Pure Mathematics
Vol.
09
No.
03
(
2019
), Article ID:
30134
,
9
pages
10.12677/PM.2019.93040
Existence of Three Solutions for a Magnetic Equation
Anran Hou, Yue Li
Yunnan Normal University, Kunming Yunnan
Received: Apr. 16th, 2019; accepted: Apr. 27th, 2019; published: May 9th, 2019
ABSTRACT
In this thesis, we focus our attention on the equation with magnetic field.
where is a bounded open set with smooth boundary, is a magnetic field, , . And we implied that there are at least three solutions in this problem when satisfy suitable assumptions.
Keywords:Magnetic Operators, Variational Method, Critical Point Theory
磁性方程三个解的存在性
侯安然,李月
云南师范大学,云南 昆明
收稿日期:2019年4月16日;录用日期:2019年4月27日;发布日期:2019年5月9日
摘 要
这篇文章中,我们致力于研究磁性方程:
其中,是一个具有光滑边界的有界开集, 是一个磁性位势, , 。在 满足一定条件时,此方程至少含有三个解。
关键词 :磁性算子,变分方法,临界点理论
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
变分法是研究泛函极值的一种重要方法。它不仅与数学中众多分支相联系,而且在描述物理学、化学、生物学等各种问题中有着重要的作用。尤其是Schrödinger方程及Chquard方程广泛应用于电磁学、量子力学等领域。越来越多的实例证明,变分法是研究解的存在性及多重性最有利的工具之一。
结合变分法,本文应用 [1] 中的Theorem 1.1来研究下面的方程。
(1.1)
其中, 是具有光滑边界的有界开集, 是一个磁性位势,使得 , , 。 且连续, , 。非线性函数 , ,在 时有 ,且满足:
(f1) 。
(f2) 存在 ,使得 。
(f3) 存在 ,使得对于 , 。其中 。
其中的整数阶磁性Laplacian算子: , ,当 时,也就是没有磁性位势,算子变成了 ,很多作者研究了
(1.2)
类型问题的解的存在性和多重性,其中 是位势井,并带有次临界增长,也就是 ,更多结果参见文献 [2] [3] 。
另外,类似于(1.2)的方程类型,Clapp和Ding在文献 [4] 中利用变分法建立了临界的情形下,正解的存在性和多重性。对于有临界非线性项的Schrödinger方程,也可参见 [5] [6] 及其参考文献。在文献 [7] 中作者研究了带有径向缺失的二次非线性Schrödinger方程径向解的爆破,位于半径为 的球中。当 时,也就是方程带有磁势的问题,近期Lv在 [8] 中研究了
, , (1.3)
其中 , , , 。 和g是两个重要的函数,满足一些必要条件。他证明了当时的基态解的存在性,以及 时解的集中行为。在此类问题的研究中,Hardy-Littlewood-Sobolev不等式扮演了一个很重要的角色。
方程(1.3)中,如果 , , , ,那么方程就变为
, .
这就是经典的Chquard方程,它出现在很多的物理学领域,尤其是关于非相对论的玻色子原子和分子的大系统量子论的方程,已经被很多国内外作者研究。例如,在 [9] 中,Lieb证明了
于 中
在平移变换下,解的存在性和唯一性。2014年,Salazar在 [10] 中研究了下面的稳定非线性磁性Chquard方程
于 ,
其中 , , , 是一个磁性位势, 是个有界电势。
我们发现,各类磁性方程虽然被广泛的研究,但人们主要研究了解的存在性、多重性以及集中性,考虑P. H. Rabinowitz在1978年提出的鞍点理论,我们可以得出不一样的结果。Jonas Volek在文献 [1] 中提出,如果泛函满足P. H. Rabinowitz 的鞍形假设,再满足PS紧性条件以及下方有界,就可以得出方程至少有三个临界点:
定理1.1. ( [1] , Theorem 1.1) 设X是实Banach空间, ,其中 维数有限。假设 有下界,并且满足
(R) 存在 使得 。
(PS) 对任意的序列 使得 有界,并且 有收敛子列。
则J至少有三个临界点。
这是一个新的结果。于是,在本文中,我们就应用这个定理,做了一个带有连续位势的磁性方程至少存在三个解的证明。具体的证明过程我们将在第三部分及第四部分给出。
2. 变分设置和主要结果
设
,
其中, 是一个磁性位势,使得 。 。且连续。
定义内积如下:
.
从而我们得到 为Hilbert空间。记其范数为
.
仿照Adam在 [11] 中定理3.6的证明可知, 是可分的。
此外,当 中 时,我们得到空间 。
设 是具有光滑边界的有界开集, 在 中以范数 生成的闭包记为 。 也是可分的Hilbert空间。记范数为:
.
下面是我们众所周知的抗磁性不等式:
引理2.1. 当 时,如果 ,那么 ,并且有
成立。
由 [12] 我们得到,当 时,有整数阶连续嵌入 ,当 时,嵌入是紧的。继而我们可以得到
引理2.2. 当 时, 是连续的,当 时,嵌入是紧的。也就是
.
其中 是一个嵌入常数。
经过计算,结合范数定义,可以推出方程(1.1)相应的能量泛函为
.
引理2.3. 设 ,则泛函 满足:
(i) 并且满足
,
其中, 。
(ii) 是(1.1)的弱解,当且仅当 是 的临界点。
现在,我们来陈述文章的主要结果:
定理2.1. 设 ,存在 ,使得当 时,(1.1)有至少三个弱解。
由引理2.3可知,想要证明定理2.1只需证明 有至少三个临界点。
3. 一些重要引理
引理3.1. 设 则泛函 在 上弱强制,即当 时,有 且 有下界。
证明:根据(f1)与(f3)可得出,存在 ,使得
. (3.1)
根据(2.2)可知,
(3.2)
其中 为 的测度。
(3.3)
当 时,有以下两种情况:
(i) 若 有界,则有 。
(ii) 若 ,则由 可知 。
故 是弱强制的。此外,由(3.3)可推出
(3.4)
不等式右边是与 有关的函数,因为 ,所以不等式右边是有下界的,故得出 有下界。
因为 是 连续且下方有界,由文献[ [13] , Theorem 2.4]知 存在PS序列。又因为 是弱强制的, 所以PS序列 有界。因此有下面引理成立。
引理3.2. 如果序列 有界且 ,则 有收敛子列。
证明:由 ,在子列意义下有
于 且 于 , 。
注意到,
.
所以
. (3.5)
此外,
.
所以
. (3.6)
此外,由条件(f1)及(f2)有,对于任意的 ,存在 ,使得
,其中 。 (3.7)
因为 有界,及Hölder不等式,引理2.2以及(3.7)得出,
(3.8)
结合(3.5),(3.6)和(3.8)式可知 。又因为 于 ,所以有 于 。
我们定义算子 如下:
, .
那么算子T是线性的。
引理3.3. 线性算子 有特征值 , ,且 。且当 时, 。
证明:
因此T为自伴算子。设 于 ,由引理2.2知, 于 。此时,
当 时,
.
所以 于 ,从而 在 中有界。因此
因此T为紧算子。另外 ,有 。因此T为正算子。
由 [14] 中的定理2.2.16,命题2.2.15以及推论2.2.13知,算子T存在一列正的特征值 ,及一组对应的 中的正交基 , 使得 。另外,当 时, ,即 。
不妨设 ,则我们有
.
4. 定理2.1的证明
由引理3.1和引理3.2,我们有下面的引理成立。
引理4.1. 设 ,则泛函 满足(PS)c条件,即定理1.1中的条件(PS)成立。
证明:假设 是 的一个(PS)c序列,结合 是弱强制的,那么就可推出 满足(PS)c条件。
接下来证明 至少存在三个临界点,设 为 中对应的特征值 ( 算子的特征值)的特征函数且 是 的规范正交基,并且 。将 分解为 。其中
, . (4.1)
引理4.2. 设 ,则存在 对任意的 且 ,都有泛函 满足条件(R),其中 满足(4.1)。
证明:设 , 结合Parseval等式有下式成立
,且 。
因此 满足
, (4.2)
因为 所以有
. (4.3)
因此,对 ,由(4.3)及嵌入定理可以得到
(4.4)
当取 时,有下式成立
且 。
由 ,以及(4.2)可以推出
. (4.5)
因此,对任意的 , (由于 的任意性)。其中, 是引理2.2中的嵌入常数。
结合(4.5)及引理2.2(ii)可得
(4.6)
因此,如果要证明条件(R)成立,当且仅当存在 使得对 , 时结合(4.4)以及(4.6)要有下式成立
. (4.7)
记 整理得出下式
. (4.8)
记
.
因为 与 无关,并且 。因为 ,故存在某个 充分小,使得 。因此存在一个充分小的 使得
, .
因此,对任意的 且 以及 且有
,
因此满足(R)式。
综上所述,验证出定理1.1的所有条件都成立,所以泛函 至少存在三个临界点,即方程至少存在三个弱解。
文章引用
侯安然,李 月. 磁性方程三个解的存在性
Existence of Three Solutions for a Magnetic Equation[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 299-307. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93040
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