Advances in Applied Mathematics
Vol.
08
No.
10
(
2019
), Article ID:
32745
,
4
pages
10.12677/AAM.2019.810195
The Toxic Producing Phytoplankton-Zooplankton Interaction with Holling-III Functional Response
Xiaona Li
College of Mathematics and Statistics, Yili Normal University, Yining Xinjiang
Received: Oct. 4th, 2019; accepted: Oct. 23rd, 2019; published: Oct. 30th, 2019
ABSTRACT
The present paper aims to investigate a toxic producing phytoplankton-zooplankton system with Holling-III functional response. The positive and boundness of solutions and stability of the equilibrium are studied.
Keywords:Phytoplankton-Zooplankton, Toxic, Boundness, Local Asymptotic Stability
具有Holling-III型功能反映函数的有毒浮游植物与浮游动物相互作用模型的研究
李晓娜
伊犁师范大学数学与统计学院,新疆 伊宁
收稿日期:2019年10月4日;录用日期:2019年10月23日;发布日期:2019年10月30日
摘 要
本文研究了具有Holling-III型功能反映函数的有毒浮游植物与浮游动物相互作用模型,分析了模型解的正性、有界性以及模型平衡点的稳定性。
关键词 :浮游动植物,毒素,有界性,局部渐近稳定
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
浮游动植物是水生生态系统的生产者和初级消费者,近年来,诸多学者对浮游动植物系统做了研究。由于很难监测浮游动植物的数量,所以对其建立数学模型就是一个很好的代替办法 [1]。在文献 [2] [3] [4] 中,作者建立了不同的确定性模型来研究浮游生物系统的动力学行为。由于水生环境中有毒浮游植物的特殊性,在文献 [5] [6] [7] 中,作者通过实验观察发现,毒素在浮游动植物系统中扮演着重要的角色,它既能抑制浮游动物种群数量的增长,又能解释“水华”现象出现的原理。为了使模型更具现实意义,许多学者又考虑了不同的功能反映函数,其中包括Leslie-Gower模型、Holling-Tanner模型和Stage-structure模型。而在第二种模型中,Holling-II型功能反映函数通常适用于无脊椎动物,对于脊椎动物,我们则使用Holling-III型功能反映函数。文献 [8] [9] [10] 研究了具有Holling-III型功能反映函数的模型。
本文在前人的基础上,考虑如下的具有Holling-III型功能反映函数的有毒浮游植物与浮游动物相互作用的模型:
(1)
其中p和z分别为浮游植物和浮游动物在t时刻的密度。设模型(1)中的参数均为正数,且参数的实际意义如下:
:浮游植物的内在生长率;
:浮游植物间的相互竞争;
:浮游动物的最大摄取量;
:梅单位生物量的浮游动物对浮游植物的转换率;
D:浮游动物的死亡率;
:每单位生物量的浮游植物对毒素物质的释放率;
:半饱和常量。
2. 模型解的正性和有界性
为了减少模型(1)中参数的个数,令
,,,,,,,,再去掉“−”(1)
式就变为:
(2)
对于(2)式解的正性和有界性,我们给出如下结论。
定理1 在 , 的情况下,则对所有的 ,系统(2)的所有解是正的,有界的,且 ,。
证明:解的正性比较容易证明,在这里省略。对于解的有界性,根据系统(2)的第一个方程可知 ,由此可得 。定义 ,则
所以 ,故 。
3. 模型平衡点的稳定性
由于 ,所以系统(2)存在边界平衡点 和 及唯一的正平衡点 ,其中 , 满足
将系统(2)沿着平衡点线性化可得
平衡点 处的特征根为 ,,所以平衡点 不稳定。平衡点 处的特征值为 ,,因此,若 ,则平衡点 局部渐近稳定,若 ,则平衡点 不稳定。平衡点 处的雅可比矩阵为
其中, ,,,。其对应的
特征方程为
根据Routh-Herwitz定理,若 ,则平衡点 是
局部渐近稳定的。由以上讨论得出如下结论。
定理2 对于系统(2),如下结论成立:
(i) 平衡点 总是不稳定的;
(ii) 若 ,则平衡点 是局部渐近稳定的,若 ,则平衡点 是不稳定的;
(iii) 若 ,则平衡点 是局部渐近稳定的,若上式不成立,则平衡点 是不稳定的。
基金项目
国家自然科学基金项目(11261058)。
文章引用
李晓娜. 具有Holling-III型功能反映函数的有毒浮游植物与浮游动物相互作用模型的研究
The Toxic Producing Phytoplankton-Zooplankton Interaction with Holling-III Functional Response[J]. 应用数学进展, 2019, 08(10): 1655-1658. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.810195
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