Advances in Applied Mathematics
Vol.06 No.01(2017), Article ID:19641,14 pages
10.12677/AAM.2017.61011

Convergence Analysis of the Two-Step Combined Method for Solving Nonlinear Operator Equations

Weidi Wu, Weiping Shen, Lihua Xu

Department of Mathematics, Zhejiang Normal University, Jinhua Zhejiang

Received: Jan. 3rd, 2017; accepted: Jan. 21st, 2017; published: Jan. 24th, 2017

Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

ABSTRACT

In this paper, we consider the convergence of the two-step combined method for solving nonlinear operator equations. A semi-local convergence of the method is presented under some continuity conditions. Moreover, we establish the uniqueness result of the solutions. Finally, a numerical example is provided to demonstrate our theoretical results.

Keywords:Semi-Local Convergence, Two-Step Combined Method, Divided Differences

求解非线性算子方程的两步组合方法的收敛性分析

吴伟笛,沈卫平,徐丽华

浙江师范大学数学系,浙江 金华

收稿日期:2017年1月3日;录用日期:2017年1月21日;发布日期:2017年1月24日

摘 要

本文考虑求解非线性方程问题的两步组合方法的收敛性。在某些连续性条件下,我们给出了该方法的半局部收敛性。另外对算子方程的解的唯一性也做出了说明。最后通过数值例子来说明收敛性分析的有效性。

关键词 :半局部收敛性,两步组合方法,差商

1. 引言

为Banach空间,且中的一开凸子集。考虑非线性算子方程

(1)

其中,为定义在上的一个非线性算子。

众所周知,牛顿法是求解方程(1)的最著名的方法之一。其中,文献 [1] 及 [2] 研究了在算子的一阶导数满足条件下牛顿法的平方收敛性结果。

在文章 [3] 中,M. Bartish首次提出了两步修正牛顿法:

对任意的 (2)

并且在康托洛维奇型条件下给出了该算法的半局部收敛性。这里,为给定的初始值。此外,文章 [4] [5] [6] [7] [8] 对该算法及其收敛性也做了一定的研究。

同样,通过引入了差商的定义,M. Bartish在文章 [3] 中给出了不同于(2)的如下两步算法来求解方程(1):

对任意的 (3)

这里,为给定的初始值,为由的有界线性算子。很多学者对算法(3)的收敛性也作出了一定的研究。例如,文 [9] 在相对弱的康托洛维奇条件下对算法(3)的半局部收敛性进行了研究。再如,类似 [10] [11] [12] 中古典割线法的收敛条件,S. M. Shakhno研究了仅在条件下算法(3)的收敛性问题。又如,文章 [13] 与 [14] 给出了二阶均差满足条件下该方法的收敛性定理。另外,文章 [15] 及 [16] 也对算法(3)的收敛性进行了研究。特别地,当算子满足下列条件时:

(4)

文章 [16] 给出了算法(3)的半局部收敛性以及方程(1)的解的唯一性。这里,

下面,我们考虑非线性算子方程

(5)

这里,均为定义在上的非线性算子。为Fréchet可微算子,为连续算子。最近,S. M. Shakhno等通过结合算法(2)与(3)在文章 [17] 中首次提出了下列两步组合方法用于求解方程(5):

对任意的(6)

其中,为给定的初始值。文章 [18] 通过假设满足带有积分形式的条件,给出该算法的局部收敛性结果,并且证明了它的收敛阶为

在这篇文章中,我们讨论用于求解方程(5)的两步组合方法的半局部收敛性问题。当算子的一阶F-导数满足条件,二阶导数满足条件以及算子的差商满足条件下,我们给出了该方法的收敛性定理, 并证明了解的唯一性。另外,在最后一节中,我们还给出了一个数值例子来说明我们理论结果。

2. 定义与引理

本节中,我们给出一些基本的定义及引理。

定义1 [16] 假设表示由的一个线性算子。设,若满足条件:

(7)

则称为在点的差商。

引理2 (Banach引理 [19] ) 设的有界线性算子,且为单位算子,若为可逆的且有

引理3 [8] 已知。设表示所有连续可微的且二阶导数连续的全体算子。

假设(1)

(2)可逆且存在非负数使得

(3)

则有

3. 半局部收敛性定理

下面,我们建立两步组合方法的半局部收敛性定理。在下面的讨论中,我们令表示以为中心以为半径的闭球。假设算子的一阶F-导数和二阶-导数,以及算子的差商均存在。设中的两点。令其中

定理1假设(1)算子可逆;

(2)存在非负常数,使得对,下列条件成立:

(8)

(9)

(10)

(3)且存在非负数使得

(11)

其中

(4) 闭球。假设实序列由如下定义:

(12)

(13)

(14)

则我们有如下结论:

(i)为非负,递减序列且收敛于满足

(ii)算法(6)是适定的。所得序列收敛于解,且满足不等式

对任意(15)

并且解是唯一的。特别的,当时,我们有

(16)

证明:(i) 我们用数学归纳法证明下列不等式是成立的:

(17)

以及

(18)

其中,由定义,有。那么由序列递减且有下界,就可得序列是收敛的。因此,由

即可得从而也收敛。

首先,当时,由式子(12),(13),(14),我们可以得到

又由于

因此

即可得

所以

并且

即当时,(17)与(18)成立。假设时,不等式(17)与(18)是成立的,即

则当时,

(19)

(20)

定义及假设,可得。由条件(13),(14)及假设,我们可得:

以及

又由条件(13)及(19),

所以

因此,由上式及定义可得

综上可得

即可得(17)与(18)对是成立的。从而,我们证得(i)成立。

下面给出(ii)的证明。我们将用数学归纳法证明迭代过程(6)是适定的且有

(21)

因此

时,显然,由算法(6),定义及(12),很容易可以证明(21)是成立的。现假设为非负整数,并且对所有,不等式(21)是成立的。若令,则有

(22)

由假设及条件(11)

(23)

则由引理2,为可逆的,并且

(24)

下证当时,迭代过程是可以定义的。

(25)

由引理3,有

因此,我们可以得到

另外由均差定义,有

所以

(26)

所以,由上可得

然后,由(21),(13),(14),我们可得

(27)

因此,即可证得迭代方法对任意是可以定义的。又由

(28)

以及前面已证的也收敛,就证得了为柯西序列且是收敛的。不妨设,因此,在(28)中,当时,我们便可以得到(15)是成立的,即

(29)

又因为当时,有

所以我们即可得即为方程的根。

接下来我们证明(16)是成立的。由等式

由条件(28),(29),(8),(9),(10)知

所以由引理2,线性算子为可逆的,且有

另外,(26)可得

所以

下面我们证解的唯一性。由(11)式,我们可以得到

(30)

为方程上的另一解,其中是满足(12)式。则由迭代算法(5),(8),(9)及(1)我们可以得

因此,由式子(24),(8),(10)及引理3,我们即可得

下面我们用数学归纳法证明是小于1的。首先,由式(14),我们可得

(31)

时由式(30),(31)及

所以有假设当时,有则当时,由假设及式(30),(31),我们有

表示的上界,则有

时,所以

所以唯一性得证。

4. 数值例子

本文将引用文献 [16] 中的例子验证定理1中的条件是非空的。考虑下面的二阶非线性边界值问题:

(32)

将[0,1]分成个子区间,表示细分的点,且有。令我们给出一个二阶导数的标准近似:

,则将代入问题(32),我们即可得

(33)

因此我们可得方程组(33)的系数矩阵

另外,对于,相应的有范数。定义

其中,显然

接下来我们对做一些相关计算。由文献 [10] , [11] , [12] ,可以由矩阵的元素来表示:

这里

由均差定义,我们可以把转化为积分的形式(参见文献 [16] ):

注意到,对所有

由此

(34)

所以

最后,易知

即对条件(8),(9),(10)中的系数均取为

我们选定下组数据作为初始值:

下面我们通过计算来验证定理1的结论。为此,取,通过定理1及上面说明,我们可得:

,则通过计算(13),(14),(15)可得:

由上面计算,我们可以看出定理1中的条件是非空的,即存在这样的一组数据满足定理1的条件。

基金项目

浙江省自然科学基金资助项目(LY17A010006)。

文章引用

吴伟笛,沈卫平,徐丽华. 求解非线性算子方程的两步组合方法的收敛性分析
Convergence Analysis of the Two-Step Combined Method for Solving Nonlinear Operator Equations[J]. 应用数学进展, 2017, 06(01): 90-103. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.61011

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