Pure Mathematics
Vol.06 No.03(2016), Article ID:17541,8 pages
10.12677/PM.2016.63028

Generalized Derivations of Hom-Lie Color Algebra

Jinsen Zhou1, Guangzhe Fan2

1School of Information Engineering, Longyan University, Longyan Fujian

2Department of Mathematics, Tongji University, Shanghai

Received: Apr. 29th, 2016; accepted: May 10th, 2016; published: May 13th, 2016

Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

ABSTRACT

Firstly, we recall some concepts associated with a Hom-Lie color algebra. Moreover, we give the definitions of the generalized derivations, quasi-derivations, center derivations, centroids and quasi-centroids. Furthermore, we investigate some properties and connections between these derivations. Finally, we obtain that the generalized derivations are equal to the sum of quasi-deriva- tions and quasi-centroids.

Keywords:Hom-Lie Color Algebras, Derivations, Generalized Derivations, Quasi-Derivations, Centroids, Quasi-Centroids

Hom-李Color代数的广义导子

周金森1,范广哲2

1龙岩学院信息工程学院,福建 龙岩

2同济大学数学系,上海

收稿日期:2016年4月29日;录用日期:2016年5月10日;发布日期:2016年5月13日

摘 要

首先回忆与Hom-李color代数相关的概念,并且给出它的广义导子、拟导子、中心导子、型心和拟型心的定义。进一步地,研究这些导子之间的性质和联系。最后得到广义导子可以写成拟导子与拟型心之和。

关键词 :Hom-李Color代数,导子,广义导子,拟导子,型心,拟型心

1. 引言

众所周知,Hom-李代数和李color代数都是李代数的重要推广。和这两类代数相关的结构理论和表示理论已被广泛研究。Hom-李color代数是Hom-李代数及李color代数的进一步推广。然而到目前为止,对于Hom-李color代数的研究还是非常少。文献 [1] 介绍了Hom-李color代数的概念,并且构造了几类新的Hom-李color代数。

导子和广义导子在李理论的发展过程中起着非常重要的作用,文献 [2] - [7] 研究了李代数,李超代数,Hom-李代数,李color代数等各类代数的广义导子。文献 [8] 研究了Hom-李color代数的表示理论并且给出了广义导子的定义,但没有考虑广义导子的性质。本文主要研究了Hom-李color代数的广义导子,拟导子,中心导子,型心和拟型心的性质,并且研究了它们之间的联系。

本文的主要结论归结为引理3.1,3.2和定理3.4,3.5,3.7。

本文总假定F是特征为0的代数闭域,是Abelian群,文中出现的均属于

2. 预备知识

首先来回忆一些与Hom-李代数,李color代数以及Hom-李color代数相关的概念和定义。详见文献 [1] [8] [9] 。

定义2.1 Hom-李代数是一个三元组,其中L为数域F上的线性空间,二元运算满足双线性性,是线性映射,且满足

1)

2)

对于任意

线性空间V称为-阶化的,如果存在V的一簇子空间,满足。V中的一个元素

称为次齐次元,如果。在这种情况下,称为a的color。通常用表示a的color,这样V中的每个齐次元素a都有唯一的群中的元素与之对应。为了方便,常省掉“-”。在本文中,用hg(V)表示V中所有齐次元素。

是两个-阶化线性空间,线性映射称为次,如果。进一步,f是0次,即,则称f是偶的。

代数A称为-阶化的,若A是-阶化线性空间,即

若A,B都是-阶化代数,称同态是偶的,如果

定义2.2 称上的双特征映射,,若满足

1)

2)

3)

对于任意

定义2.3 李color代数是一个三元组,其中L为-阶化代数,即,二元运算满足双线性性,上的双特征映射,且满足

1)

2)

对于任意

定义2.4 Hom-李color代数是一个四元组,其中L是-阶化代数,上的双特征映射,偶的双线性映射,偶的同态,且满足

1)

2)

对于任意

注记2.5 如果是一个Hom-李color代数,当取时,此时变成了一个李color代数。若对于任意,都有,则是一个Hom-李代数。因此,可以看出Hom-李color代数是Hom-李代数和李color代数的进一步推广。

是一个Hom-李color代数,若对任意,都有,则称L为保积的Hom-李color代数。

下面给出Hom-李color代数的各类导子和型心的概念。

命题2.6,则是一个Hom-李color代数,其中李color括积为

对于任意,且同态是偶的,满足,对于任意

证明直接计算易知。

定义2.7 设L为保积的Hom-李color代数,称为L的-导子,如果

对于任意

我们把L的-导子的全体记为,则,其中-阶化的,即

定义2.8称为L的-广义导子,如果存在使得

对于任意

我们把L的-广义导子的全体记为,则

,其中

定义2.9称为L的-拟导子,如果存在使得

对于任意

我们把L的-拟导子的全体记作,则

,其中

定义2.10 设L为Hom-李color代数,若,且满足

对于任意,则称D为L的-型心。

代表L的所有-型心,则

,其中

定义2.11 设L为Hom-李color代数,若,且满足

对于任意,则称D为L的-拟型心。

代表L的所有-型心,则

,其中

定义2.12 设L为Hom-李color代数,若,且满足

对于任意,则称D为L的-中心导子。

代表L的所有-型心,则

,其中

根据以上定义,我们可得如下结论:

定义2.13 若,则称为L的中心。

3. 各类导子和型心的性质

引理3.1是一个保积的Hom-李color代数,则

1)的子代数;

2)的理想。

证明 1) 设,则,可得

类似地,可得

因而

又因为,可得,即证的子代数。

同理,的子代数。

,则,可得

同理可证

可得,从而的子代数。

2) 设,则,可得

因此,从而的理想。

引理3.2是一个保积的Hom-李color代数,则有如下两个结论:

1)

2)

证明 1) 设,则

一方面,可得

因而

另一方面,可得

由于,可得

因而

从而,因此

2) 同1)的证明。

根据文献 [8] 中的命题5.2和5.3,可得如下引理:

引理3.3是一个保积的Hom-李color代数,则

1)

2)

定理3.4 设是一个保积的Hom-李color代数,则

,即任一广义导子可以写成拟导子与拟型心之和。

证明:设,则存在,使得

由于

的性质,得

类似可得

,可得,且,有

从而有,因此

,即

定理3.5设是一个保积的Hom-李color代数,其中是满射,是L的中心,则。特别地,若,则

证明:设。因为是满射,所以

,使得,则

从而,即

特别地,若,易知

注3.6 由文献 [2] 的定理2.6可得,设是Hom-李color代数,是L的中心。若,则

定理3.7 设是保积的Hom-李color代数,是满射。若,则是Hom-李color代数当且仅当

证明:充分性显然成立,下证必要性。

。因为是满射,所以,使得,因为是Hom-李color代数,则,即

由引理3.3 (1)的证明易知

从而

,故

基金项目

国家自然科学基金资助项目(No. 11431010)。

文章引用

周金森,范广哲. Hom-李Color代数的广义导子
Generalized Derivations of Hom-Lie Color Algebra[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 182-189. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63028

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