Advances in Applied Mathematics
Vol.07 No.07(2018), Article ID:25983,6
pages
10.12677/AAM.2018.77100
Properties of Meromorphic Solutions of a Class of Difference Painlevé Equations
Baoqin Chen, Sheng Li*
Faculty of Mathematics and Computer Science, Guangdong Ocean University, Zhanjiang Guangdong
Received: Jun. 23rd, 2018; accepted: Jul. 13th, 2018; published: Jul. 20th, 2018
ABSTRACT
This paper studies a class of Painlevé difference equations of the form where is a rational function, and proves the following conclusions: 1) if w has finitely many zeros and poles, then and , where R is a rational function, and are constants such that either or ; 2) if w has infinitely many zeros or poles, then .
Keywords:Difference Painlevé Equations, Growth, Poles, Zeros
一类差分潘勒韦方程亚纯解的性质
陈宝琴,李升*
广东海洋大学,数学与计算机学院,广东 湛江
收稿日期:2018年6月23日;录用日期:2018年7月13日;发布日期:2018年7月20日
摘 要
本文研究了一类的形如 的差分潘勒韦方程,其中 为有理函数,得到以下结论:1) 若w只有有限个零点和极点,则 且 ,其中R为有理函数, 为常数, 不同时为0;2) 若w有无穷多个零点或极点,则 。
关键词 :差分潘勒韦方程,增长级,极点,零点
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
在本文中,亚纯函数是指该函数在整个复平面上亚纯。在下文中,假定所有读者都熟悉亚纯函数的Nevanlinna理论和潘勒韦方程理论及其基本记号 [1] [2] [3] 。特别地,对亚纯函数f,分别用 , , , , , 和 表示f的极点计数函数,均值函数,特征函数,零点收敛指数,极点收敛指数,增长级和超级。如果g满足 ,其中E为对数测度有限的集合,则称g为f的小函数。用 表示f的所有小函数之集。
微分潘勒韦方程是一类物理背景深厚、应用广泛的重要方程。人们开展相关的研究已有一百多年,并取得了极其丰富的成果。近十多年来,人们通过引入Nevanlinna理论深入研究复域差分、差分方程,并取得了一些优秀的成果 [4] - [11] 。这其中的奠基性工作由Halburd和Korhonen [12] 以及Chiang和Feng [13] 分别独立给出。事实上,他们的研究成果,促进了差分的Nevanlinna理论的建立以及差分潘勒韦方程的发展。另一项重要的工作是Halburd和Korhonen [5] ,以及Ronkainen [7] 对非线性差分方程的分类工作。他们给出了几类差分Riccati方程和差分潘勒韦方程 [5] [7] 。在此仅给出以下与本文密切相关的结果。
定理A [7] :假设方程
(1)
有超级小于1的可容许解w,其中 关于z亚纯且为w的有理函数,则或者w满足差分Riccati方程
其中 为代数体函数,或者方程(1)等价于以下形式之一:
(2a)
(2b)
(2c)
(2d)
在(2a)中,系数满足
和以下情况之一:1) ;2) 。
在(2b)中,系数满足 和 。
在(2c)中,系数满足
1) ,且 或 成立;
2) ;
3) ;
4) 。
在(2d)中, 且 。
在定理A中,方程(2a)~(2d)均为第三类差分潘勒韦方程。蓝双婷和陈宗煊 [8] [9] ,张继龙和仪洪勋 [10] [11] 在一些特殊的系数条件下进行了研究,并得到一些很好的结果。本文考虑(2d)在 且系数为有理函数的情况,即以下形式的第三类差分潘勒韦方程
(3)
其中, 为有理函数,得到了以下结果:
定理1:设w为方程(3)的有限级亚纯解,其中 为有理函数,则以下结论成立:
1) 若w只有有限个零点和极点,则 且 ,其中R为有理函数, 为常数, 不同时为0;
2) 若w有无穷多个零点或极点,则 。
注:方程(3)可能有级为无穷且超级为1的亚纯解;而在不考虑条件 时,方程(3)可能既有超越亚纯函数解,又有有理函数解,例如方程
的其中五个解为 。这里 是有理函数解,而
2. 引理
引理1 [14] :假设 为有限级的亚纯函数,级为 。若在 处,
则
其中 分别为 非零零点和极点的典型乘积, 为次数不超过 的多项式。
引理2:假设w为方程(3)的非常数亚纯解, ,则w为超越亚纯函数。
证明:利用反证法,假设w为方程(1)的有理函数解,则w至少有一个零点或极点, 。由 可知 为常数函数,且
这表明
(4)
为方便计,不妨设0为 的 阶零点(事实上,若为 的 阶零点,则0为 的k阶零点,若 为 的 阶零点,则0为 的 阶零点)。则由(4)可知, 。下面分三种情况进行讨论。
情况1:−1为 的 阶零点。此时由 ,可知:
子情况1.1:−2既不是 的零点也不是 的极点,则−3为 的 阶极点。再由 ,可知−4为 的 阶极点。依次类推, 均为 的 阶极点,这表明w有无穷多个极点,与w为有理函数矛盾。
子情况1.2:−2为 的 阶零点,则
1) 当 时,−3既不是 的零点也不是 的极点,类似情况1可得类似的矛盾。
2) 当 时,−3为 的 阶极点。再由 ,可知−4为 的 阶极点。依次类推, 均为 的 阶极点,这表明w有无穷多个极点,与w为有理函数矛盾。
3) 当 时,−3为 的 阶零点。再由 ,由(1)和(2)中的讨论可知−4是 的极点且阶为 。依此类推可得, 均为 的 阶零点。这表明w有无穷多个零点,与w为有理函数矛盾。
情况2:−1为 的 阶极点。类似子情况1.2中(2)的讨论可得类似的矛盾。
情况3:−1既不是 的零点也不是 的极点。类似子情况1.1可得类似的矛盾。
综上所述,引理2得证。
3. 定理1的证明
假设w为方程(1)的有限级非常数亚纯解,则由引理2可知,w为超越亚纯函数。再由引理1,可以将w记为
(5)
其中 分别为w非零零点和极点的典型乘积, 为多项式且次数不超过w的级 。
情况1:w只有有限个零点和极点,此时 为多项式,从而 为非常数多项式。将(5)代入(3)可得
即
(6)
记
其中 。注意到(6)的右边是有理函数,故
(7)
容易验证:
1) 当 时, ;
2) 当 时, ;
3) 当 时, 。
由此再结合归纳法可得当 时,
其中 。要使得(7)成立,必有 。这就得到
其中 为常数, 不同时为0。
情况2:w有无穷多个零点或极点。不妨设w有无穷多个零点。注意到h为有理函数,至多有有限个零点和极点。故可以取到w的某个零点 使得 。类似引理2的讨论,可以证明 都是w零点(极点)。从而在圆 内至少有 个零点(极点),从而得到
或
也就是
定理1证明完毕。
致谢
本论文得到广东省高等学校优秀青年教师培养计划项目(YQ2015089),广东自然科学基金项目(2015A030313620),广东海洋大学优秀青年教师培养计划项目(2014007,HDYQ2015006),广东海洋大学创新强校工程项目(gdou2016050209)的资助。
文章引用
陈宝琴,李升. 一类差分潘勒韦方程亚纯解的性质
Properties of Meromorphic Solutions of a Class of Difference Painlevé Equations[J]. 应用数学进展, 2018, 07(07): 836-841. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.77100
参考文献
- 1. Laine, I. (1993) Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations. W.de Gruyter, Berlin. https://doi.org/10.1515/9783110863147
- 2. 杨乐. 值分布论及其新研究[M]. 北京: 科学出版社, 1982.
- 3. 何育赞, 袁文俊, 李叶舟. 潘勒韦方程解析理论讲义[M]. 北京: 科学出版社, 2005.
- 4. Ablowitz, M., Halburd, R.G. and Herbst, B. (2000) On the Extension of Painlevé Property to Difference Equations. Nonlinearity, 13, 889-905. https://doi.org/10.1088/0951-7715/13/3/321
- 5. Halburd, R.G. and Korhonen, R. (2007) Finite-Order Meromorphic Solutions and the Discrete Painlevé Equations. Proceedings of the London Mathematical Society, 94, 443-474. https://doi.org/10.1112/plms/pdl012
- 6. Chen, Z.X. and Shon, K.H. (2010) Value Distribution of Meromorphic Solutions of Certain Difference Painlevé Equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 364, 556-566. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2009.10.021
- 7. Ronkainen, O. (2010) Meromorphic Solutions of Difference Painlevé Equations. Ph.D. Thesis, Department of Physics and Mathematics, University of Eastern Finland, Joensuu.
- 8. Lan, S.T. and Chen, Z.X. (2014) On Properties of Meromorphic Solutions of Certain Difference Painlevé Equations. Abstract and Applied Analysis, 2014, Article ID: 208701. https://doi.org/10.1155/2014/208701
- 9. Lan, S.T. and Chen, Z.X. (2014) Zeros, Poles and Fixed Points of Meromorphic Solutions of Difference Painlevé Equations. Abstract and Applied Analysis, 2014, Article ID: 782024.
- 10. Zhang, J.L. and Yi, H.X. (2013) Properties of Meromorphic Solutions of Painlevé III Difference Equations. Advances in Difference Equations, 2013, Article ID: 256. https://doi.org/10.1186/1687-1847-2013-256
- 11. Zhang, J.L. and Yi, H.X. 2014 (2014) Borel Exceptional Values of Meromorphic Solutions of Painlevé III Difference Equations. Advances in Difference Equations, 2014, Article ID: 144.
- 12. Halburd, R.G. and Korhonen, R. (2006) Difference Analogue of the Lemma on the Logarithmic Derivative with Ap-plications to Difference Equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 314, 477-487. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.04.010
- 13. Chiang, Y.M. and Feng, S.J. (2008) On the Nevanlinna Characteristic of f (z + η) and Difference Equations in the Complex Plane. Ramanujan Journal, 16, 105-129. https://doi.org/10.1007/s11139-007-9101-1
- 14. Yang, C.C. and Yi, H.X. (2003) Uniqueness Theory of Meromorphic Functions. Kluwer Academic Publishers, The Netherlands. https://doi.org/10.1007/978-94-017-3626-8
NOTES
*通讯作者。