、正态、零均值的数据 [11]。原始数据不利于分析，先将原始数据处理为等时间间隔的观测序列。以14天为间隔，对原始数据进行处理，其处理方法如下 [12]：

1) 将每两次之间测得的沉降量看成是随时间均匀变化。

2) 根据每次间隔的天数，将每次的沉降量除以天数，得到每次测量的沉降速率。

3) 根据整体观测天数的间隔情况，以14天作为间隔，用每次测量的日沉降速率乘以14，此时得到的数据即为等时间间隔的沉降数据，见表3，将其绘制成图如图1所示。

表3. 等时间间隔的沉降数据

对沉降数据利用Eviews软件进行ADF检验，ADF统计量的值大于临界值，因此此序列不平稳，需要进行差分处理。从一阶差分开始，如果数据经过一阶差分后仍不平稳，则进行二阶差分，以此类推，对数据进行处理。经过ADF检验，二阶差分后的沉降数据符合平稳性要求，图2为二阶差分后沉降量变化曲线。

3.2. 模型识别

利用Eviews软件计算出序列的自相关函数和偏相关函数如图3所示。

图1. 等时间间隔的沉降量变化曲线

图2. 二阶差分后沉降量的变化曲线

图3. 自相关函数和偏相关函数分布图

图3中黑色虚线为标准误差，左边为自相关函数的分布图，右边为偏相关函数分布图，分别用AC和PAC表示。可以看出自相关系数和偏相关系数除了延迟一阶在2倍标准差之外，其余全部在2倍标准差范围内波动，这表明序列明显的短期相关。序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当持续和缓慢，因此自相关函数和偏相关系数均不截尾，由此可以初步判定模型为ARMA (n, m)模型。

对于ARMA (n, m)模型来说，图3中自相关系数在延迟一阶时显著不为0，偏相关系数也在延迟一阶时显著不为0，因此可以取n = 1，m = 1来拟合ARMA (n, m)，进行模型适用性检验。如果检验通过，则确定ARMA (n, m)为适用模型。然而这样的判断有很大的主观性，因此可以同时建立多个模型ARMA (1, 1)，ARMA (2, 1)，ARMA (1, 2)进行比较。

3.3. 模型优化与参数估计

根据AIC对模型进行比较，通过计算AIC值进行比较，AIC值最小的那个模型就是相对最优模型。三个模型的AIC值计算结果见表4：

表4. AIC计算表

从表4中可以看出，当n = 1，m = 1时模型的AIC值最小，因此选用ARMA (1, 1)模型。利用最大似然法进行模型参数估计，对应的模型表达式为公式(6)：

${\nabla }^2{x}_t=-0.374{\nabla }^2{x}_{t-1}+0.918a_{t-1}+a_t$，$a_t~N\left(0,0.581\right)$ (6)

3.4. 模型适用性检验

将ARMA (1, 1)的LB统计量与置信概率95%的自由度为m的 ${\chi }^2$ 值 ${\chi }_{\alpha }^2\left(m\right)$ 进行比较，可以看出LB统计量均小于 ${\chi }_{0.05}^2\left(m\right)$，结果见表5，因此拟合模型显著有效。

表5. LB统计量

3.5. 模型预测

利用ARMA (1, 1)对建筑物沉降值进行预测，并将结果还原为原观测的沉降值，与实际值进行对比，结果见表6。

表6. 预测值与实际值对比

从预测结果上看，误差绝对值都在0.02 mm以内，说明模型的选择是合适的，ARMA模型能够有效预测建筑物的沉降。

4. 结论

本文在建筑物沉降预测方面做了一些工作：一是结合某住宅楼的实测沉降数据，利用时间分析方法建立数学模型；二是利用逆函数预报法在沉降数据有限的情况下进行预测。通过分析做出以下结论：

1、不等时间间隔的数据在进行时间序列分析时，要将其转换为等时间间隔且平稳的数据来进行建模。

2、时间序列分析法能够对建筑物沉降进行预测，且效果较为理想。

3、从预测结果上看，利用逆函数预报法可以在样本数据有限的情况下进行预测，且该方法计算简单，短期预测精度高，能够为建筑物沉降变形及时做出预警，确保工程施工的安全和运营安全。

文章引用

田 渊,杨 可,张晓星,寇少磊,刘 基,杨 伟. 基于时间序列ARMA模型的建筑物沉降预测研究
Study on Building Settlement Prediction Based on Time Series ARMA Model[J]. 测绘科学技术, 2021, 09(03): 75-81. https://doi.org/10.12677/GST.2021.93009

参考文献