Pure Mathematics
Vol.06 No.03(2016), Article ID:17573,4
pages
10.12677/PM.2016.63030
The Proceeding of Orthogonal and Transitivity
Chengli Cai, Peixin Chen
School of Science, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing Jiangsu
Received: Apr. 30th, 2016; accepted: May 16th, 2016; published: May 19th, 2016
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
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ABSTRACT
In this paper, the proceeding of orthogonal and transitivity theorem are discussed. We find that the proceeding of orthogonal is a special case of the transitivity theorem.
Keywords:Gram-Schmidt Orthogonal, Transitivity, Inner Product
正交化过程与传递性
蔡成立,陈培鑫
南京理工大学理学院,江苏 南京
收稿日期:2016年4月30日;录用日期:2016年5月16日;发布日期:2016年5月19日
摘 要
本文研究了正交化过程与传递性定理之间的关系,我们发现正交化过程可以看作传递性定理的特例。
关键词 :格拉姆–施密特正交化,传递性,内积
1. 引言
Gram-Schmidt正交化过程是线性代数中的重要内容,传递性定理是算子代数中的重要定理和基本工具。本文通过他们之间的关系,将二者统一地去看待:将正交化过程看作传递性定理的特例。传递性定理可以在一般Hilbert空间中给出非构造性证明。Gram-Schmidt正交化过程可以在可分Hilbert空间中具体构造出来。为了统一起见,本文假定Hilbert空间都是可分的。
2. 预备知识
定义:A是的-子代数,称A是不可约的若A的不变子空间只有0和H。
设V是复数域C上的n维线性空间,T 是V上的一个线性变换。任取V上的一组基,则存在一个唯一的矩阵T,使得:T。V上的线性变换全体记作,则关于加法,数乘和映射的乘法构成一个代数。
在线性代数中,我们有如下结论;
引理2.1. [1] - [3] 设是V的一组基,则对任意V中的任意n个向量,存在唯一的V到V的线性变换T,满足。
在泛函分析中,我们有传递性定理;
引理2.2. [4] - [7] 设A是Hilbert空间H上的不可约-代数,是H中的线性无关向量组,是V中的任意向量组,则存在算子,使得,。
3. 正交化过程与传递
下面的定理给出了可分Hilbert空间上可列基到另一组可列基的传递定理:
定理3.1.设H是可分的Hilbert空间,则对H的任意两组基和,存在线性算子A,满足,
证明:令。则H关于的Gram-Schmidt标准正交化基。即对于
,
这里,,定义H上的算子u:
,
其中,,,
由此可知,,
,
记,,其中,则有,。
说明:在定理3.1的证明中,我们没能确定传递算子A的有界性。下面的推论表明:若把定理3.1中的基换成正交基,可使相应的传递算子A是可逆的,并且Gram-Schmidt正交化过程可以作为传递定理3.1的特例。
推论3.2.若是可分Hilbert空间H上的一组基,则存在H上的可逆线性变换T和标准正交基,使得。
证明:由定理3.1可知,存在有线性变换T和正交基,满足,
同理,利用定理3.1,我们可以给出线性变换T的逆变换存在。
下面在可分Hilbert空间中给出几个关于Gram-Schmidt正交化过程和传递性定理的例子:
命题3.3. 设是可列无穷空间的一组基,其中,,,,,那么对于另一组标准正交基,其中,我们可以通过一个变换;
,
把传递到上。
命题3.4.
(1)
(2)
分别是空间的两组标准正交基,记,,,,
则存在一个算子,使得。
推论3.5. 设V是n维欧式空间,是V中个线性无关的向量,则在V中存在m个两两正交的向量,使得张成的V的子空间恰好为由张成的V的子空间,即是该子空间的一组正交基。
证明:由推论3.2可得。
4. 总结
在本文中,Gram-Schmidt正交化过程是代数中的结果,传递性定理是泛函分析中的重要结果,通过建立它们之间的关系,我们能够把正交化过程看成是传递性定理的一个特例。
文章引用
蔡成立,陈培鑫. 正交化过程与传递性
The Proceeding of Orthogonal and Transitivity[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 195-198. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63030
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