Pure Mathematics
Vol.
09
No.
05
(
2019
), Article ID:
31489
,
5
pages
10.12677/PM.2019.95083
Orbifold Bundle and Chern Character
Yiwu Lin
Guangdong University of Finance, Guangzhou Guangdong
Received: Jul. 2nd, 2019; accepted: Jul. 22nd, 2019; published: Jul. 29th, 2019
ABSTRACT
In this paper, we reformulate the notion of orbifolds and orbifold bundles, and then define the connection, with which we construct orbifold chern character.
Keywords:Orbifold, Groupoid, Orbifold Bundle, Connection, Orbifold Chern Character
Orbifold丛与陈特征
林奕武
广东金融学院,广东 广州
收稿日期:2019年7月2日;录用日期:2019年7月22日;发布日期:2019年7月29日
摘 要
重新描述orbifold和orbifold丛的定义,并且提出了orbifold丛上联络的定义,从而诱导orbifold陈特征等概念。
关键词 :Orbifold,群胚,Orbifold丛,联络,Orbifold陈特征
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
Orbifold最早产生于代数几何领域,带有奇性的簇被视为最早出现的orbifold。到了上世纪50年代,Satake [1] [2] 首次在拓扑学和微分几何领域引入orbifold的概念。在微分几何中,orbifold被视为光滑流形的推广,当时被称为V-流形,即是带有奇点的“流形”。类似于光滑流形,orbifold是一个拓扑空间,其上加以一个orbifold结构。orbifold结构也是由空间的一个开覆盖构成,每张局部卡为 中的连通开集,模以一个有限子群得到的商集。orbifold结构刻画了orbifold的局部奇性,但是缺乏局部相容性,所以不能很好的展现其整体结构。Haefliger [3] 利用群胚的语言来表述orbifold。群胚有良好的整体性,使若干代数拓扑的概念得以推广到orbifold领域中来。由于群胚的语言比较抽象,其几何直观性有所欠缺。
本文结合局部卡和群胚的语言。重新表述orbifold的概念。新的表述保留了orbifold结构,再利用群胚来规范局部卡之间的相容性。这种定义下的orbifold可以理解为对群胚的像空间进行加细,从而揉进了局部卡构成的开覆盖。新的表述既保留了原来局部奇性的刻画,同时也兼顾整体性,使很多微分几何的概念在orbifold领域得以推广。首先,我们重新描述orbifold丛,把orbifold X上的orbifold丛定义为一个orbifold E,和一个丛投射 ,使得在局部上,对于X的每一张orbifold卡 , 上的纤维为 。这种描述本质上与Ruan [4] 的orbifold丛定义是等价的。
由于orbifold丛新的描述保留了过渡矩阵等语言,我们可以参考微分几何的技巧,通过构造曲率方阵,在orbifold丛上定义联络,使得向量场的微分并不会受到局部奇性的影响。即是对向量场的微分与局部群的作用可以交换。类似于微分几何,本文还进一步定义了orbifold丛的陈特征。
2. Orbifold
纸型
Orbifold的定义可以用两种语言来描述。一种是局部卡的语言,另一种是群胚的语言。本节先简要介绍这两种语言,然后结合这两种语言,我们对orbifold的定义重新描述。
局部卡的语言首先是Satake [1] [2] 提出来的,但本节引用了Ruan [4] 的表述方式。
定义1.1 [4] :设X为一个仿紧的Hausdorff拓扑空间, 。
1) X上一个n维orbifold卡,是指一个三元组 。其中V为 中的连通开子集,G为 的有限子群, 是一个G不变的映射,并且诱导同胚 。
2) 如果光滑嵌入 满足 ,则称 为两个orbifold卡 之间的嵌入。
3) 对于一族orbifold卡 ,如果 局部相容,并且 覆盖X,则称 为X的一个orbifold卡册。
4) 对于X的两个orbifold卡册 ,如果 中的每一张orbifold卡都能嵌入到 中的某一张orbifold卡,则称 为 的一个加细。如果两个orbifold卡册有一个共同的加细,则称它们是等价的。
局部卡定义的局部相容缺乏整体性。为此Haefliger [3] 提出了群胚的语言。群胚是指一个小范畴,其所有的态射都是等价。
定义1.2 [5] :一个群胚 称为李群胚,如果其像空间 和态空间 都是光滑流形,5个结构映射都光滑,且满足以下性质:
1) 源映射 为淹没映射;
2) 靶映射 也为淹没映射;
3) 复合映射 , ,满足结合律,其中 ;
4) 单位映射 ,使得对任意 ,有 ;
5) 逆映射 ,使得对任意 ,有 。
定义1.3 [5] :设 为一个李群胚,如果 为一个proper映射,且 都是局部微分同胚,则称为一个orbifold群胚。
Orbifold之间的映射由群胚同态来描述。
定义1.4 [5] :设 为李群胚。若 和是光滑映射,并且与G和H所有的结构映射都可以交换,则称 为群胚同态。
定义1.5 [4] :设X为一个仿紧的Hausdorff拓扑空间, 。若赋予X一个orbifold群胚 ,使得,则 称 为一个n维orbifold。
群胚的语言比较抽象,并不能很清晰的体现orbifold的几何性质。因此,我们结合局部卡和群胚两种语言,重新描述orbifold的定义。
定义1.6:设X为一个仿紧的Hausdorff拓扑空间, 。X上的一个orbifold结构为一个
orbifold卡册 和一个orbifold群胚 ,使得
,,且 。
对于orbifold我们记为 ,有时简记为 。
3. Orbifold丛和的Rham上同调
Orbifold丛最早是由Satake [1] [2] 提出来的。其定义的缺陷,就是丛的不再是丛。为此,Ruan [4] 用群胚语言定义了orbifold的概念。
定义2.1 [4] :设 为一个orbifold群胚, 为平常的纤维从,若存在 对 的作用 ,使得 作用在每个纤维上都是线性的,则称 为orbifold 上的一个orbifold丛。
为了定义orbifold丛上联络的概念,我们利用定义1.6的语言,重新描述orbifold丛的定义。
定义2.2:设 和 为两个orbifold, 为群胚同态。若以下条件成立,
1) ,
2) 在 的每个纤维上的作用都是线性的,
则称 为 上的一个orbifold丛, 为丛投射。
定义2.2与定义2.1本质上是等价的。若 是定义2.1中的orbifold丛。令 ,则 是一个orbifold群胚,并且 是定义2.2中的orbifold丛。反之,若 是定义3。2中的orbifold丛。令 即可的定义2.1。
注2.3:把定义2.2中的 换成 ,我们可以得到orbifold复丛的定义。
设 为一个orbifold复丛投射。对任意 ,g在纤维上的作用相当于乘上一个方阵。因此,我们得到一个映射,
。
显然, 满足cocycle条件,即是对任意 有 。称 为纤维丛 的过渡函数。我们有以下性质。
定理2.4: 上所有n维orbifold丛构成的集合与所有满足n维cocycle条件过渡函数构成的集合,即
之间存在一一对应。
证明:由前面的分析知道每个orbifold丛对应着一个过渡函数。
反之,设 满足cocycle条件。令
定义结构映射
,
和投射
其中
,
则 是一个orbifold群胚,并且
是一个从 到 的丛投射。
对于orbifold ,定义 上的de Rham复型为
由[ALR]知, 。定义 上的de Rham上同调为
4. 联络
首先介绍单位分解。
定义3.1:设 为orbifold, 为X上一族非负函数。若以下条件成立,
1) 对任意i, , 紧并且存在 ,使得 。
2) 对任意 , 是一个有限和。
3) 。
4) 对任意i, 为 上光滑函数。
则称为 为X上一个从属于 的单位分解。
利用微分几何的方法,容易验证任何orbifold上都有单位分解。
下面定义orbifold丛上的联络,并且证明所有orbifold丛都有联络。
定义3.2:设 为从 到 的丛投射。 上的联络定义为丛 上的平常联络 ,使得对任意
,若 ,则有 。
对于的 每一个分支 ,取丛 的一个基底 。 为过渡矩阵,即 。 为X上一个从属于 的单位分解。构造联络方阵
其中, 。令 为
可以验证联络方阵满足
(3.1)
则D为orbifold丛 上的一个联络。
下面利用联络D构造陈特征。考虑曲率矩阵
由(3.1)知 。即是 。类似于光滑的情形,对任意 ,我们可以构造
并且 。构造 ,使得 。于是, 。称 为丛 的第i个chern特征。
文章引用
林奕武. Orbifold丛与陈特征
Orbifold Bundle and Chern Character[J]. 理论数学, 2019, 09(05): 627-631. https://doi.org/10.12677/PM.2019.95083
参考文献
- 1. Satake, I. (1957) On a Generalization of Manifold. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 42, 359-363.
https://doi.org/10.1073/pnas.42.6.359 - 2. Satake, I. (1956) The Gauss-Bonnet Theorem of V-Manifold. Journal of the Mathematical Society of Japan, 9, 464-492.
https://doi.org/10.2969/jmsj/00940464 - 3. Haefliger, A. (2001) Groupoids and Foliations. In: Ramsay, A. and Renault, J., Eds., Groupoid in Analysis, Geometry and Physics, American Mathematical Society, Providence, RI, 83-100.
- 4. Adem, A., Leida, J. and Ruan, Y. (2007) Orbifolds and Stringy Topology. In: Cambridge Tracts in Mathematrics, Cambridge University Press, Cambridge, 1-56.
https://doi.org/10.1017/CBO9780511543081 - 5. Moerdijk, I. (2002) Orbifolds as Groupoids: An Introduction. In: Adem, A., Ed., Orbifolds in Mathematics and Physics, American Mathematical Society, Providence, RI, 205-222.