Pure Mathematics
Vol.06 No.03(2016), Article ID:17541,8
pages
10.12677/PM.2016.63028
Generalized Derivations of Hom-Lie Color Algebra
Jinsen Zhou1, Guangzhe Fan2
1School of Information Engineering, Longyan University, Longyan Fujian
2Department of Mathematics, Tongji University, Shanghai
Received: Apr. 29th, 2016; accepted: May 10th, 2016; published: May 13th, 2016
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
Firstly, we recall some concepts associated with a Hom-Lie color algebra. Moreover, we give the definitions of the generalized derivations, quasi-derivations, center derivations, centroids and quasi-centroids. Furthermore, we investigate some properties and connections between these derivations. Finally, we obtain that the generalized derivations are equal to the sum of quasi-deriva- tions and quasi-centroids.
Keywords:Hom-Lie Color Algebras, Derivations, Generalized Derivations, Quasi-Derivations, Centroids, Quasi-Centroids
Hom-李Color代数的广义导子
周金森1,范广哲2
1龙岩学院信息工程学院,福建 龙岩
2同济大学数学系,上海
收稿日期:2016年4月29日;录用日期:2016年5月10日;发布日期:2016年5月13日
摘 要
首先回忆与Hom-李color代数相关的概念,并且给出它的广义导子、拟导子、中心导子、型心和拟型心的定义。进一步地,研究这些导子之间的性质和联系。最后得到广义导子可以写成拟导子与拟型心之和。
关键词 :Hom-李Color代数,导子,广义导子,拟导子,型心,拟型心
1. 引言
众所周知,Hom-李代数和李color代数都是李代数的重要推广。和这两类代数相关的结构理论和表示理论已被广泛研究。Hom-李color代数是Hom-李代数及李color代数的进一步推广。然而到目前为止,对于Hom-李color代数的研究还是非常少。文献 [1] 介绍了Hom-李color代数的概念,并且构造了几类新的Hom-李color代数。
导子和广义导子在李理论的发展过程中起着非常重要的作用,文献 [2] - [7] 研究了李代数,李超代数,Hom-李代数,李color代数等各类代数的广义导子。文献 [8] 研究了Hom-李color代数的表示理论并且给出了广义导子的定义,但没有考虑广义导子的性质。本文主要研究了Hom-李color代数的广义导子,拟导子,中心导子,型心和拟型心的性质,并且研究了它们之间的联系。
本文的主要结论归结为引理3.1,3.2和定理3.4,3.5,3.7。
本文总假定F是特征为0的代数闭域,,是Abelian群,文中出现的均属于。
2. 预备知识
首先来回忆一些与Hom-李代数,李color代数以及Hom-李color代数相关的概念和定义。详见文献 [1] [8] [9] 。
定义2.1 Hom-李代数是一个三元组,其中L为数域F上的线性空间,二元运算满足双线性性,是线性映射,且满足
1),
2)。
对于任意。
线性空间V称为-阶化的,如果存在V的一簇子空间,满足。V中的一个元素
称为次齐次元,如果。在这种情况下,称为a的color。通常用表示a的color,这样V中的每个齐次元素a都有唯一的群中的元素与之对应。为了方便,常省掉“-”。在本文中,用hg(V)表示V中所有齐次元素。
若,是两个-阶化线性空间,线性映射称为次,如果。进一步,f是0次,即,则称f是偶的。
代数A称为-阶化的,若A是-阶化线性空间,即且。
若A,B都是-阶化代数,称同态是偶的,如果。
定义2.2 称为上的双特征映射,,若满足
1),
2),
3),
对于任意。
定义2.3 李color代数是一个三元组,其中L为-阶化代数,即,二元运算满足双线性性,为上的双特征映射,且满足
1),
2),
对于任意。
定义2.4 Hom-李color代数是一个四元组,其中L是-阶化代数,为上的双特征映射,偶的双线性映射,偶的同态,且满足
1),
2),
对于任意。
注记2.5 如果是一个Hom-李color代数,当取时,此时变成了一个李color代数。若对于任意,都有,则是一个Hom-李代数。因此,可以看出Hom-李color代数是Hom-李代数和李color代数的进一步推广。
是一个Hom-李color代数,若对任意,都有,则称L为保积的Hom-李color代数。
下面给出Hom-李color代数的各类导子和型心的概念。
命题2.6,,则是一个Hom-李color代数,其中李color括积为
。
对于任意,且同态是偶的,满足,对于任意。
证明直接计算易知。
定义2.7 设L为保积的Hom-李color代数,称为L的次-导子,如果
,
,
对于任意。
我们把L的次-导子的全体记为,则,其中是-阶化的,即。
定义2.8称为L的次-广义导子,如果存在使得
,
,
对于任意。
我们把L的次-广义导子的全体记为,则
,其中。
定义2.9称为L的次-拟导子,如果存在使得
,
,
对于任意。
我们把L的次-拟导子的全体记作,则
,其中。
定义2.10 设L为Hom-李color代数,若,且满足
,
,
对于任意,则称D为L的次-型心。
代表L的所有次-型心,则
,其中。
定义2.11 设L为Hom-李color代数,若,且满足
,
,
对于任意,则称D为L的次-拟型心。
代表L的所有次-型心,则
,其中。
定义2.12 设L为Hom-李color代数,若,且满足
,
对于任意,则称D为L的次-中心导子。
代表L的所有次-型心,则
,其中。
根据以上定义,我们可得如下结论:
。
定义2.13 若,则称为L的中心。
3. 各类导子和型心的性质
引理3.1是一个保积的Hom-李color代数,则
1),和是的子代数;
2)是的理想。
证明 1) 设,,则,,可得
类似地,可得
因而
即
又因为,,可得,即证是的子代数。
同理,是的子代数。
设,,则,,可得
同理可证。
可得,从而是的子代数。
2) 设,,则,,可得
因此,从而是的理想。
引理3.2是一个保积的Hom-李color代数,则有如下两个结论:
1);
2);
证明 1) 设,,则,
一方面,可得
因而。
另一方面,可得
由于,可得
因而
从而,因此。
2) 同1)的证明。
根据文献 [8] 中的命题5.2和5.3,可得如下引理:
引理3.3是一个保积的Hom-李color代数,则
1);
2)。
定理3.4 设是一个保积的Hom-李color代数,则
,即任一广义导子可以写成拟导子与拟型心之和。
证明:设,,则存在,使得
由于,
由的性质,得,
类似可得,
即,可得,且,有
,
,
从而有,,因此
,即。
故。
定理3.5设是一个保积的Hom-李color代数,其中是满射,是L的中心,则。特别地,若,则。
证明:设,,。因为是满射,所以
,,使得,则
从而,即,
故。
特别地,若,易知。
注3.6 由文献 [2] 的定理2.6可得,设是Hom-李color代数,是L的中心。若,则。
定理3.7 设是保积的Hom-李color代数,是满射。若,则是Hom-李color代数当且仅当。
证明:充分性显然成立,下证必要性。
设,,。因为是满射,所以,,使得,因为是Hom-李color代数,则,即
由引理3.3 (1)的证明易知
从而,
即,故。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(No. 11431010)。
文章引用
周金森,范广哲. Hom-李Color代数的广义导子
Generalized Derivations of Hom-Lie Color Algebra[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 182-189. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63028
参考文献 (References)
- 1. Yuan, L. (2012) Hom-Lie Color Algebra Structures. Communications in Algebra, 40, 575-592. http://dx.doi.org/10.1080/00927872.2010.533726
- 2. Chen, L., Ma, Y. and Ni, L. (2013) Generalized Derivations of Lie Color Algebras. Results in Mathematics, 63, 923- 936. http://dx.doi.org/10.1007/s00025-012-0241-2
- 3. Zhou, J., Chen, L. and Ma, Y. (2016) Generalized Derivations of Hom-Lie Triple Systems. Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 1-20.
- 4. Leger, G.F. and Lucks, E.M. (2000) Generalized Derivations of Lie Algebras. Journal of Algebra, 228, 165-203. http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1999.8250
- 5. Zhang, Q.C. and Zhang, Y.Z. (2008) Derivations and Extensions of Lie Color Algebra. Acta Mathematica Scientia, 28, 933-948. http://dx.doi.org/10.1016/S0252-9602(08)60093-4
- 6. Zhang, R.X. and Zhang, Y.Z. (2010) Generalized Deriva-tions of Lie Superalgebras. Communications in Algebra, 38, 3737-3751. http://dx.doi.org/10.1080/00927870903236228
- 7. 周佳, 牛艳君, 陈良云. Hom-李代数的广义导子[J]. 数学学报, 2015, 58(4): 551-558.
- 8. Abdaoui, K., Ammar, A. and Makhlouf, A. (2015) Constructions and Cohomology of Color Hom-Lie Algebras. Communications in Algebra, 43, 4581-4612. http://dx.doi.org/10.1080/00927872.2014.910797
- 9. Ammar, F. and Makhlouf, A. (2010) Hom-Lie Superalge-bras and Hom-Lie Admissible Superalgebras. Journal of Algebra, 324, 1513-1528. http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.06.014