对偶Orlicz-John椭球的再讨论 Further Discussion of Dual Orlicz-John Ellipsoids

doi:10.12677/AAM.2018.711170

Advances in Applied Mathematics
Vol. 07 No. 11 ( 2018 ), Article ID: 27758 , 19 pages
10.12677/AAM.2018.711170

Further Discussion of Dual Orlicz-John Ellipsoids

Tongyi Ma

●How to Cite this Article

College of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye Gansu

Received: Oct. 29^th, 2018; accepted: Nov. 21^st, 2018; published: Nov. 28^th, 2018

ABSTRACT

As the natural extension of dual L_p-John ellipsoid, Zou and Xiong recently proposed the concept of dual Orlicz John ellipsoid (also call the Orlicz-Legendre ellipsoid), and studied its characteristic properties. This paper uses the totally different methods to restudy the dual Orlicz-John ellipsoid, and proves the existence, uniqueness and characteristic properties of dual Orlicz-John ellipsoid. Meanwhile, we give some interesting properties of dual Orlicz-John ellipsoid and the normalization of dual Orlicz mixed volume, and establish the Orlicz Minkowski inequality of the standardized dual Orlicz mixed volume.

Keywords:Convex Body, John Ellipsoid, L_p-John Ellipsoi, Dual L_p-John Ellipsoid, Dual Orlicz John Ellipsoid

对偶Orlicz-John椭球的再讨论

马统一

河西学院数学与统计学院，甘肃张掖

收稿日期：2018年10月29日；录用日期：2018年11月21日；发布日期：2018年11月28日

摘要

作为对偶L_p-John椭球的自然推广，最近Zou和Xiong提出了对偶Orlicz John椭球(也称为Orlicz-Legendre椭球)的概念并研究了它的特征性质。本文运用完全不同的方法重新研究对偶Orlicz John椭球，证明了对偶Orlicz John椭球的存在性、唯一性和特征性质，同时给出了对偶Orlicz John椭球和规范化对偶Orlicz混合体积的一些有趣性质，并建立了规范化的对偶Orlicz混合体积的Orlicz Minkowski不等式。

关键词 :凸体，John椭球，L_p-John椭球，对偶L_p-John椭球，对偶Orlicz John椭球

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1. 引言

2005年，Lutwak，Yang和Zhang [1] 三人研究小组发表的一篇杰出的文章表明，对于给定的凸体K，存在着一族L_p-John椭球 $E_{p} K$ ，使得经典的John椭球JK，Petty椭 [2] [3] 球以及最近发现的对偶Legendre椭球 $Γ_{- 2} K$ [4] 都是这一族L_p-John椭球 $E_{p} K$ 的特殊情况( $p = \infty, p = 1$ 和 $p = 2$ )。这种把椭球统一起来的关键点是L_p-John椭球 $E_{p} K$ 是给定凸体的L_p-混合体积的极值问题的解 [1]：若K是 $ℝ^{n}$ 中包含原点为其内点的凸体， $0 < p \leq \infty$ ，在所有原点对称的椭球E中，满足极值问题

$\max_{E} | E |$ 限制于 ${\bar{V}}_{p} (K, E) \leq 1$

的解的唯一椭球 $E_{p} K$ 称之为L_p-John椭球；在所有原点对称的椭球E中，满足极值问题

$\min_{E} {\bar{V}}_{p} (K, E)$ 限制于 $| E | = ω_{n}$

的解的唯一椭球 ${\bar{E}}_{p} K$ 称之为K的规范化的L_p-John椭球。这里 ${\bar{V}}_{p} (K, E)$ 表示K和E的L_p-混合体积 [5]， $| K |$ 表示K的n维体积， $ω_{n}$ 表示欧氏单位球 $B_{2}^{n}$ 的n维体积。

另一个经典的结果(其根源来自于力学)可以表述如下：对于 $ℝ^{n}$ 中的凸体K，存在唯一的椭球使得这个椭球在每个方向上的运动惯量与K在相应方向上的运动惯量相同。这个椭球称为K的Legendre椭球 $Γ_{- 2} K$ 。Legendre椭球是一个很重要的椭球，它与迷向位置的概念以及著名的截面问题紧密相关。

Yu，Leng和Wu [6] 提出了对偶L_p-John椭球 ${\tilde{E}}_{p} K$ 的概念，证明了经典的Löwner椭球 $\tilde{J} K$ 和Legendre椭球 $Γ_{2} K$ 都是对偶L_p-John椭球 ${\tilde{E}}_{p} K$ 的特殊情况( $p = \infty$ 和 $p = 2$ )。这种把椭球统一起来的关键点是对偶L_p-John椭球 ${\tilde{E}}_{p} K$ 是给定凸体的对偶L_p-混合体积的极值问题的解 [6]：若K是 $ℝ^{n}$ 中包含原点为内点的凸体， $0 < p \leq \infty$ ，在所有原点对称的椭球E中，满足极值问题

$\max_{E} {(\frac{ω_{n}}{| E |})}^{\frac{1}{n}}$ 限制于 ${\bar{V}}_{- p} (K, E) \leq 1$

的解的唯一椭球 ${\tilde{E}}_{p} K$ 称之为K的对偶L_p-John椭球；在所有原点对称的椭球E中，满足极值问题

$\min_{E} {\bar{V}}_{- p} (K, E)$ 限制于 $| E | = ω_{n}$

的解的唯一椭球 ${\bar{\tilde{E}}}_{p} K$ 称之为K的规范化的对偶L_p-John椭球。这里 ${\bar{V}}_{- p} (K, E)$ 表示K和E的对偶调和L_p-混合体积 [7]。

2010年，在两篇具有里程碑意义的文章 [8] [9] 中，Orlicz Brunn-Minkowski理论浮出了水面，这是Brunn-Minkowski理论的延续和发展。在文章中，Lutwak，Yang和Zhang建立了Orlicz Busemann-Petty质心不等式和Orlicz投影不等式。这个理论是基于L_p-类非对称问题的解决基础之上的，L_p-Brunn-Minkowski理论的非对称问题最早是由Lutwak [5] 提出来的，之后由Ludwig [10]，Haberl和Schuster [11] [12] 等人给出了补充和发展。作为L_p-Minkowski问题的延续，偶的Orlicz Minkowski问题也被Haberl [13] 等人解决。虽然Orlicz Brunn-Minkowski理论研究的对象和Brunn-Minkowski理论相比范围扩大了，但我们从Lutwak，Yang和Zhang的工作可以看出，很多基本的性质还是保持了下来，比如仿射等周不等式，这也是我们研究Orlicz Brunn-Minkowski理论的目的所在。可以参考更多文献，如 [4] [14] - [23] 等。

作为L_p-John椭球 $E_{p} K$ 和对偶L_p-John椭球 ${\tilde{E}}_{p} K$ 的自然推广，最近，Du和Xiong [24] [25] 提出了Orlicz John椭球和对偶Orlicz John椭球(他们将后者称为Orlicz-Legendre椭球)的概念，并研究了其相应的特征性质，其结果丰富了Orlicz Brunn-Minkowski理论。文 [26] 也独立地研究了Orlicz John椭球。本文中，我们应用完全不同于文 [25] 的方法重新研究对偶Orlicz John椭球，解决其相应极值问题的存在性，唯一性和其特征表示。

事实上，一个凸体K的对偶Orlicz John椭球也是规范化的对偶Orlicz混合体积的相应极值问题的解。受Gruber和Schuster [27] [28] 工作的启发，我们将应用正定二次型的方法来解决与对偶Orlicz John椭球有关的极值问题的存在性、唯一性和其特征表示。这个方法的大致思路如下：对于 $ℝ^{n}$ 中的线性变换，在正交变换下可看成 $ℝ^{\frac{1}{2} n (n + 1)}$ 中的向量，这就把极值问题转化成 $ℝ^{\frac{1}{2} n (n + 1)}$ 中相应的锥的子集上的几何问题。于是对于最小位置问题，我们需要找到有公共切点的光滑的凸子集。这个公共切点就是相应的极值问题的解，使得凸集相切的条件就是解的极值特征。

假设函数 $ϕ : [0, \infty) \to [0, \infty)$ 是凸的、严格递增的且 $ϕ (0) = 0$ 。这种 $ϕ$ 的集合记为 $C$ 。我们记 $K^{n}$ 为 $ℝ^{n}$ 中凸体的集合，并记 $K_{o}^{n}$ 为包含原点为其内点的凸体的集合。下面关于两个星体的规范化对偶Orlicz混合体积的概念与已有文献 [22] [29] 的定义有所不同。

定义1.1：定义泛函 ${\bar{V}}_{- ϕ} (\cdot, \cdot) : S_{o}^{n} \times S_{o}^{n} \to [0, \infty)$ 为

${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L) = \inf {λ > 0 : \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u)}{λ ρ_{L} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) \leq 1},$

其中 $S_{o}^{n}$ 表示 $ℝ^{n}$ 中所有包含原点为其内点的星体的集合， $K, L \in S_{o}^{n}$ ，且 $ρ_{K} (\cdot), ρ_{L} (\cdot)$ 分别为它们的径向函数。

${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)$ 可以看作是K和L的规范化的对偶Orlicz混合体积。事实上， ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)$ 是K和L的规范化的对偶调和L_p-混合体积的推广。令 $ϕ (t) = {| t |}^{p}$ 且 $p \in (0, \infty)$ ，则规范化的对偶调和L_p-混合体积为

${\bar{V}}_{- p} (K, L) = {(\frac{V_{- p} (K, L)}{| K |})}^{\frac{1}{p}} = {(\frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} {(\frac{ρ_{K} (u)}{ρ_{L} (u)})}^{p} ρ_{K}^{n} (u) d S (u))}^{\frac{1}{p}};$

对于 $p = \infty$ ，有

${\bar{V}}_{- \infty} (K, L) = \max_{u \in S^{n - 1}} (\frac{ρ_{K} (u)}{ρ_{L} (u)}) .$

值得指出的是，我们这里对 $ϕ$ 的限制是凸的，也就是说，本文对对偶L_p-John椭球的推广是对于 $1 \leq p \leq \infty$ 这个范围内的。

现在，我们考虑如下优化问题。

优化问题：若 $ϕ \in C$ 以及 $K \in K_{o}^{n}$ 。在所有原点对称的椭球中，找到一个椭球E是下面极值问题的解：

$\max_{E} {(\frac{ω_{n}}{| E |})}^{\frac{1}{n}}$ 限制于 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, E) \leq 1$ ， ( $S_{- ϕ}$ )

这个满足约束条件的最大化问题的椭球E称之为K的 $S_{- ϕ}$ 解。其对偶问题是：

$\min_{E} {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)$ 限制于 $| E | = ω_{n}$ ， ( ${\bar{S}}_{- ϕ}$ )

这个满足约束条件的最小化问题的椭球E称之为K的 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 解。

问题 $S_{- ϕ}$ (或 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ )的解的存在性可由Blaschke选择定理得到保证，我们将在第4节给出证明。 $S_{- ϕ}$ 和 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 的解只差一个标量因子，即下面的引理1.1。

引理1.1：设 $K \in K_{o}^{n}$ 。若 $E_{0}$ 是一个关于原点对称的椭球，它是关于K的 $S_{- ϕ}$ 的解，则

${(\frac{ω_{n}}{| E_{0} |})}^{\frac{1}{n}} E_{0}$

是一个关于K的 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 的解。反之，若 $E_{1}$ 是一个关于原点对称的椭球，它是关于K的 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 的解，则

${\bar{V}}_{- ϕ} (K, E_{1}) E_{1}$

是一个关于K的 $S_{- ϕ}$ 的解。

引理1.1的证明将在第4节给出。进一步，上面最优化问题的解及解的特征可以表述如下：

定理1.1：若 $ϕ \in C$ 以及 $K \in K_{o}^{n}$ ，那么 $S_{- ϕ}$ 和 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 有唯一解，而且椭球E是 $S_{- ϕ}$ (或者 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ )的解当且仅当它满足

$ρ_{E^{\circ}}^{- 2} (x) = \frac{β}{n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)} \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (u)}{ρ_{E} (u) {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)}) ρ_{E} (u) ρ_{K}^{n + 1} (u) {〈 x, u 〉}^{2} d S (u),$ (1)

对于所有 $x \in ℝ^{n}$ 和适当的 $β > 0$ 。其中 $E^{\circ}$ 表示E的极体。

因此，解的存在唯一性允许我们提出如下定义。

定义1.2：若 $ϕ \in C$ 以及 $K \in K_{o}^{n}$ 。在所有关于原点对称的椭球E中，满足下列有约束最大化极值问题

$\max_{E} {(\frac{ω_{n}}{| E |})}^{\frac{1}{n}}$ 限制于 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, E) \leq 1$

的解的唯一椭球称为K的对偶Orlicz John椭球，且记为 $E_{- ϕ} K$ 。在所有原点对称的椭球E中，满足下列有约束最小化极值问题

$\min_{E} {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)$ 限制于 $| E | = ω_{n}$

的解的唯一椭球称为K的规范化的对偶Orlicz John椭球，且记为 ${\bar{E}}_{- ϕ} K$ 。

2. 记号和预备知识

本文在配备了欧氏内积 $〈 \cdot, \cdot 〉$ 的 $ℝ^{n}$ 中讨论，记 $| \cdot |$ 为其相应的欧氏范数。用 $B_{2}^{n}$ 和 $S^{n - 1}$ 分别表示欧氏单位球和单位球面。符号 $E^{n}$ 专指 $ℝ^{n}$ 中原点对称椭球的集合。按惯例，设 $GL (n)$ 表示 $ℝ^{n}$ 中非奇异的线性变换群， $SL (n)$ 表示 $GL (n)$ 中行列式 $\det (T) = 1$ 的线性变换子群， $O (n)$ 表示 $ℝ^{n}$ 中的正交变换群。对于 $T \in GL (n)$ ，记 $T^{t}$ 为T的转置， $T^{- t}$ 为T的转置的逆。如果 $u \in S^{n - 1}$ ，则 $u \otimes u$ 为矩阵 $u u^{t}$ ，其定义是 $u \otimes u (x) = 〈 u, x 〉 u$ 对任意 $x \in ℝ^{n}$ 。对于 $n \times n$ 矩阵 $A = (a_{i k}), B = (b_{i k})$ ，其内积 $〈 A, B 〉$ 定义为 $\sum a_{i k} b_{i k}$ ，相应的矩阵范数分别为

$‖ A ‖ = {(\sum a_{i k}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 和 $‖ B ‖ = {(\sum b_{i k}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

如果 $ℝ^{n}$ 中的凸体K是紧的有非空内部的凸集，则它的支撑函数 $h_{K} (\cdot) : ℝ^{n} \to (0, \infty)$ 被定义为：对于任意的 $x \in ℝ^{n}$ ， $h_{K} (x) = \max {〈 x, y 〉 : y \in K}$ 。两个凸体K和L之间的Hausdorff距离 $δ$ 被定义为：

$δ (K, L) = {| h_{K} - h_{L} |}_{\infty} : = \max_{u \in S^{n - 1}} | h_{K} (u) - h_{L} (u) | .$

我们记 $S_{o}^{n}$ 为 $ℝ^{n}$ 中关于原点的星体的集合。对于 $K \in S_{o}^{n}$ ，它的径向函数被定义为：对于任意的 $x \in ℝ^{n} \ {o}$ ， $ρ_{K} (x) = \max {λ > 0 : λ x \in K}$ 。 $ℝ^{n}$ 中的星体K和L称为是膨胀的，如果 $ρ_{K} (u) / ρ_{L} (u)$ 的值不依赖于 $u \in S^{n - 1}$ 。从径向函数的定义立即可得：对于紧的星体 $K, L \subset ℝ^{n}$ ，有

$K \subseteq L \Leftrightarrow ρ_{K} \leq ρ_{L} .$ (2)

如果 $T \in GL (n)$ ，那么

$ρ_{T K} (x) = ρ_{K} (T^{- 1} x) .$ (3)

显然，如果 $c > 0$ ，凸体 $c K = {c x : x \in K}$ 的径向函数为

$ρ_{c K} (\cdot) = c ρ_{K} (\cdot) .$ (4)

$K, L \in S_{o}^{n}$ 的径向距离 $\tilde{δ}$ 被定义为：

$\tilde{δ} (K, L) = {| ρ_{K} - ρ_{L} |}_{\infty} : = \max_{u \in S^{n - 1}} | ρ_{K} (u) - ρ_{L} (u) | .$

设 $K \in S_{o}^{n}$ ，定义实数 $R_{K}$ 和 $r_{K}$ 为

$R_{K} = \max_{u \in S^{n - 1}} ρ_{K} (u), r_{K} = \min_{u \in S^{n - 1}} ρ_{K} (u) .$

凸体 $K \in K_{o}^{n}$ 的Minkowski泛函定义为 ${‖ x ‖}_{K} = \min {t > 0 : x \in t K}$ 。在这种情况下，有 $ρ_{K}^{- 1} (x) = {‖ x ‖}_{K} = h_{K^{\circ}} (x)$ ，其中 $K^{\circ}$ 是K的极集，其定义为：

$K^{\circ} = {x \in ℝ^{n} : 〈 x, y 〉 \leq 1, \forall y \in K} .$

容易得到 ${(K^{\circ})}^{\circ} = K$ 。且凸体的极具有性质：如果 $K \in K_{o}^{n}, T \in GL (n)$ ，则 ${(T K)}^{\circ} = T^{- t} K^{\circ}$ 。

给定实数 $p > 0$ ，对于星体 $K, L \in S_{o}^{n}$ 以及 $ε > 0$ ，L_p-调和径向组合 $K {\tilde{+}}_{- p} ε \cdot L \in S_{o}^{n}$ 是一个星体，定义为：

$ρ_{K {\tilde{+}}_{- p} ε \cdot L}^{- p} (x) = ρ_{K}^{- p} (x) + ε ρ_{L}^{- p} (x), x \in ℝ^{n} \ {o} .$ (5)

对偶调和L_p-混合体积由Lutwak引进 [5]，其定义为：

$- \frac{n}{p} V_{- p} (K, L) = \lim_{ε \to 0^{+}} \frac{| K {\tilde{+}}_{- p} ε \cdot L | - | K |}{ε} .$ (6)

由定义(5)式和(6)式，可以得到下列关于星体K和L的对偶调和L_p-混合体积 $V_{- p} (K, L)$ 的积分表达式 [5] [7]：

$V_{- p} (K, L) = \frac{1}{n} \int_{S^{n - 1}} ρ_{K}^{n + p} (u) ρ_{L}^{- p} (u) d S (u) .$ (7)

显然，由(7)式可得体积的极坐标公式：

$| K | = V_{- p} (K, K) = \frac{1}{n} \int_{S^{n - 1}} ρ_{K}^{n} (u) d S (u) .$ (8)

关于星体K和L的对偶调和L_p-混合体积的Minkowski不等式为：

$V_{- p} (K, L) \geq {| K |}^{\frac{n + p}{n}} {| L |}^{- \frac{p}{n}},$ (9)

等号成立当且仅当K与L互相膨胀。

这一不等式可由Hölder不等式和积分表达式(7)直接得到。特别地，不等式(9)中 $p = 1$ 的情形是：

$V_{- 1} (K, L) \geq {| K |}^{\frac{n + 1}{n}} {| L |}^{- \frac{1}{n}},$ (10)

等号成立当且仅当K与L互相膨胀。

3. ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)$ 的基本性质

由于函数 $ϕ$ 在 $[0, \infty)$ 上是严格递增的，那么函数

$λ \mapsto \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u)}{λ ρ_{L} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u)$

在 $(0, \infty)$ 内是严格递减的，且这个函数也是连续的。这样，对于 $K, L \in S_{o}^{n}$ ，

${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L) = λ \Leftrightarrow \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u)}{λ ρ_{L} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) = 1.$ (11)

而且由 $ϕ$ 的单调性可得，如果 $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ ，则

$ϕ_{1} \leq ϕ_{2} \Rightarrow {\bar{V}}_{- ϕ_{1}} (K, L) \leq {\bar{V}}_{- ϕ_{2}} (K, L) .$ (12)

由于 $ϕ$ 在 $[0, \infty)$ 上是严格递增的、凸的且 $ϕ (0) = 0$ ，那么存在实数 $0 < c_{ϕ} < \infty$ ，使得 $ϕ (c_{ϕ}) = 1$ 。

引理3.1：若 $ϕ \in C, L_{1}, L_{2} \in S_{o}^{n}$ ，则

$L_{1} \subseteq L_{2} \Leftrightarrow {\bar{V}}_{- ϕ} (K, L_{1}) \geq {\bar{V}}_{- ϕ} (K, L_{2}) .$

证明：令 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L_{1}) = λ_{1}$ 和 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L_{2}) = λ_{2}$ 。于是由 ${\bar{V}}_{- ϕ} (\cdot, \cdot)$ 的定义和(11)式，可得

$\frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u)}{λ ρ_{L_{1}} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) = 1,$

以及

$\frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u)}{λ ρ_{L_{2}} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) = 1.$

又由(2)式可得

$L_{1} \subseteq L_{2} \Leftrightarrow ρ_{L_{1}} (u) \leq ρ_{L_{2}} (u) .$

以上三式结合，并注意到 $ϕ \in C$ 在 $[0, \infty)$ 上单调递增，则得

${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L_{1}) = λ_{1} \geq λ_{2} = {\bar{V}}_{- ϕ} (K, L_{2}) .$

反之，若 $λ_{1} \geq λ_{2}$ ，则 $L_{1} \subseteq L_{2}$ 显然成立。

接下来，为了建立 ${\bar{V}}_{- ϕ} (\cdot, \cdot)$ 的连续性，我们需要对 ${\bar{V}}_{- ϕ} (\cdot, \cdot)$ 进行粗略的上下界估计。

引理3.2：若 $ϕ \in C$ 以及 $K, L \in S_{o}^{n}$ ，那么

$\frac{r_{K}}{c_{ϕ} R_{K}} \leq {\bar{V}}_{- ϕ} (K, L) \leq \frac{R_{K}}{c_{ϕ} r_{K}} .$

证明：由于 $ϕ \in C$ ，那么存在实数 $c_{ϕ}, 0 < c_{ϕ} < \infty$ ，使得 $ϕ (c_{ϕ}) = 1$ 。令 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L) = λ$ 。由(11)式可得

$\frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u)}{λ ρ_{L} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) = 1.$

再由 $ϕ$ 的单调性和体积的极坐标公式(8)，得到

$\begin{array}{l} ϕ (c_{ϕ}) = 1 = \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u)}{λ ρ_{L} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) \\ \leq \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{R_{K}}{λ r_{L}}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) \\ = ϕ (\frac{R_{K}}{λ r_{L}}) \int_{S^{n - 1}} \frac{1}{n | K |} ρ_{K}^{n} (u) d S (u) \\ = ϕ (\frac{R_{K}}{λ r_{L}}) . \end{array}$

这藴含着

${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L) = λ \leq \frac{R_{K}}{c_{ϕ} r_{K}} .$

另一方面，我们也可得到类似的下界估计：

${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L) \geq \frac{r_{K}}{c_{ϕ} R_{K}} .$

引理3.2证毕。

若 $K, L \in S_{o}^{n}, c > 0$ ，由定义1.1和(4)式，我们容易得到

${\bar{V}}_{- ϕ} (c K, L) = c {\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)$ (13)

和

${\bar{V}}_{- ϕ} (K, c L) = c^{- 1} {\bar{V}}_{- ϕ} (K, L) .$ (14)

引理3.3：如果 $K_{i}, L_{i} \in S_{o}^{n}$ ，那么

$K_{i} \to K \in S_{o}^{n}$ 和 $L_{i} \to L \in S_{o}^{n} \Rightarrow {\bar{V}}_{- ϕ} (K_{i}, L_{i}) \to {\bar{V}}_{- ϕ} (K, L),$

对于任意 $ϕ \in C$ 。

假设 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K_{i}, L_{i}) = λ_{i}$ ，由引理3.2可知

$\frac{r_{K_{i}}}{c_{ϕ} R_{K_{i}}} \leq {\bar{V}}_{- ϕ} (K_{i}, L_{i}) \leq \frac{R_{K_{i}}}{c_{ϕ} r_{K_{i}}} .$

由于 $K_{i} \to K \in S_{o}^{n}$ 以及 $L_{i} \to L \in S_{o}^{n}$ ，那么 $r_{K_{i}} \to r_{K} > 0, r_{L_{i}} \to r_{L} > 0$ 以及 $R_{K_{i}} \to R_{K} < \infty, R_{L_{i}} \to R_{L} < \infty$ 。结合 $K_{i}, L_{i}$ 的紧性，则存在实数 $a, b$ 使得 $0 < a \leq λ_{i} \leq b < \infty$ ，对所有的i。

为了证明有界序列 ${λ_{i}}$ 收敛到 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)$ ，我们只须证明 ${λ_{i}}$ 中任意收敛子列收敛到 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)$ 。不失一般性，设 ${λ_{i}}$ 的任一收敛子列仍记为 ${λ_{i}}$ 。假设这个子列 $λ_{i} \to λ_{0}$ 。显然， $0 < a \leq λ_{0} \leq b < \infty$ 。令 ${\tilde{K}}_{i} = λ_{i} K_{i}$ 和 ${\tilde{L}}_{i} = λ_{i} L_{i}$ 。那么

${\tilde{K}}_{i} \to λ_{0} K, {\tilde{L}}_{i} \to λ_{0} L .$

由(13)式和 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K_{i}, L_{i}) = λ_{i}$ ，可得

$\frac{1}{λ_{i}} {\bar{V}}_{- ϕ} (K_{i}, L_{i}) = {\bar{V}}_{- ϕ} (K_{i}, λ_{i} L_{i}) = {\bar{V}}_{- ϕ} (K_{i}, {\tilde{L}}_{i}) = 1.$

于是，再由(4)式和(11)式，我们得到对所有i，

$\begin{array}{l} 1 = \frac{1}{n | K_{i} |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K_{i}} (u)}{ρ_{{\tilde{L}}_{i}} (u)}) ρ_{K_{i}}^{n} (u) d S (u) \\ = \frac{1}{n | {\tilde{K}}_{i} |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{{\tilde{K}}_{i}} (u)}{λ_{i} ρ_{{\tilde{L}}_{i}} (u)}) ρ_{{\tilde{K}}_{i}}^{n} (u) d S (u) . \end{array}$

同时 ${\tilde{K}}_{i} \to λ_{0} K$ 和 ${\tilde{L}}_{i} \to λ_{0} L$ 蕰涵着函数 $ρ_{{\tilde{K}}_{i}} \to ρ_{λ_{0} K}, ρ_{{\tilde{L}}_{i}} \to ρ_{λ_{0} L}$ 在 $S^{n - 1}$ 上一致收敛。因此，利用 $ϕ$ 的连续性以及 $λ_{i} \to λ_{0}$ ，可得

$\frac{1}{n | λ_{0} K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{λ_{0} K} (u)}{λ_{0} ρ_{λ_{0} L} (u)}) ρ_{λ_{0} K}^{n} (u) d S (u) = 1,$

结合(11)式，(13)式和(14)式，便得

${\bar{V}}_{- ϕ} (λ_{0} K, λ_{0} L) = {\bar{V}}_{- ϕ} (K, L) = λ_{0} .$

这就得到了所需要的结果。

下面的引理说明函数 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)$ 对于 $ϕ$ 也是连续的。

引理3.4：如果 $ϕ_{i} \in C$ ，那么对于任意 $K, L \in S_{o}^{n}$ ，

$ϕ_{i} \to ϕ \in C \Rightarrow {\bar{V}}_{- ϕ_{i}} (K, L) \to {\bar{V}}_{- ϕ} (K, L) .$

证明：令 ${\bar{V}}_{- ϕ_{i}} (K, L) = λ_{i}$ 。由引理3.2给出

$\frac{r_{K}}{c_{ϕ_{i}} R_{K}} \leq λ_{i} \leq \frac{R_{K}}{c_{ϕ_{i}} r_{K}} .$

由于 $ϕ_{i} \to ϕ$ ，那么 $c_{ϕ_{i}} \to c_{ϕ}$ ，于是存在实数 $a, b$ 使得对所有的i， $0 < a \leq λ_{i} \leq b < \infty$ 。

为了证明有界序列 ${λ_{i}}$ 收敛到 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)$ ，我们只须证明 ${λ_{i}}$ 中任意收敛子列收敛到 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)$ 。不失一般性，设 ${λ_{i}}$ 的任一收敛子列仍是 ${λ_{i}}$ 。假设这个子列 $λ_{i} \to λ_{0}$ 。显然， $0 < a \leq λ_{0} \leq b < \infty$ 。因为 ${\bar{V}}_{- ϕ_{i}} (K, L) = λ_{i}$ ，由(11)式可得

$\frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ_{i} (\frac{ρ_{K} (u)}{λ_{i} ρ_{L} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) = 1.$

结合 $ϕ_{i} \to ϕ \in C$ 以及 $λ_{i} \to λ_{0} \in (0, \infty)$ ，我们得到

$\frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u)}{λ_{0} ρ_{L} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) = 1.$

即 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L) = λ_{0}$ 。于是 ${\bar{V}}_{- ϕ_{i}} (K, L) \to {\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)$ 。

下面的是 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)$ 的仿射性质：

引理3.5：如果 $K, L \in S_{o}^{n}, ϕ \in C$ 以及 $T \in SL (n)$ ，那么

${\bar{V}}_{- ϕ} (T K, L) = {\bar{V}}_{- ϕ} (K, T^{- 1} L) .$

证明：由 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)$ 的定义和(3)式，我们得到

$\begin{array}{l} {\bar{V}}_{- ϕ} (T K, L) \\ = \inf {λ > 0 : \frac{1}{n | T K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{T K} (u)}{λ ρ_{L} (u)}) ρ_{T K}^{n} (u) d S (u) \leq 1} \\ = \inf {λ > 0 : \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (T^{- 1} u)}{λ ρ_{L} (u)}) ρ_{K}^{n} (T^{- 1} u) d S (u) \leq 1} \\ = \inf {λ > 0 : \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (T^{- 1} u)}{λ ρ_{L} (T T^{- 1} u)}) ρ_{K}^{n} (T^{- 1} u) d S (T T^{- 1} u) \leq 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \inf {λ > 0 : \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (T^{- 1} u)}{λ ρ_{T^{- 1} L} (T^{- 1} u)}) ρ_{K}^{n} (T^{- 1} u) | \det T | d S (T^{- 1} u) \leq 1} \\ = \inf {λ > 0 : \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (v)}{λ ρ_{T^{- 1} L} (v)}) ρ_{K}^{n} (v) d S (v) \leq 1} (v = \frac{T^{- 1} u}{T^{- 1} u | |} \in S^{n - 1}) \\ = {\bar{V}}_{- ϕ} (K, T^{- 1} L) \end{array}$

这就完成了证明。

结合引理3.5，(13)式和(14)式，我们得到对于 $T \in GL (n)$ ，

${\bar{V}}_{- ϕ} (T K, T L) = {\bar{V}}_{- ϕ} (K, L) .$

下面的定理是规范化的对偶Orlicz-Minkowski不等式。

定理3.1：如果 $ϕ \in C, ϕ (c_{ϕ}) = 1$ 以及 $K, L \in S_{o}^{n}$ ，那么

${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L) \geq c_{ϕ}^{- 1} {(\frac{| K |}{| L |})}^{\frac{1}{n}},$ (15)

等式成立当且仅当K和L是膨胀的。

证明：由于 $ϕ \in C$ ，那么存在实数 $0 < c_{ϕ} < \infty$ 使得 $ϕ (c_{ϕ}) = 1$ 。由(11)式，Jensen 不等式以及L₁-对偶调和混合体积的Minkowski不等式(10)，我们有

$\begin{matrix} ϕ (c_{ϕ}) = 1 = \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, L) ρ_{L} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) \\ \geq ϕ (\frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} \frac{ρ_{K} (u)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, L) ρ_{L} (u)} \times ρ_{K}^{n} (u) d S (u)) \\ = ϕ (\frac{V_{- 1} (K, L)}{| K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)}) \geq ϕ (\frac{{| K |}^{\frac{n + 1}{n}} {| L |}^{- \frac{1}{n}}}{| K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)}) = ϕ (\frac{{| K |}^{\frac{1}{n}} {| L |}^{- \frac{1}{n}}}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)}) . \end{matrix}$ (16)

由 $ϕ$ 的严格单调性知，上式蕰涵着

${\bar{V}}_{- ϕ} {(K, L)}^{n} \geq c_{ϕ}^{- n} | K | {| L |}^{- 1} = | K | {| c_{ϕ} L |}^{- 1} .$

等式成立的条件可由Jensen不等式和L₁-对偶调和混合体积Minkowski不等式的等号成立的条件得到。如果 $ϕ$ 是严格凸的，那么Jensen不等式蕰涵着(16)式也是严格的，除非 $ϕ$ 是常数，也就是说， $ρ_{K} (u) / ρ_{L} (u)$ 对所有的 $u \in S^{n - 1}$ 是个常数，即K和L是膨胀的。如果 $ϕ \in C$ 不是严格凸的，那么 $ϕ$ 的严格单调性意味着 $ϕ$ 必定在一些区间 $I \subset [0, \infty)$ 上是线性的，其它是严格凸的。如果 $ϕ$ 是线性的，那么(16)式等号自动成立。

结合L₁-对偶调和混合体积的Minkowski不等式等号成立的条件，我们得到不等式(15)等号成立当且仅当K和L是膨胀的。定理3.1证毕。

注意到如果 $ϕ (t) = {| t |}^{p}, p \geq 1$ ，那么 $c_{ϕ} = 1$ ，不等式(15)就是L_p-对偶调和混合体积Min-kowski不等式(9)。

4. 主要结果的证明

在本节中，我们首先给出引理1.1的证明。

引理1.1的证明：首先证明 $S_{- ϕ}$ 中的约束条件可以转化为 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, E) = 1$ ，即满足极值问题 $S_{- ϕ}$ 的椭球 $E_{0}$ 必须满足 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, E_{0}) = 1$ 。事实上，设 $E \in E^{n}$ 且 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, E) < 1$ 。由(14)式知 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E) E) = 1$ 。因为

$\frac{ω_{n}}{| {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E) E |} = \frac{ω_{n}}{{\bar{V}}_{- ϕ} {(K, E)}^{n} | E |} > \frac{ω_{n}}{| E |},$

这意味着E不是 $S_{- ϕ}$ 的解答。

现在设 $E^{'} \in E^{n}$ 且 $| E^{'} | \leq ω_{n}$ 。由(14)式知 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E^{'}) E^{'}) = 1$ ，因此 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, E^{'}) E^{'}$ 满足 $S_{- ϕ}$ 的约束条件。又因为 $E_{0}$ 是极值问题 $S_{- ϕ}$ 的解答，则有 $| {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E^{'}) E^{'} | \geq | E_{0} |$ 。因此，由假设 $| E^{'} | \leq ω_{n}$ ，事实 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, E_{0}) = 1$ 和(14)式，我们有

$\begin{matrix} {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E^{'}) \geq {(\frac{| E_{0} |}{| E^{'} |})}^{\frac{1}{n}} \geq {(\frac{| E_{0} |}{ω_{n}})}^{\frac{1}{n}} = {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E_{0}) {(\frac{| E_{0} |}{ω_{n}})}^{\frac{1}{n}} \\ = {\bar{V}}_{- ϕ} (K, {(\frac{ω_{n}}{| E_{0} |})}^{\frac{1}{n}} E_{0}), \end{matrix}$

这说明 ${(ω_{n} / | E_{0} |)}^{\frac{1}{n}} E_{0}$ 是 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 的解。

反之，设 $E \in E^{n}$ 被 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, E) \leq 1$ 所控制。因为 ${(ω_{n} / | E |)}^{\frac{1}{n}} E$ 满足 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 的约束条件，而 $E_{1}$ 是满足约束条件 $| E_{1} | = ω_{n}$ 的 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 的解，于是有

$\begin{matrix} | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E_{1}) E_{1} | = {\bar{V}}_{- ϕ} {(K, E_{1})}^{n} | E_{1} | \leq {\bar{V}}_{- ϕ} {(K, {(\frac{ω_{n}}{| E |})}^{\frac{1}{n}} E)}^{n} | E_{1} | \\ = \frac{| E |}{ω_{n}} {\bar{V}}_{- ϕ} {(K, E)}^{n} | E_{1} | = | E | {\bar{V}}_{- ϕ} {(K, E)}^{n} \leq | E | . \end{matrix}$

因此 $| {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E_{1}) E_{1} | \leq | E |$ ，即

$\frac{ω_{n}}{| {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E_{1}) E_{1} |} \geq \frac{ω_{n}}{| E |},$

这说明 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, E_{1}) E_{1}$ 是 $S_{- ϕ}$ 的解。证毕。

著名的Blaschke选择定理表明，如果 ${K_{i}}$ 是一族满足条件

$r B_{2}^{n} \subseteq K_{i} \subseteq R B_{2}^{n}$

的凸体，其中r和R为两个给定的常数且 $0 < r < R < \infty$ ，那么 ${K_{i}}$ 一定有一个收敛到某一凸体K的子列 ${K_{i_{k}}}$ 。

假设X是 $ℝ^{n}$ 中的一个有界集，定义它的通径(diameter)为

$diam (X) = sup {| x - y | : x, y \in X},$

其中 $| x - y |$ 表示x和y之间的由欧氏范数诱导出的欧氏距离。

引理4.1：若 $ϕ \in C, K \in K_{o}^{n}$ ，那么 $S_{- ϕ}$ 和 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 的解存在。

证明：设 $K \in K_{o}^{n}$ ，则K满足 $r_{K} B_{2}^{n} \subseteq K \subseteq R_{K} B_{2}^{n}$ 。则由(2)式知 $r_{K} \leq ρ_{K} (u) \leq R_{K}$ 。设 ${E_{i}} \subset E^{n}$ 是一族非退化的原点对称椭球，根据Blaschke选择定理，我们只需证明存在常数 $M \geq \frac{2 r_{K}}{c_{ϕ}} > 0$ 使得 $\frac{2 r_{K}}{c_{ϕ}} B_{2}^{n} \subseteq E_{i} \subseteq M B_{2}^{n}$ ，其中 $c_{ϕ}$ 满足 $ϕ (c_{ϕ}) = 1$ 。根据凸体的通径定义和径向函数的定义，易知对于所有的 $u \in S^{n - 1}$ ，有

$ρ_{E_{i}} (u) \leq \frac{1}{2} diam (E_{i}) .$

设 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, E_{i}) = λ_{i}$ 。由(11)式， $ϕ$ 的单调递增性，Jensen不等式以及星体的极坐标体积公式(8)，得到

$\begin{array}{l} ϕ (c_{ϕ}) = 1 = \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u)}{λ_{i} ρ_{E_{i}} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) \\ \geq \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{2 r_{K}}{λ_{i} diam (E_{i})}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) \\ \geq (\frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} \frac{2 r_{K} ρ_{K}^{n} (u)}{λ_{i} diam (E_{i})} d S (u)) \\ = ϕ (\frac{2 r_{K}}{λ_{i} diam (E_{i})}), \end{array}$

这个不等式意味着

$diam (E_{i}) \geq \frac{2 r_{K}}{λ_{i} c_{ϕ}} = \frac{2 r_{K}}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, E_{i}) c_{ϕ}},$

因此，由 $S_{- ϕ}$ 的约束条件 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, E_{i}) \leq 1$ ，可得

$diam (E_{i}) \geq \frac{2 r_{K}}{c_{ϕ}},$

即

$E_{i} \supseteq \frac{2 r_{K}}{c_{ϕ}} B_{2}^{n}, i = 1, 2, \dots .$

另一方面，设 $ε = {{E^{'}}_{i} : | {E^{'}}_{i} | = ω_{n}, {E^{'}}_{i} \in E^{n}} \subseteq E^{n} \subset (K_{o}^{n}, δ)$ ，则 $ε$ 是度量空间 $(K_{o}^{n}, δ)$ 中的紧集。因此存在通用常数 $R_{E}$ 使得对于任意 ${E^{'}}_{i} \in ε$ 有 ${E^{'}}_{i} \subseteq R_{E} B_{2}^{n}$ 。令 $E_{i} = {\bar{V}}_{- ϕ} (K, {E^{'}}_{i}) {E^{'}}_{i}$ ，显然 $E_{i}$ 满足 $S_{- ϕ}$ 的约束条件，且

$E_{i} \subseteq {\bar{V}}_{- ϕ} (K, {E^{'}}_{i}) R_{E} B_{2}^{n} .$

固定 $K \in K_{o}^{n}$ 。由引理3.3知 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, {E^{'}}_{i})$ 是紧集 $ε$ 上的连续泛函，故存在正数 $M_{0} > 0$ 使得对于任意 ${E^{'}}_{i} \in ε$ 有 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, {E^{'}}_{i}) \leq M_{0}$ 。由此，并结合上式即得

$E_{i} \subseteq M B_{2}^{n},$

这里 $M = M_{0} R_{E}$ 。

这样，满足 $S_{- ϕ}$ 的椭球序列 ${E_{i}}$ 的通径是一致有界的，因而有下确界，那么 $S_{- ϕ}$ 的存在性可由Blaschke选择定理保证。由于 $S_{- ϕ}$ 和 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 的解只差一个有限的标量因子，因此 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 的解的存在性也能保证。

由于 $S_{- ϕ}$ 和 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 的解的存在性已经建立，那么现在只需证明解的唯一性和其特征表示。注意 $S_{- ϕ}$ 和 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 的解只差一个标量因子，所以我们只需证明 $S_{- ϕ}$ 的解情形。

由引理3.5中 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, L)$ 的仿射性质，我们可以假设K的 $S_{- ϕ}$ 的解的椭球为欧氏单位球 $B_{2}^{n}$ ，那么极值问题 $S_{- ϕ}$ 可描述为：对于 $T \in GL (n), \det (T) \geq 1$ ，使得

${\bar{V}}_{- ϕ} (K, T B_{2}^{n}) \geq {\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n}) .$ (17)

这个又等价于

$\begin{array}{l} \frac{1}{| K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n}) ρ_{T B_{2}^{n}} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) \\ \geq \frac{1}{| K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n}) ρ_{B_{2}^{n}} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) . \end{array}$ (18)

事实上，由引理3.1知，(17)式藴涵着 $T B_{2}^{n} \subseteq B_{2}^{n}$ ，即 $ρ_{T B_{2}^{n}} (u) \leq ρ_{B_{2}^{n}} (u)$ 。由此和 $ϕ$ 在区间 $(0, \infty)$ 上的单调递增性，我们立即知道(18)式成立。

为了建立 $S_{- ϕ}$ 极值问题的特征性质，我们需要引进一些定义和记号。若T是一非奇异的 $n \times n$ 矩阵，那么T能表示成 $T = R A$ ，其中R是对称正定矩阵，A是正交矩阵 [3]。于是我们可把一个 $n \times n$ 对称矩阵 $T = {(a_{i j})}_{n \times n}$ 看成是点

${(a_{11}, \dots, a_{1 n}, a_{22}, \dots, a_{2 n}, \dots, a_{n n})}^{t} \in ℝ^{\frac{1}{2} n (n + 1)} .$

这样所有 $n \times n$ 对称正定矩阵可表示成一开凸锥 $P \subset ℝ^{\frac{1}{2} n (n + 1)}$ ，其顶点在 $ℝ^{\frac{1}{2} n (n + 1)}$ 的原点O。由于 $ℝ^{n}$ 中的非奇异线性变换可看成一非奇异的 $n \times n$ 矩阵，那么由上面的论述可知，在正交变换下， $S_{- ϕ}$ 极值问题可以建立在 $P$ 上。设 $ϕ \in C$ 和 $K \in K_{o}^{n}$ ，考虑到(18)式，我们定义泛函 $F : P \to ℝ$ 为

$F (K, A B_{2}^{n}) = \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u) | A u |}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u)$

对于任意 $A \in P$ 。引理3.3和 $ϕ \in C$ 说明泛函F是连续的。显然 $F (K, B_{2}^{n}) = 1$ 。

引理4.2：若 $ϕ \in C$ 以及 $K \in K_{o}^{n}$ ，那么

$F = F (A) = {A \in P : F (K, A B_{2}^{n}) \leq F (K, B_{2}^{n})}$

是一闭凸区域，且在边界点 $I_{n}$ 的邻域内光滑。而且

$\frac{1}{n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})} \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (u)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}) ρ_{K}^{n + 1} (u) u \otimes u d S (u) \neq O$

是 $F$ 在 $I_{n}$ 的外法向量。

证明：F的定义和 $ϕ$ 的严格单调性意味着F在 $P$ 中通过顶点O的每一条射线 ${t A : t \geq 0}$ 上是由0到 $\infty$ 严格递增的，又由F的连续性可得 $F$ 是 $P$ 中的一闭区域。

为了证明区域 $F$ 是凸的和光滑的，只需证明函数F是凸的和光滑的。

事实上，设 $A, B \in P, 0 \leq α \leq 1$ ，那么由 $ϕ \in C$ 的单调性和凸性，我们有

$\begin{array}{l} F (K, ((1 - α) A + α B) B_{2}^{n}) \\ = \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u) | ((1 - α) A + α B) u |}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) \\ \leq \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u) ((1 - α) | A u | + α | B u |)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) \\ \leq \frac{1 - α}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u) | A u |}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) + \frac{α}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u) | B u |}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) \\ = (1 - α) F (K, A B_{2}^{n}) + α F (K, B B_{2}^{n}) . \end{array}$

则F在 $P$ 中是凸的。

由于F是凸的，为了证明F是光滑的，只需证明对任意 $A \in P$ ，F关于A的表值 $a_{i k}$ 的偏导数存在 [31]。假设 $h \in ℝ$ 是一有界数，令矩阵 $A (h)$ 和A具有相同的表值，除了 $a_{i k} + h$ 代换 $a_{i k}$ 。那么由Cauchy-Schwarz不等式，对任意 $u \in S^{n - 1}$ 有

$| | A (h) u | - | A u | | \leq | A (h) u - A u | \leq | A (h) - A | | u | \leq | h | .$

再由 $ϕ \in C$ 的凸性， $ϕ (0) = 0$ ， ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})$ 和 $ρ_{K} (u)$ 的有界性，可得函数

$ϕ (\frac{ρ_{K} (u) | A (\cdot) u |}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}) : ℝ \to [0, \infty)$

在 $ℝ$ 的每一个有界集上是Lipschitz的。因此，

$\frac{ϕ (\frac{ρ_{K} (u) | A (h) u |}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}) - ϕ (\frac{ρ_{K} (u) | A u |}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})})}{h}$ (19)

在 $S^{n - 1}$ 上有界。

由于 $ϕ$ 是凸的，那么它在 $t \in [0, \infty)$ 几乎处处可微 [30] [31]。又因为A是一非奇异矩阵，则 $ϕ$ 在 $t = \frac{ρ_{K} (u) | A u |}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}$ 几乎处处对所有的 $u \in S^{n - 1}$ 可微。基本的计算可得，对几乎所有的 $u \in S^{n - 1}$ ，

$\begin{array}{l} \lim_{h \to \infty} \frac{ϕ (\frac{ρ_{K} (u) | A (h) u |}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}) - ϕ (\frac{ρ_{K} (u) | A u |}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})})}{h} \\ = \frac{ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (u) | A u |}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}) ((\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} u_{j}) u_{k} + (\sum_{j = 1}^{n} a_{k j} u_{j}) u_{i})}{| A u | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n}) ρ_{K}^{- 1} (u)} . \end{array}$ (20)

由(19)式，(20)式和Lebesgue有界收敛定理，我们得到F关于 $a_{i k} (= a_{k i})$ 的偏导数表达式：

$\frac{\partial F (K, A B_{2}^{n})}{\partial a_{i k}} = \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} \frac{ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (u) | A u |}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}) ((\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} u_{j}) u_{k} + (\sum_{j = 1}^{n} a_{k j} u_{j}) u_{i})}{| A u | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})} ρ_{K}^{n + 1} (u) d S (u),$

对于 $A \in P$ 。

这样，F关于 $a_{i k}$ 的所有偏导数存在。由于F是凸的，则F是光滑的。令 $A = I_{n}$ ，那么F关于 $I_{n}$ 的梯度可写成：

$\nabla F (K, I_{n} B_{2}^{n}) = \frac{1}{n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})} \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (u)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}) ρ_{K}^{n + 1} (u) u \otimes u d S (u) .$ (21)

显然 $\nabla F (K, I_{n} B_{2}^{n}) \neq O$ 。由于 $F$ 是闭凸的光滑区域，再结合隐函数存在定理我们便得到所需要的结果。

由(18)式和F的定义，我们可以把优化问题 $S_{- ϕ}$ 转化为如下极值问题：函数F达到最小值当且仅当 $A = I_{n}$ ，也就是说， $B_{2}^{n}$ 是F的最小值位置。

优化问题 $S_{- ϕ}$ 的解的唯一性和特征表示可建立如下：

引理4.3：若 $ϕ \in C$ 以及 $K \in K_{o}^{n}$ ，那么在正交变换下， $B_{2}^{n}$ 是F的关于保体积线性变换的唯一的最小值位置。而且， $B_{2}^{n}$ 是F的最小值位置当且仅当

$I_{n} = \frac{β}{n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})} \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (u)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}) ρ_{K}^{n + 1} (u) u \otimes u d S (u)$ (22)

对于适当的 $β > 0$ 。

证明：设

$D = {A \in P : \det (A) \geq 1} .$

那么集合 $D$ 是 $P$ 中闭的、光滑的且具有非空内部的凸集。而且 $I_{n}$ 是 $D$ 在边界点 $I_{n}$ 的内法向量 [1] [2]。由引理4.2，区域

$F = {A \in P : F (K, A B_{2}^{n}) \leq F (K, B_{2}^{n})}$

是凸的且在 $I_{n}$ 的邻域内光滑。因此，我们断言区域 $D$ 和 $F$ 在它们的公共边界点 $I_{n}$ 相切。如果断言不成立，那么区域 $D$ 和 $F$ 将有重叠，于是存在一 $n \times n$ 矩阵。由 $B_{2}^{n}$ 是F的最小值位置假设，我们得到

$F (K, B_{2}^{n}) > F (K, A^{'} B_{2}^{n}) \geq F (K, B_{2}^{n}),$

这便产生了矛盾。于是区域 $D$ 和 $F$ 在它们的公共边界点 $I_{n}$ 相切，这也意味着 $B_{2}^{n}$ 是F的唯一的最小值位置。

如果 $B_{2}^{n}$ 是F的最小值位置，那么区域 $D$ 和 $F$ 在它们的公共边界点 $I_{n}$ 相切。这样， $F$ 在 $I_{n}$ 的外法向量 $\nabla F (K, I_{n} B_{2}^{n})$ 是 $D$ 在 $I_{n}$ 的内法向量的倍数。因此由(21)可得

$I_{n} = \frac{β}{n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})} \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (u)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})}) ρ_{K}^{n + 1} (u) u \otimes u d S (u)$

对于适当的 $β > 0$ 。

另一方面，由于 $I_{n}$ 是区域 $D$ 和 $F$ 的公共边界点，由(21)式和(22)式， $F$ 在 $I_{n}$ 的外法向量和 $D$ 在 $I_{n}$ 的内法向量指向相同，那么区域 $D$ 和 $F$ 有公共边界点 $I_{n}$ ，这也意味着 $B_{2}^{n}$ 是F的最小值位置。

定理1.1的证明： ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 的解的存在性和唯一性已经在引理4.1和引理4.3中建立，下面只需证明(1)式和(22)式的等价性。注意到(13)式和(14)式，我们可限制线性变换 $T \in GL (n)$ 为 $T \in SL (n)$ 。

由引理3.5，存在 $T \in SL (n)$ 使得

${\bar{V}}_{- ϕ} (K, E) = {\bar{V}}_{- ϕ} (K, T B_{2}^{n}) = {\bar{V}}_{- ϕ} (T^{- 1} K, B_{2}^{n}) .$

设(22)成立，则由(22)式可知 $E \in E^{n}$ 是 $F (K, E)$ 的最小值位置当且仅当

$I_{n} = \frac{β}{n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (T^{- 1} K, B_{2}^{n})} \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{T^{- 1} K} (v)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (T^{= 1} K, B_{2}^{n})}) ρ_{T^{- 1} K}^{n + 1} (v) v \otimes v d S (v)$

对于适当的 $β > 0$ ，这意味着对任意 $x \in ℝ^{n}$ ，

${| x |}^{2} = \frac{β}{n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)} \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (T v)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)}) ρ_{T^{- 1} K}^{n + 1} (v) {〈 x, v 〉}^{2} d S (v) .$ (23)

令 $〈 T v 〉 = \frac{T v}{| T v |} = u$ ，则 $u \in S^{n - 1}$ 。注意到 $\det (T^{- 1}) = 1, {(T K)}^{\circ} = T^{- t} K^{\circ}$ 和

$| T^{- 1} u | = h_{B_{2}^{n}} (T^{- 1} u) = h_{T^{- t} B_{2}^{n}} (u) = h_{{(T B_{2}^{n})}^{\circ}} (u) = h_{E^{\circ}} (u) = \frac{1}{ρ_{E} (u)},$ (24)

可得

$\begin{array}{l} n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E) {| x |}^{2} \\ = β \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (T v)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)}) ρ_{K}^{n + 1} (T v) {〈 x, v 〉}^{2} d S (v) \\ = β \det (T^{- 1}) \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{| T^{- 1} 〈 T v 〉 | ρ_{K} (〈 T v 〉)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)}) \frac{ρ_{K}^{n + 1} (〈 T v 〉)}{| T^{- 1} 〈 T v 〉 |} {〈 x, T^{- 1} 〈 T v 〉 〉}^{2} d S (〈 T v 〉) \\ = β \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{| T^{- 1} u | ρ_{K} (u)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)}) \frac{ρ_{K}^{n + 1} (u)}{| T^{- 1} u |} {〈 T^{- t} x, u 〉}^{2} d S (u) \\ = β \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (u)}{ρ_{E} (u) {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)}) ρ_{E} (u) ρ_{K}^{n + 1} (u) {〈 T^{- t} x, u 〉}^{2} d S (u) . \end{array}$

由此可知对任意的 $x \in ℝ^{n}$ ，

$n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E) {| T^{t} x |}^{2} = β \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (u)}{ρ_{E} (u) {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)}) ρ_{E} (u) ρ_{K}^{n + 1} (u) {〈 x, u 〉}^{2} d S (u) .$ (25)

由于 $| T^{t} x | = h_{T B_{2}^{n}} (x) = h_{E} (x)$ ，于是，由(25)式可知对任意的 $x \in ℝ^{n}$ ，有

$h_{E}^{2} (x) = \frac{β}{n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)} \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (u)}{ρ_{E} (u) {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)}) ρ_{E} (u) ρ_{K}^{n + 1} (u) {〈 x, u 〉}^{2} d S (u),$

即(1)式成立。

反之，若(1)式成立，从而(25)式亦成立，即对任意的 $x \in ℝ^{n}$ ，

${| T^{t} x |}^{2} = \frac{β}{n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)} \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (u)}{ρ_{E} (u) {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)}) ρ_{E} (u) ρ_{K}^{n + 1} (u) {〈 x, u 〉}^{2} d S (u) .$

令 $v = \frac{T^{- 1} u}{| T^{- 1} u |} = 〈 T^{- 1} u 〉 \in S^{n - 1}$ 。利用(24)并注意到 $\det (T) = 1$ ，可得

$\begin{array}{l} {| T^{t} x |}^{2} = \frac{β}{n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)} \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{| T^{- 1} u | ρ_{K} (u)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)}) \frac{ρ_{K}^{n + 1} (u)}{| T^{- 1} u |} {〈 x, u 〉}^{2} d S (u) \\ = \frac{β}{n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)} \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (T 〈 T^{- 1} u 〉)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)}) ρ_{K}^{n + 1} (T 〈 T^{- 1} u 〉) {〈 x, T 〈 T^{- 1} u 〉 〉}^{2} det (T) d S (〈 T^{- 1} u 〉) \\ = \frac{β}{n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)} \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (T v)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)}) ρ_{K}^{n + 1} (T v) {〈 x, T v 〉}^{2} det (T) d S (v) . \end{array}$

这个等价于对任意的 $x \in ℝ^{n}$ ，

${| x |}^{2} = \frac{β}{n | K | {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)} \int_{S^{n - 1}} ϕ^{'} (\frac{ρ_{K} (T v)}{{\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)}) ρ_{K}^{n + 1} (T v) {〈 x, v 〉}^{2} det (T) d S (v),$

即(23)式和(22)式同时成立。这就完成了定理1.1的证明。

5. 对偶Orlicz John椭球的一些性质

由(13)式，(14)式和对偶Orlicz John椭球的定义，我们立即可得到下面的结果。

引理5.1：若 $ϕ \in C, K \in K_{o}^{n}$ ，那么对于 $T \in GL (n)$ ，

$E_{- ϕ} T K = T E_{- ϕ} K .$

显然， $E_{- ϕ} B_{2}^{n} = B_{2}^{n}$ 。由引理5.1，我们可看到如果E是原点对称椭球，那么 $E_{- ϕ} E = E$ 。

引理5.2：设 $ϕ \in C, ϕ (c_{ϕ}) = 1$ ，且 $K \in K_{o}^{n}$ 使得 $a B_{2}^{n} \subseteq K \subseteq b B_{2}^{n}$ ，其中 $0 < a < b < \infty$ 是满足条件的最佳实数。那么

${\bar{E}}_{- ϕ} K \supseteq \frac{2 a}{b} B_{2}^{n} .$

证明：设 $diam ({\bar{E}}_{- ϕ} K)$ 是椭球 ${\bar{E}}_{- ϕ} K$ 的通径， ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, {\bar{E}}_{- ϕ} K) = λ$ 。注意到对于所有的 $u \in S^{n - 1}$ ，

$ρ_{{\bar{E}}_{- ϕ} K} (u) \leq \frac{1}{2} diam ({\bar{E}}_{- ϕ} K), ρ_{K} (u) \geq a,$

因此，由规范化的对偶Orlicz John椭球的定义， $ϕ$ 的凸性和体积的极坐标公式(8)，可得

$\begin{matrix} ϕ (c_{ϕ}) = 1 = \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u)}{λ ρ_{{\bar{E}}_{- ϕ} K} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) \\ \geq \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{2 a}{λ diam ({\bar{E}}_{- ϕ} K)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) \\ \geq ϕ (\frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} \frac{2 a}{λ diam ({\bar{E}}_{- ϕ} K)} \times ρ_{K}^{n} (u) d S (u)) \\ = ϕ (\frac{2 a}{λ diam ({\bar{E}}_{- ϕ} K) n | K |} \int_{S^{n - 1}} ρ_{K}^{n} (u) d S (u)) \\ = ϕ (\frac{2 a}{λ diam ({\bar{E}}_{- ϕ} K)}) = ϕ (\frac{2 a}{diam ({\bar{E}}_{- ϕ} K) {\bar{V}}_{- ϕ} (K, {\bar{E}}_{- ϕ} K)}), \end{matrix}$

这意味着

$diam ({\bar{E}}_{- ϕ} K) \geq \frac{2 a}{c_{ϕ} {\bar{V}}_{- ϕ} (K, {\bar{E}}_{- ϕ} K)} .$

由椭球 ${\bar{E}}_{- ϕ} K$ 的定义和上式，可得

$diam ({\bar{E}}_{- ϕ} K) \geq \frac{2 a}{c_{ϕ} {\bar{V}}_{- ϕ} (K, {\bar{E}}_{- ϕ} K)} \geq \frac{2 a}{c_{ϕ} {\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})} .$ (26)

现在我们来估计 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n})$ 在 $a B_{2}^{n} \subseteq K \subseteq b B_{2}^{n}$ 条件下的值。令 ${\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n}) = λ_{0}$ ，那么

$\begin{array}{l} ϕ (c_{ϕ}) = 1 = \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{ρ_{K} (u)}{λ_{0} ρ_{B_{2}^{n}} (u)}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) \\ \leq \frac{1}{n | K |} \int_{S^{n - 1}} ϕ (\frac{b}{λ_{0}}) ρ_{K}^{n} (u) d S (u) = ϕ (\frac{b}{λ_{0}}) . \end{array}$

即

${\bar{V}}_{- ϕ} (K, B_{2}^{n}) = λ_{0} \leq \frac{b}{c_{ϕ}} .$ (27)

(26)式和(27)式结合，即得

$diam ({\bar{E}}_{- ϕ} K) \geq \frac{2 a}{b} \Rightarrow {\bar{E}}_{- ϕ} K \supseteq \frac{2 a}{b} B_{2}^{n} .$

引理5.2得证。

我们知道 ${\bar{E}}_{- ϕ} K$ 是唯一满足

${\bar{V}}_{- ϕ} (K, {\bar{E}}_{- ϕ} K) = \min_{| E | = ω} {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E)$ (28)

的椭球，那么我们可以建立对偶Orlicz John椭球关于 $ϕ$ 的连续性。

引理5.3：若 $ϕ_{i}, ϕ \in C$ 以及 $K \in K_{o}^{n}$ ，那么

$\lim_{ϕ_{i} \to ϕ} {\bar{V}}_{- ϕ_{i}} (K, {\bar{E}}_{- ϕ_{i}} K) = {\bar{V}}_{- ϕ} (K, {\bar{E}}_{- ϕ} K) .$

证明：运用(28)式，引理3.3和引理3.4，我们得到

$\begin{array}{l} \lim_{ϕ_{i} \to ϕ} {\bar{V}}_{- ϕ_{i}} (K, {\bar{E}}_{- ϕ_{i}} K) = \lim_{ϕ_{i} \to ϕ} \min_{| E | = ω} {\bar{V}}_{- ϕ_{i}} (K, E) \\ = \min_{| E | = ω} \lim_{ϕ_{i} \to ϕ} {\bar{V}}_{- ϕ_{i}} (K, E) \\ = \min_{| E | = ω} {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E) = {\bar{V}}_{- ϕ} (K, {\bar{E}}_{- ϕ} K) . \end{array}$

定理5.1：若 $ϕ_{i}, ϕ \in C$ 以及 $K \in K_{o}^{n}$ ，那么

$\lim_{ϕ_{i} \to ϕ} E_{- ϕ_{i}} K = E_{- ϕ} K, \lim_{ϕ_{i} \to ϕ} {\bar{E}}_{- ϕ_{i}} K = {\bar{E}}_{- ϕ} K .$

证明：根据引理1.1，我们只需证明第二个等式，而第一个等式由

$E_{- ϕ} K = {\bar{V}}_{- ϕ} (K, {\bar{E}}_{- ϕ} K) {\bar{E}}_{- ϕ} K$

便可得到。运用反证法，假设第二个等式不成立，那么由引理5.2，Blaschke选择定理和我们的假设，可知

$ϕ_{i} \to ϕ \Rightarrow {\bar{E}}_{- ϕ_{i}} K \to E^{'} \neq {\bar{E}}_{- ϕ} K .$

由于 ${\bar{S}}_{- ϕ}$ 的解是唯一的，由引理3.4可得

${\bar{V}}_{- ϕ} (K, {\bar{E}}_{- ϕ} K) < {\bar{V}}_{- ϕ} (K, E^{'}) = \lim_{ϕ_{i} \to ϕ} {\bar{V}}_{- ϕ} (K, {\bar{E}}_{- ϕ_{i}} K) = \lim_{ϕ_{i} \to ϕ} {\bar{V}}_{- ϕ_{i}} (K, {\bar{E}}_{- ϕ_{i}} K),$

这与引理5.3相矛盾。

由(12)式和对偶Orlicz John椭球的定义，我们立即得到如下定理。

定理5.2：如果 $K \in K_{o}^{n}$ 以及 $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ 使得 $ϕ_{1} \leq ϕ_{2}$ ，那么

$| E_{- ϕ_{1}} K | \geq | E_{- ϕ_{2}} K | .$

$E_{- ϕ} K$ 和K的体积关系可以叙述如下：

定理5.3：设 $ϕ \in C, ϕ (c_{ϕ}) = 1$ 以及 $K \in K_{o}^{n}$ ，那么

$| c_{ϕ} E_{- ϕ} K | \geq | K |,$ (29)

等号成立当且仅当K是一个中心在原点的椭球。

证明：由 $E_{- ϕ} K$ 的定义和对偶Orlicz-Minkowski不等式(15)，我们有

$1 \geq {\bar{V}}_{- ϕ} {(K, E_{- ϕ} K)}^{n} \geq c_{ϕ}^{- n} | K | {| E_{- ϕ} K |}^{- 1},$

也就是说

$| c_{ϕ} E_{- ϕ} K | \geq | K | .$

等号成立的条件由对偶Orlicz-Minkowski不等式等号成立的条件以及对于任意 $u \in S^{n - 1}$ ，

$\frac{ρ_{K} (u)}{ρ_{E_{- ϕ} K} (u)} = c_{ϕ}$

得到。即不等式(29)等号成立当且仅当K是一个中心在原点的椭球。

注意到如果 $ϕ (t) = {| t |}^{p}, p \geq 1$ ，那么 $c_{ϕ} = 1$ ， $E_{- ϕ} K$ 就是对偶Lp-John椭球 ${\tilde{E}}_{p} K$ ，于是不等式(29)变成熟知的不等式 [6]：

$| {\tilde{E}}_{p} K | \geq | K |,$

等号成立当且仅当K是一个中心在原点的椭球。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(批准号：11561020)。

文章引用

马统一. 对偶Orlicz-John椭球的再讨论
Further Discussion of Dual Orlicz-John Ellipsoids[J]. 应用数学进展, 2018, 07(11): 1458-1476. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.711170

参考文献

1. Lutwak, E., Yang, D. and Zhang, G. (2005) Lp-John Ellipsoids. Proceedings of the London Mathematical Society, 90, 497-520. https://doi.org/10.1112/S0024611504014996

2. Giannopoulos, A. and Papadimitrakis, M. (1999) Iso-tropic Surface Area Measures. Mathematika, 46, 1-13. https://doi.org/10.1112/S0025579300007518

3. Petty, C.M. (1961) Surface Area of a Convex Body under Af-fine Transformations. Proceedings of the American Mathematical Society, 12, 824-828. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1961-0130618-0

4. Lutwak, E., Yang, D. and Zhang, G. (2000) A New Ellipsoid Associated with Convex Bodies. Duke Mathematical Journal, 104, 375-390. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-00-10432-2

5. Lutwak, E. (1993) The Brunn-Minkowski-Firey Theory I: Mixed Volumes and the Minkowski Problem. Journal of Differential Geometry, 38, 131-150. https://doi.org/10.4310/jdg/1214454097

6. Yu, W., Leng, G. and Wu, D. (2007) Dual Lp-John Ellipsoids. Pro-ceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 50, 737-753.

7. Lutwak, E. (1996) The Brunn-Minkowski-Firey Theory II: Affine and Geominimal Surface Areas. Advances in Mathematics, 118, 244-294. https://doi.org/10.1006/aima.1996.0022

8. Lutwak, E., Yang, D. and Zhang, G. (2010) Orlicz Projection Bodies. Advances in Mathematics, 223, 220-242. https://doi.org/10.1016/j.aim.2009.08.002

9. Lutwak, E., Yang, D. and Zhang, G. (2010) Orlicz Centroid Bodies. Journal of Differential Geometry, 84, 365-387. https://doi.org/10.4310/jdg/1274707317

10. Ludwig, M. (2005) Minkowski Valuations. Transactions of the American Mathematical Society, 357, 4191-4213. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03666-9

11. Haberl, C. and Schuater, F. (2009) Asymmetric Affine Lp Sobolev Inequalities. Journal of Functional Analysis, 257, 641-658. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2009.04.009

12. Haberl, C. and Schuater, F. (2009) General Lp Affine Isoperimetric Inequalities. Journal of Differential Geometry, 83, 1-26. https://doi.org/10.4310/jdg/1253804349

13. Haberl, C., Lutwak, E., Yang, D., et al. (2010) The Even Orlicz Minkowski Problem. Advances in Mathematics, 224, 2485-2510. https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.02.006

14. Ma, T. and Wang, W. (2016) Dual Orlicz Geominimal Surface Area. Journal of Inequalities and Applications, 56, 1-13. https://doi.org/10.1186/s13660-016-1005-4

15. Ma, T. (2018) On the Reverse Orlicz Blaschke-Santal’o Inequality. Mediterranean Journal of Mathematics, 32, 1-11.

16. Ma, T. (2016) The Minimal Dual Orlicz Surface Area. Taiwanese Journal of Mathematics, 20, 287-309.

17. Gardner, R.J., Hu, D. and Weil, W. (2014) The Or-licz-Brunn-Minkowski Theory: A General Framework, Additions, and Inequalities. Journal of Differential Geometry, 97, 427-476. https://doi.org/10.4310/jdg/1406033976

18. Xi, D., Jin, H. and Leng, G. (2014) The Orlicz Brunn-Minkowski Inequality. Advances in Mathematics, 260, 350-374. https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.02.036

19. Xiong, G. and Zou, D. (2014) Orlicz Mixed Quermassintegrals. Science China Mathematics, 57, 1-14. https://doi.org/10.1007/s11425-014-4812-4

20. Zou, D. and Xiong, G. (2014) The Minimal Orlicz Surface Area. Advances in Applied Mathematics, 61, 25-45. https://doi.org/10.1016/j.aam.2014.08.006

21. Zhu, G. (2012) The Orlicz Centroid Inequality for Star Bodies. Advances in Applied Mathematics, 48, 432-445. https://doi.org/10.1016/j.aam.2011.11.001

22. Zhu, B., Zhou, J. and Xu, W. (2014) Dual Or-licz-Brunn-Minkowski Theory. Advances in Mathematics, 264, 700-725. https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.07.019

23. Lin, Y. (2017) Affine Orlicz Póya-Szegö Principle for Log-Concave Functions. Journal of Functional Analysis, 273, 3295-3326. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2017.08.017

24. Zou, D. and Xiong, G. (2014) Orlicz-John Ellipsoids. Advances in Mathematics, 265, 132-168. https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.07.034

25. Zou, D. and Xiong, G. (2014) Orlicz-Legendre Ellipsoids. Journal of Geometric Analysis, 26, 1-29.

26. Li, A. (2010) Extremal Problems in Theory of Convex Geometrical Functional Analysis. Doctoral Dissertation, Shanghai University, Shanghai.

27. Gruber, P.M. and Schuster, F. (2005) An Arithmetic Proof of John’s Ellipsoid Theorem. Archiv der Mathematik, 85, 82-88. https://doi.org/10.1007/s00013-005-1326-x

28. Gruber, P.M. (2008) Application of an Idea of Voronoi to John Type Problems. Advances in Mathematics, 218, 309-351. https://doi.org/10.1016/j.aim.2007.12.005

29. Gardner, R.J., Daniel, H., Wolfgang, W., et al. (2015) The Dual Orlicz-Brunn-Minkowski Theory. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 430, 810-829. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2015.05.016

30. Gruber, P.M. (2007) Convex and Discrete Geometry. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 336, Springer, Ber-lin.

31. Schneider, R. (1993) Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Vol. 44, Cambridge University Press, Cambridge.

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