Pure Mathematics
Vol. 09  No. 03 ( 2019 ), Article ID: 30134 , 9 pages
10.12677/PM.2019.93040

Existence of Three Solutions for a Magnetic Equation

Anran Hou, Yue Li

Yunnan Normal University, Kunming Yunnan

Received: Apr. 16th, 2019; accepted: Apr. 27th, 2019; published: May 9th, 2019

ABSTRACT

In this thesis, we focus our attention on the equation with magnetic field.

{ ( i + A ( x ) ) 2 u + V ( x ) u = λ u f ( u ) + h ( x ) x Ω , u ( x ) = 0 x Ω .

where Ω N is a bounded open set with smooth boundary, A = ( A 1 , A 2 , , A n ) : N N is a magnetic field, A : = i + A , Δ A : = ( i + A ) 2 . And we implied that there are at least three solutions in this problem when f , V , h satisfy suitable assumptions.

Keywords:Magnetic Operators, Variational Method, Critical Point Theory

磁性方程三个解的存在性

侯安然,李月

云南师范大学,云南 昆明

收稿日期:2019年4月16日;录用日期:2019年4月27日;发布日期:2019年5月9日

摘 要

这篇文章中,我们致力于研究磁性方程:

{ ( i + A ( x ) ) 2 u + V ( x ) u = λ u f ( u ) + h ( x ) x Ω , u ( x ) = 0 x Ω .

其中,是一个具有光滑边界的有界开集, A = ( A 1 , A 2 , , A n ) : N N 是一个磁性位势, A : = i + A Δ A : = ( i + A ) 2 。在 f , V , h 满足一定条件时,此方程至少含有三个解。

关键词 :磁性算子,变分方法,临界点理论

Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

变分法是研究泛函极值的一种重要方法。它不仅与数学中众多分支相联系,而且在描述物理学、化学、生物学等各种问题中有着重要的作用。尤其是Schrödinger方程及Chquard方程广泛应用于电磁学、量子力学等领域。越来越多的实例证明,变分法是研究解的存在性及多重性最有利的工具之一。

结合变分法,本文应用 [1] 中的Theorem 1.1来研究下面的方程。

{ ( i + A ( x ) ) 2 u + V ( x ) u = λ u f ( u ) + h ( x ) x Ω u ( x ) = 0 x Ω (1.1)

其中, Ω N 是具有光滑边界的有界开集, A = ( A 1 , A 2 , , A n ) : N N 是一个磁性位势,使得 A L l o c 2 ( N ) A : = i + A Δ A : = ( i + A ) 2 且连续, h L 2 ( Ω ) λ > 0 。非线性函数 f C ( , ) f 0 ,在 t < 0 时有 f ( t ) = 0 ,且满足:

(f1) lim t 0 f ( t ) t = 0

(f2) 存在 q ( 2 , 2 * ) ,使得 lim t 0 f ( t ) t q 1 = 0

(f3) 存在 θ > 4 ,使得对于 t > 0 0 < θ 2 F ( t ) < t f ( t ) 。其中 F ( t ) = 0 t f ( τ ) d τ

其中的整数阶磁性Laplacian算子: A : = i + A Δ A : = ( i + A ) 2 ,当 A 0 时,也就是没有磁性位势,算子变成了 Δ ,很多作者研究了

Δ u + μ a ( x ) u = λ u + | u | p 2 u (1.2)

类型问题的解的存在性和多重性,其中 α 0 是位势井,并带有次临界增长,也就是 p < 2 * ,更多结果参见文献 [2] [3] 。

另外,类似于(1.2)的方程类型,Clapp和Ding在文献 [4] 中利用变分法建立了临界的情形下,正解的存在性和多重性。对于有临界非线性项的Schrödinger方程,也可参见 [5] [6] 及其参考文献。在文献 [7] 中作者研究了带有径向缺失的二次非线性Schrödinger方程径向解的爆破,位于半径为 r 0 的球中。当 A 0 时,也就是方程带有磁势的问题,近期Lv在 [8] 中研究了

( i + A ) 2 u + ( g 0 ( x ) + μ g ( x ) ) u = ( | x | α | u | p ) | u | p 2 u , u H 1 ( n , ) , (1.3)

其中 n 3 α ( 0 , n ) μ > 0 p ( 2 n α n , 2 n + α n 2 ) g 0 和g是两个重要的函数,满足一些必要条件。他证明了当时的基态解的存在性,以及 μ 时解的集中行为。在此类问题的研究中,Hardy-Littlewood-Sobolev不等式扮演了一个很重要的角色。

方程(1.3)中,如果 A = 0 g 0 = 0 g = 1 μ = 1 ,那么方程就变为

Δ u + u = ( | x | α | u | p ) | u | p 2 u , u H 1 ( n ) .

这就是经典的Chquard方程,它出现在很多的物理学领域,尤其是关于非相对论的玻色子原子和分子的大系统量子论的方程,已经被很多国内外作者研究。例如,在 [9] 中,Lieb证明了

Δ u + u = ( | x | 1 | u | 2 ) u n

在平移变换下,解的存在性和唯一性。2014年,Salazar在 [10] 中研究了下面的稳定非线性磁性Chquard方程

( i + A ) 2 u + W ( x ) u = ( | x | α | u | p ) | u | p 2 u n

其中 n 3 α ( 0 , n ) p [ 2 , 2 α 2 ) A ( n , n ) 是一个磁性位势, W ( n , ) 是个有界电势。

我们发现,各类磁性方程虽然被广泛的研究,但人们主要研究了解的存在性、多重性以及集中性,考虑P. H. Rabinowitz在1978年提出的鞍点理论,我们可以得出不一样的结果。Jonas Volek在文献 [1] 中提出,如果泛函满足P. H. Rabinowitz 的鞍形假设,再满足PS紧性条件以及下方有界,就可以得出方程至少有三个临界点:

定理1.1. ( [1] , Theorem 1.1) 设X是实Banach空间, X = Y Z ,其中 Y 0 维数有限。假设 J C 1 ( X , ) 有下界,并且满足

(R) 存在 R > 0 使得 max u B R ( Y ) J ( u ) < inf u Z J ( u )

(PS) 对任意的序列 { u n } X 使得 { J ( u n ) } 有界,并且 J ( u n ) X * 0 有收敛子列。

则J至少有三个临界点。

这是一个新的结果。于是,在本文中,我们就应用这个定理,做了一个带有连续位势的磁性方程至少存在三个解的证明。具体的证明过程我们将在第三部分及第四部分给出。

2. 变分设置和主要结果

,

其中, A = ( A 1 , A 2 , , A n ) : N N 是一个磁性位势,使得 A L l o c 2 ( N ) V ( x ) 0 。且连续。

定义内积如下:

( u , v ) H V , A ( N ) = N V ( x ) u v ¯ d x + i = 1 N ( ( j + i A j ) u , ( j + i A j ) v ) L 2 ( N ) .

从而我们得到 H V , A ( N ) 为Hilbert空间。记其范数为

u V , A = Ω ( | A u | 2 + V ( x ) | u | 2 ) d x .

仿照Adam在 [11] 中定理3.6的证明可知, H V , A ( N ) 是可分的。

此外,当 H V , A ( N ) V 1 时,我们得到空间 H A 1 ( N )

Ω N 是具有光滑边界的有界开集, C 0 ( Ω ) H V , A ( N ) 中以范数 u H V , A ( N ) 生成的闭包记为 H V , A ( Ω ) H V , A ( Ω ) 也是可分的Hilbert空间。记范数为:

u V , A = Ω ( | A u | 2 + V ( x ) | u | 2 ) d x .

下面是我们众所周知的抗磁性不等式:

引理2.1. 当 n 4 时,如果 u H A 1 ( N ) ,那么 | u | H 1 ( N , ) ,并且有

| | u | ( x ) | | u ( x ) + i A ( x ) u ( x ) | a . e x N

成立。

由 [12] 我们得到,当 1 t 2 时,有整数阶连续嵌入 H A 0 , 1 ( Ω ) L t ( Ω , ) ,当 1 t < 2 时,嵌入是紧的。继而我们可以得到

引理2.2. 当 1 t 2 时, H V , A ( Ω ) L t ( Ω , ) 是连续的,当 1 t < 2 时,嵌入是紧的。也就是

u L t ( Ω ) C u V , A .

其中 C 是一个嵌入常数。

经过计算,结合范数定义,可以推出方程(1.1)相应的能量泛函为

J V = 1 2 u V , A λ 2 Ω | u | 2 d x + Ω F ( u ) d x 1 2 Ω | h | 2 d x .

引理2.3. 设 h L 2 ( Ω ) ,则泛函 J V 满足:

(i) J V C 1 ( H V , A ( Ω ) , ) 并且满足

J V ( u ) , φ = u , φ λ Ω f ( u ) φ d x Ω h φ d x ,

其中, u , φ H V , A ( Ω )

(ii) u H V , A ( Ω ) 是(1.1)的弱解,当且仅当 u H V , A ( Ω ) J V 的临界点。

现在,我们来陈述文章的主要结果:

定理2.1. 设 λ k < λ < λ k + 1 ,存在 μ > 0 ,使得当 h 2 < μ 时,(1.1)有至少三个弱解。

由引理2.3可知,想要证明定理2.1只需证明 J V 有至少三个临界点。

3. 一些重要引理

引理3.1. 设 h L 2 ( Ω ) 则泛函 J V H V , A ( Ω ) 上弱强制,即当 u V , A 时,有 J V J V 有下界。

证明:根据(f1)与(f3)可得出,存在 C 1 , C 2 > 0 ,使得

F ( t ) C 1 | t | θ C 2 . (3.1)

根据(2.2)可知,

| Ω F ( u ) d x | C 1 Ω | t | θ d x C 2 | Ω | (3.2)

其中 | Ω | Ω 的测度。

J V ( u ) = 1 2 u V , A 2 λ 2 Ω | u | 2 d x + Ω F ( u ) d x 1 2 Ω | h | 2 d x 1 2 u V , A 2 c ( u L 2 ( Ω ) 2 + h L 2 ( Ω ) 2 ) + C 1 u L θ ( Ω ) θ C 2 | Ω | 1 2 u V , A 2 c ( u L θ ( Ω ) 2 + h L θ ( Ω ) 2 ) + C 1 u L θ ( Ω ) θ C 2 | Ω | (3.3)

u V , A 时,有以下两种情况:

(i) 若 u L θ ( Ω ) 有界,则有 J V ( u )

(ii) 若 u L θ ( Ω ) ,则由 θ > 2 可知 J V ( u )

J V ( u ) 是弱强制的。此外,由(3.3)可推出

J V ( u ) c ( u L θ ( Ω ) 2 + h L θ ( Ω ) 2 ) + C 1 u L θ ( Ω ) θ (3.4)

不等式右边是与 u L θ ( Ω ) 有关的函数,因为 θ > 2 ,所以不等式右边是有下界的,故得出 J V 有下界。

因为 J V C 1 连续且下方有界,由文献[ [13] , Theorem 2.4]知 J V 存在PS序列。又因为 J V 是弱强制的, 所以PS序列 { u n } 有界。因此有下面引理成立。

引理3.2. 如果序列 { u n } H V , A ( Ω ) 有界且 J V ( u n ) 0 ,则 { u n } 有收敛子列。

证明:由 { u n } H V , A ( Ω ) ,在子列意义下有

u n u H V , A ( Ω ) u n u L t ( Ω ) t ( 1 , 2 * )

注意到,

o n ( 1 ) = J V ( u n ) , u n = u n V , A 2 λ Ω u n 2 d x + Ω f ( u n ) u n d x Ω h u n d x .

所以

u n V , A 2 = λ Ω u n 2 d x + Ω f ( u n ) u n d x Ω h u n d x . (3.5)

此外,

o n ( 1 ) = J V ( u n ) , u = u n , u λ Ω u n u d x + Ω f ( u n ) u n d x Ω h u n d x .

所以

. (3.6)

此外,由条件(f1)及(f2)有,对于任意的 ξ > 0 ,存在 C ξ > 0 ,使得

f ( t ) ξ | t | + C ξ | t | q 1 ,其中 q ( 2 , 2 * ) (3.7)

因为 { u n } 有界,及Hölder不等式,引理2.2以及(3.7)得出,

| Ω f ( u n ) u n d x Ω f ( u n ) u d x | Ω | f ( u n ) | | u n u | d x Ω ( | u n | + | u n | q 1 ) | u n u | d x = Ω | u n | | u n u | d x + Ω | u n | q 1 | u n u | d x

( Ω | u n | 2 d x ) 1 2 ( Ω | u n u | 2 d x ) 1 2 + ( Ω ( | u n | q 1 ) q q 1 d x ) q 1 q ( Ω | u n u | q d x ) 1 q = c ( ( Ω | u n u | 2 d x ) 1 2 + ( Ω | u n u | q d x ) 1 q ) = o n ( 1 ) (3.8)

结合(3.5),(3.6)和(3.8)式可知 u n V , A u V , A 。又因为 u n u H V , A ( Ω ) ,所以有 u n u H V , A ( Ω )

我们定义算子 T : H V , A ( Ω ) H V , A ( Ω ) 如下:

( T u , v ) H V , A ( Ω ) = Ω u v ¯ d x , u , v H V , A ( Ω ) .

那么算子T是线性的。

引理3.3. 线性算子 T : H V , A ( Ω ) H V , A ( Ω ) 有特征值 λ n n = 1 , 2 , ,且 λ n + 1 > λ n > 0 。且当 n 时, λ n

证明: ( u , T v ) H V , A ( Ω ) = ( T u , v ) H V , A ( Ω ) ¯ = Ω v u ¯ d x ¯ = Ω u v ¯ d x = ( T u , v ) H V , A (Ω)

因此T为自伴算子。设 u n u H V , A ( Ω ) ,由引理2.2知, u n u L 2 ( Ω ) 。此时,

n 时,

( T u n T u , v ) H V , A ( Ω ) = ( T ( u n u ) , v ) H V , A ( Ω ) = ( u n u , T v ) H V , A ( Ω ) 0 .

所以 T u n T u H V , A ( Ω ) ,从而 { T u n } H V , A ( Ω ) 中有界。因此

T u n T u V , A 2 = ( T u n T u , T u n T u ) H V , A ( Ω ) = Ω ( u n u ) ( T u n T u ¯ ) d x u n u L 2 ( Ω ) c T u n T u V , A c u n u L 2 ( Ω ) 0

因此T为紧算子。另外 u H V , A ( Ω ) \ { 0 } ,有 ( T u , u ) H V , A ( Ω ) = Ω | u | 2 d x > 0 。因此T为正算子。

由 [14] 中的定理2.2.16,命题2.2.15以及推论2.2.13知,算子T存在一列正的特征值 1 λ n ,及一组对应的 H V , A ( Ω ) 中的正交基 { φ i } i = 1 , 使得 T φ i = 1 λ n φ i 。另外,当 n 时, 1 λ n 0 ,即 λ n

不妨设 φ i V , A = 1 ,则我们有

1 λ n φ i V , A 2 = 1 λ n ( φ i , φ i ) H V , A ( Ω ) = ( A φ i , φ i ) H V , A ( Ω ) = Ω | φ i | 2 d x

λ n Ω | φ i | 2 d x = φ i V , A 2 = 1 .

4. 定理2.1的证明

由引理3.1和引理3.2,我们有下面的引理成立。

引理4.1. 设 h L 2 ( Ω ) ,则泛函 J V 满足(PS)c条件,即定理1.1中的条件(PS)成立。

证明:假设 { u n } J V 的一个(PS)c序列,结合 J V 是弱强制的,那么就可推出 J V 满足(PS)c条件。

接下来证明 J V 至少存在三个临界点,设 φ i ( i N ) H V , A ( Ω ) 中对应的特征值 λ i ( Δ A 算子的特征值)的特征函数且 B = { φ i : i N } H V , A ( Ω ) 的规范正交基,并且 λ k < λ k + 1 。将 H V , A ( Ω ) 分解为 Y Z 。其中

Y = { i = 1 k a i φ i : a i , φ i B } , Z = { i = k + 1 a i φ i : a i , φ i B } = Y . (4.1)

引理4.2. 设 λ k < λ < λ k + 1 ,则存在 a > 0 对任意的 h L 2 ( Ω ) h L 2 ( Ω ) < a ,都有泛函 J V 满足条件(R),其中 Y , Z 满足(4.1)。

证明:设 u Z , 结合Parseval等式有下式成立

u = i = k + 1 a i φ i ,且 u V , A 2 = i = k + 1 a i 2

因此 φ i 满足

λ i Ω | φ i ( x ) | 2 d x = φ i ( x ) V , A 2 = 1 , i (4.2)

因为 λ < λ k + 1 所以有

u ( x ) V , A 2 λ Ω | u ( x ) | 2 d x = i = k + 1 a i 2 ( 1 λ λ i ) ( 1 λ λ k + 1 ) u ( x ) V , A 2 . (4.3)

因此,对 u Z ,由(4.3)及嵌入定理可以得到

J V ( u ) 1 2 ( 1 λ λ k + 1 ) u V , A 2 1 2 Ω | h ( x ) | 2 d x + Ω F ( u ) d x 1 2 h L 2 ( Ω ) 2 (4.4)

当取 u Y 时,有下式成立

u = i = 1 k a i φ i u V , A 2 = i = 1 k a i 2

λ k < λ ,以及(4.2)可以推出

u ( x ) V , A 2 λ Ω | u ( x ) | 2 d x = i = 1 k a i 2 ( 1 λ λ i ) ( 1 λ λ k ) u V , A 2 . (4.5)

因此,对任意的 u Y ξ < λ λ k 1 4 C * (由于 ξ 的任意性)。其中, C * 是引理2.2中的嵌入常数。

结合(4.5)及引理2.2(ii)可得

J V ( u ) 1 2 ( 1 λ λ k ) u V , A 2 1 2 Ω | h ( x ) | 2 d x + Ω F ( u ) d x 1 2 ( 1 λ λ k ) u V , A 2 + ξ Ω u 2 d x + C ξ Ω u q d x 1 2 ( 1 λ λ k ) u V , A 2 + C * ξ u V , A 2 + C * C ξ u V , A q

< 1 2 ( 1 λ λ k ) u V , A 2 + C * λ λ k 1 4 C * u V , A 2 + C * C ξ u V , A q < 1 4 ( 1 λ λ k ) u V , A 2 + C * C ξ u V , A q (4.6)

因此,如果要证明条件(R)成立,当且仅当存在 R > 0 使得对 u Y u V , A = R 时结合(4.4)以及(4.6)要有下式成立

1 4 ( 1 λ λ k ) u V . A 2 + C * C ξ u V . A q < 1 2 h L 2 ( Ω ) 2 . (4.7)

u V , A = r 整理得出下式

1 4 ( 1 λ λ k ) r 2 + C * C ξ r q < 1 2 h L 2 ( Ω ) 2 . (4.8)

Λ ( r ) = 1 4 ( 1 λ λ k ) r 2 + C * C ξ r q .

因为 Λ ( r ) h L 2 ( Ω ) 无关,并且 λ k < λ 。因为 q > 2 ,故存在某个 R > 0 充分小,使得 Λ ( R ) < 0 。因此存在一个充分小的 α 0 > 0 使得

Λ ( R ) < 1 2 h L 2 ( Ω ) 2 , h L 2 ( Ω ) 2 < α 0 .

因此,对任意的 h L 2 ( Ω ) 以及 u Y

Λ ( R ) < 1 2 h L 2 ( Ω ) 2 inf u Z J V ( u ) ,

因此满足(R)式。

综上所述,验证出定理1.1的所有条件都成立,所以泛函 J V 至少存在三个临界点,即方程至少存在三个弱解。

文章引用

侯安然,李 月. 磁性方程三个解的存在性
Existence of Three Solutions for a Magnetic Equation[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 299-307. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93040

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