Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 228-233 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.33034 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Researches on Phase and Amplitude of Continuous Circular Analytic Signals* Lihui Tan School of Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangzhou Email: lihuitan@ymail.com Received: Mar. 27th, 2013; revised: Apr. 21st, 2013; accepted: May 2nd, 2013 Copyright © 2013 Lihui Tan. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: We will show in this paper that a continuous circular analytic signal can not only be represented as a product of a minimum phase signal and a maximum phase signal, but also a product of a minimum phase signal and an all phase signal. Based on the decomposition theorem, we will give some conditions under which a continuous circular analytic signal can be reconstructed from phase or amplitude. Moreover, we will further discuss under what conditions two disconnect circular analytic signals will have the same amplitude. Keywords: Circular Analytic Signals; Amplitude Preservation; Signal Reconstruction 连续周期解析信号的相位幅度研究* 谭立辉 广东工业大学应用数学学院,广州 Email: lihuitan@ymail.com 收稿日期:2013 年3月27日;修回日期:2013 年4月21 日;录用日期:2013年5月2日 摘 要:在本文中,我们将指出任意连续的周期解信号不仅可以分解为极小相位信号和极大相位信号 的乘积,也可以分解为极小相位信号和全相位信号的乘积。在此基础上,我们给出了连续的周期解析 信号可以仅由相位信息或者幅度信息重构的条件。更进一步的,我们研究了具有不连通的频带有限的 周期解析信号保持幅度不变的条件。 关键词:连续周期解析信号;幅度不变;信号重构 1. 引言 瞬时幅度和相位是信息论中处理调制信号最基本的概念,求这些概念最经典的方法是通过 Hilbert 变换定义 的解析信号获得[1]。令表示所有以 为周期且满足 2 LT 2π 12 2π2 i 0 ed t f t 的函数 i et f的集合,其中 T表示单 位圆周 1Tzz t 。对于给定的,它有如下Fourier 级数展开: 2 fLT ii ee tk k k fcf , *基金项目:广东省自然科学基金项目(s201104000389)。 Copyright © 2013 Hanspub 228 谭立辉 连续周期解析信号的相位幅度研究 其中 2π ii 0 1eed 2π tkt k cf ft 表示其对应的第个 Fourier系数。那么,其对应的周期Hilbert 变换 k eHf it e t 被定 义为 ii eisgn tk k k Hfk cf , 其中 表示符号函数,当sgn 0k , sgn kkk;当 0k , sgn 0k 。因此,通过周期Hilbert 变换, it 2 e f LT对应的周期解析信号可定义为 i i e t Hf ii e tt ffe: a 。根据其表达式,我们知道存在唯一的幅 度相位对 使得 ,tt i i ee t t a ft ,其中 22 ii ee tt tf Hf , i i e arctan e t t Hf tf 。在信 号处理中,我们把 t , t 分别称为信号的瞬时幅度和相位,而相位 t 的导数 被认为是信号的瞬时 频率。因此,研究周期解析信号中的相位和幅度的关系,是科学界一个比较重要的问题[2-6]。比如说,当 t i2 et fLTt 为频带有限的周期函数时,即 ,其中 , 和 ii ee n tk k km fcf ,0mn 0 n cf 0 m cf , 那么其对应的周期解析信号可表示为 。根据阶多项式具有 个根的性质,频带有 i 0 1 e2 t k k fcfcf ni e k t n n i t j 限的周期解析信号 可分解为: i et a f ii 11 e2 ee pq tt an j jj f cf ab , 其中 , pqn 12 ,,, p aa a和分别为其对应的 Z变换 12 ,,, q bb b 0 1 2 nk a kk f zcf cfz 在单位圆内和单位 圆外的零点序列(其重点按重数排列)。在离散时间系统理论中[6],有限频带的周期解析信号 被认为是有限脉冲响应对应的频率响应,而由在单位圆外的零点确定的分解因子 i 0 1 e2 n t a k fcfcf ii e: e q tt i e k t k min 1 j j fb 称之为极小相位信号,由单位圆内的零点确定的分解因子 ii max 1 e: e p tt j j fa 称之为极 大相位信号,他们分别对应于离散系统中的极小相位系统和极大相位系统对应的有限脉冲响应的频率响应。根 据系统论的知识我们知道,极小相位信号的相位是其对数幅度的周期Hilbert 变换,即 ii min min lnei lne i min ee tt fHf t fc , 而极大相位信号也可表示为 ii max max ln eiln e ii max eee tt fHf tpt fc 。 其中、是模为 1的复常数。由于cc 2 0 H ffcf ,所以极小相位信号和极大相位能在一个常数因子范围 内被其相位或者幅度唯一重构出来。事实上,具有频带有限的周期解析信号不仅可以分解为一个极大相位信号 和极小相位信号的乘积,也可以分解为一个极小相位信号与全相位信号的乘积: i iii i 11 1 e e2e1e 1e t qp p j ttt anjj t jj j j a fcf baa , 其中 ii 11 e:e1 e a qp tt fj jj Ob i t j a的所有零点在单位圆外,为极少相位信号,它可表示为 ii ln eiln e ii 11 e1ee tt aa qp fHf tt jj jj ba , 而由互反的零点 j a和极点1 j a对确定的 i i i 1 e e: 1e a t p j t ft j j a Ba 称之为全相位信号,其中c是模为 1的复常数。令 Copyright © 2013 Hanspub 229 谭立辉 连续周期解析信号的相位幅度研究 i e j t jj aa,我们有 2 i i 2 1 1 ee expid 12 cos Ba a pj t t fjjjj a Bt atta , 2π02πp aa BB 且其对应的瞬时频率 2 2 1 1 12 cos pk kkk z zttz k 非负。根据频带有限的周期解析信号的分解特征,在[2,3]等文献 中给出了频带有限的周期解析信号由相位或幅度信息对信号进行重构的研究,更进一步地,在文献[4]中给出了 将频带有限的周期解析信号分解为全相位信号和极小相位信号的算法。 作为上述的结论推广,在本文的第二段中,我们将指出任意连续的周期解析信号也可以分解为极小相位信 号和极大相位信号的乘积或极小相位信号和全相位信号的乘积。根据此结论,我们也研究了在什么情况下,连 续的周期解析信号可以由相位信息或者幅度信息重构的条件。更进一步的,我们研究了具有不连通的频带有限 的周期解析信号保持幅度不变的条件。 2. 主要结论 对于 i2 et f LT,根据周期Hilbert 变换的定义,我们知其对应周期解析信号 ii eeie tt a ffHf it i e t k 具 有Fourier 级数展开式:。根据 F.和M. Riesz 定理[7],我们知周期解析信号 对应的 Z变换 i 0 1 e2 tk a k fcfcf i e t f 0 ii eei tt a ffH 1 2k ak k f zcfcfz 属于 2 H D且对于几乎处处的 0, 2πt, 有 1 elim aa r ii ,e tt f fz zr D,其中 2 H D表示在单位圆 1z:Dz 内解析且满足 12 2π 2 01 0 sup d rfz t 的函数 f z的集合。特别地,当周期解析信号 i e t a f i e t t 连续且 时,由 于 0t 2 i 2ed s t a r 2π 0 11 2π12co a f zf rtr zrt i eD ,其中 ,那么根据 Poisson 核 2 rt 2 r 1 cos r 12 的性质, 我们知 a f z在闭圆盘 :clDz z 1 内连续。根据 Hardy 函数的分解定理,对于这样一类特殊的信号,我们 有: 2πi i i 1 0 1e explne d, 2π1 e tn tk aa tkk zz z f zcf tzD zz z , 其中是模为 1的复常数,c 1,, n zz是 a f z在单位圆内零点序列(其重点按重数排列),参见[7,8 ]。自然,对于 连续的周期解析信号: 引理 1 如果周期解析信号 连续且 i i ee t t a ft 0t 。那么 i et a f有如下分解: iii minmin maxmax ilneilnelneilne lni ln ii i 1 e eeee e 1e ttt t nfHf fHf tHt tnt k at kk z fc c z it c , 其中 、c是模为 1的复常数, ii max 1 ee n tt k k f z , ii min max lne lnlne tt ftf , 是 1,, n zz i et a f 对应的 Z变换 a f z在单位圆内零点序列(其重点按重数排列)。■ 根据上面的分解结论,我们将给出连续的周期解析信号由相位信息或者幅度信息进行重构的条件: 定理 2 假设周期解析信号 连续且 i i ee t t a ft 0t 。如果其对应的Z变换是 a f z为整函数且不 Copyright © 2013 Hanspub 230 谭立辉 连续周期解析信号的相位幅度研究 具有互反的零点对时。那么周期解析信号 i et a f可以在一个常数因子内被其相位 t 重构出来。 证明:如果我们已知相位 ,利用 t 02πn,其中 表示n a f z在单位圆内的零点个数 1,, n zz 2π (其重点按重数排列)。令 i max 1 e: n t i e t j j f z ,根据引理 1,我们有 iii it minmin maxmax lneilnelneilne ii eee e ttt fHf fHf tnt a fc , 其中是模为 1的常数, c ii min max lne lnlne tt ftf 。 又因为 ii min max ln elne tt tntH fH f , 那么根据周期Hilbert 变换的性质 2 0 H ffcf ,我们由相位 t 可得到 iii it n minmin maxmax i lneilnelneilne min i i i 1 e e:e e 1e ttt t fHf fHf Htnttnt t t j j f gc c z 其中 是某复常数。显然,如果c a f z为整函数且不具有互反的零点对时,那么由相位信息得到的 i et g对应 的Z变换 g z有且只有极点 1 11 , n zz 。自然,全相位信号 11 a nk fkk zz Bz zz 能从 的极点序列 1 11 , n zz g z 重构出来。因此,在上述条件下,周期解析信号 i et a f t 可以在一个常因子范围内由其幅度 重构。■ t 定理 2 假设周期解析信号 连续且 i i ee t a ft 0t 。如果其对应的Z变换 a f z在复平面不具有 互反的零点极点对, f 00 a且 a f z的所有零点要么在单位圆内要么在单位圆外,那么周期解析信号 i et a f 以在一个常数范围内由其幅度 构。 可 t重 证明:因为周期解析信号 连续且 i i ee t t a ft 0t ,根据引理1,我们知道其对应的 Z变换 a f z 可表示为 2πi i i 1 0 1e explne d 2π1 e tn tk aa tkk zz z fz cftzz z 且 1 lim t aa rfz i ef, 其中,是模为 1的常数, 是 i et zrc1,, n zz a f z在单位圆内的零点序列。显然,如果 a f z的所有零点位 于单位圆外,那么 ii ln e ilne i ee tt aa fHf t a fc 为极小相位信号,那么周期解析信号能在一个常因子范围内由幅度 重构出来。如果 a f z的所有零点位于单位圆内, 00 a f 且在复平面内不具有互反的零点极点对,那么极小 相位对应的 Z变换为 2πi i i 1 0 1 1e :explned 2πe a tn a t 1 f aj zz tn j j j fz z Oz cft zzz 在复平面内有且只有零点序列 1 11 , n zz 。自然,其对应的全相位信号 11 a nk fkk zz Bz zz 能从极小相位 的零点序列 a f Oz 1 11 , n zz 重构出来。因此,在这种情况下,连续的周期解析信号 可以由在一个常数 i et a f 因子范围内由其幅度 重构。■ t Copyright © 2013 Hanspub 231 谭立辉 连续周期解析信号的相位幅度研究 关于解析信号保持幅度不变的研究主有针对的是非周期的频带有限解析信号的研究[9-11],而作为文献[9]对 应的周期解析信号的考虑,我们将给出具有不连通的频带有限的周期解析信号保持幅度不变的条件。 令 表示所有 ,mn PT i2 et f LT且 i e:inf, 0,sup, 0, tnn Suppfn cfn cfmn 的函数 i et f it 的集合,其中 为有限整数。,mn Z f表示 , emn f PT对应的 Z变换 f z在复平面的零点序列(其重 点按重数排列)。假设 , iii I mn是互不相交的区间序列,其中 1,2,,iN ,且满足下面的可分条件: ,其中 0 i m ij II mn I I , ijjii j I Imn nm mn,1,,,ijN ,mn , ,,nmi j,表示 一个有序对,则我们有下面的结论成立: ,mn 定理 3 假设 ,,其中 ii 1 ee N tt ai i ff ii 1 ee N tt ai i gg ii , e, eii tt ii mn f gPT, 。如果闭区间3N , iii I mn满足上面的可分条件,那么 i ee t aa fgit 当且仅当 tt f a 0 i i i 1e e e t aa t aB a gc a i , c e 0 B,其 中是 模为 1的复数, 是 0 B 1 n k k Z f 中的任意子序列。 证明:因为 i e t aa fgi e t ,那么 iiiii ii 11 11 eeee eeee NN NN tttt ttt aai ja aij ij ij ffff gggg i t 。 因为 iii i ee, ee tt tt ijij i SuppffSupp ggII j ,那么由闭区间 i I 的可分条件,我们有 ii i ee ee tt t ij ij ff ggit , 其中 。 ij 如果 ,那么对于任意三个不同的整数3N123 1,,nnn N ,我们有 12231 22 3 iiiii ii eeee eeee tttt ttti nnnnnnn n ffff ggggt 和 131 3 ii i ee ee tt t nn nn ff ggit 。 因此,当 时,对任意的1,有3NnN ii i ee ee ttt nn nn ff ggit 。因为 n f z, n g z为整函数, 那么根据引理 1,我们易知 ii i ee ee ttt nn nn ff ggit 当且仅当 it n f i ee t nnn gcBi e, t n c其中是模为 1的 复常数, 是由 i et n g n f z在复平面的部分零点序列 1,, n zz构成的全相位信号 i i 1 1e e t nk t kk z z 。又因为 iiii ii i eeee ee ee tttt tt t ij iiijjjij gg cfBcfBff it iitt ijN , 所以 ,1,ee ii j j cB cB 。因此, ii e tt e aa fg当且仅当 0 i ii i 1e ee e t tt aa t aB a gc f a ,其 中是 模为 1的复数, 是 c 0 Bn k Z f 1k 从本文的内容我们可以看出,我们将针对频带有限的周期函数的分解结论推广到连续周期解析信号的情形, 即任意连续的周期解信号不仅可以分解为极小相位信号和极大相位信号的乘积,也可以分解为极小相位和全相 位的乘积。在此基础上,我们也研究了在什么情况下,连续的周期解析信号可以由相位信息或者幅度信息重构 的条件。这些结论的给出不仅使我们对周期解析信号的结构有了更深入的了解,也为其应用奠定了理论基础。 中的任意子序列。■ 参考文献 (References) [1] D. 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