ABSTRACT

First, the system gives $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -expansion method, F-expansion method, $\left(exp\right)$ -expansion method, improved Kudryashov method, direct truncation method, to construct the literature review of the origin and research status of the exact solutions of partial differential equations. Next, the steps of constructing the exact solutions of the partial differential equations by the above five generalized function expansion methods are given in comparison. Finally, through the above five generalized $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -expansion method, $\left(exp\right)$ -expansion method in the function expansion method constructs the exact solution of the (2 + 1)-dimensional Boiti-Leon-Pempinelli equation. The control variable method is used to analyze the influence of three variables on the exact solution in the (2 + 1)-dimensional Boiti-Leon-Pempinelli equation.

Keywords:$\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -Expansion Method, F-Expansion Method, $\left(exp\right)$ -Expansion Method, Improved Kudryashov Method, Direct Truncation Method, (2 + 1) Dimension Boiti-Leon-Pempinelli Equation, Exact Solution, Mathematical Experiment

几种广义的函数展开法在构建偏微分方程 精确解中的文献综述与应用 $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -展开法、 $\left(exp\right)$ -展开法构建(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程精确解

吴大山，孙峪怀，杜玲禧

四川师范大学，数学科学学院，四川 成都

收稿日期：2019年10月8日；录用日期：2019年10月24日；发布日期：2019年10月31日

摘 要

首先，系统给出 $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -展开法、F-展开法、 $\left(exp\right)$ -展开法、改进的Kudryashov方法、直接截断法，构建偏微分方程的精确解的起源与研究现状的文献综述。接下来，采用对比方式给出上述五种广义的函数展开法在构建偏微分方程精确解的步骤。最后，通过上述五种广义的函数展开法中的 $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -展开法、 $\left(exp\right)$ -展开法构建(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程的精确解，并使用控制变量法进行数学实验分析了(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程中三个变量对于精确解的影响。

关键词 :$\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -展开法，F-展开法， $\left(exp\right)$ -展开法，改进的Kudryashov方法，直接截断法， (2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程，精确解，数学实验

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1. 引言

偏微分方程精确解可以很好的描述物理、工程等方面的各种模型，因此，偏微分方程精确解的构建问题一直都是热点问题，偏微分方程精确解的构建目前有很多方法。如，Bäcklund变换 [1] [2] [3] [4] [5]，Darboux变换 [6] [7] [8] [9] [10]，齐次平衡法 [11] [12] [13] [14] [15]，首次积分法 [16] [17] [18] [19] 以及各种广义的函数展开法。使用函数展开法构建偏微分方程精确解有几十种，本文以(2 + 1)维Boitl-Leon-Pempinelli

方程为例，比较分析 $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -展开法、F-展开法、 $\left(exp\right)$ -展开法、Kudryashov方法、直接截断法在构建偏微分方程精确解的异同。下面给出上述五种广义的函数展开法，构建偏微分方程的精确解的起源与研究现状的文献综述。

$\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -展开法，是Li Wen-An等借助Chun Quanbian在文献 [20] 提出的基础之上，在文献 [21] 提出的 $\left(\omega /g\right)$ -展开法而形成的，并用 $\frac{G^{\prime }}{G}$ -展开法构建出了Vakhncnko方程的精确解，其后在文献 [22] - [28] 中， $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -展开法被运用在求解各种方程的精确解中。

F-展开法，2003年由Y.B. Zhou等在文献 [29] 中首次提出并构建出了一个耦合Kdv方程的精确解，之后王明亮，斯仁道尔吉在文献 [30] [31] [32] 使用F-展开法KdV方程的精确解与广义Nizhnik-Novikov-Veselov方程组的精确解。

$\left(exp\right)$ -展开法，是由Ji-Huan He和Xu-Hong Wu在文献 [33] 首次提出，在文献 [34] [35] [36] [37]，分别使用 $\left(exp\right)$ -展开法构建出了Konno-Oono方程，(2 + 1)-维Sawada-Kotera(SK)方程与(3 + 1)-维非线性evolution方程的精确解。

Kudryashov方法，由Kudryashov NA于1988年在文献 [38] 中提出，之后Anonymous在文献中将其运用到构建偏微分方程的精确解中，之后文献 [39] [40] [41] 分别使用改进的Kudryashov方法构建出了high-order nonlinear Schrödinger方程，nonlinear transmission line方程与Fractional nonlinear evolution方程的一系列精确解。

直接截断法，由赵等人在文献 [42] [43] 提出，之后文献 [44] 提出了离散区间系统降阶的直接截断方法，董长紫，刘转玲等在文献 [45] [46] [47] 使用直接截断法构建出了Klein-Gordon方程，高次非线性薛定谔方程与Burgers方程的精确解。

对于如下(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程(1)：

$\{\begin{array}{l}{u}_{ty}-{\left(u^2-u_x\right)}_{xy}-2v_{xxx}=0,\hfill \\ v_t-v_{xx}-2u{v}_x=0.\hfill \end{array}$ (1)

在文献 [48] 通过Khater方法构建出了方程(1)大量三角函数解、双曲函数解，在文献 [49] 通过动力系统和数值模拟其不同拓扑结构的相图，通过计算复杂的椭圆积分，获得了方程(1)椭圆函数类型的周期波解，在文献 [50] 使用扩展映射方法构建出了方程(1)的精确解，在文献 [51] 使用 $\left(G^{\prime }/G\right)$ -展开法构建出了方程(1)的有理函数解、双曲函数解、三角函数解。在文献 [52] 使用Bäcklund变换，在文献 [53] 使用广义Riccati方程方法，在文献 [54] 使用扩展的tanh方法，在文献 [55] 使用了进一步扩展tanh的方法，获得了方程(1)的各类精确解。在文献 [56] [57] 分别使用改进的伯努利子方程函数法与对称约化法构建了方程(1)的大量精确解。

在接下来将具体描述 $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -展开法、F-展开法、 $\left(exp\right)$ -展开法、改进的Kudryashov方法、直接截断法、构建(2 + 1)维偏微分方程精确解的过程结果，同时使用 $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -展开法、 $\left(exp\right)$ -展开法构建(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程的精确解，并使用控制变量法进行数学实验分析了(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程中三个变量对于精确解的影响。

2. 方法描述

考虑含有三个个独立变量 $x,y,t$ 的时空分数阶偏微分方程如下：

$P\left(u,u_x.u_x,u_t,u_{xx},u_{xy},u_{xt},u_{yt},\cdots \right)=0,$ (2)

其中p是关于 $u=u\left(x,y,t\right)$ 及其偏导数的多项式。对上述方程(2)作如下的行波变换：

$u\left(x,y,t\right)=u\left(\xi \right),\xi =kx+my-\omega t,$ (3)

将(2)转化为常微分方程：

$U\left(u,u^{\prime },u^{″},\cdots \right)=0,$ (4)

其中 $\omega \ne 0$，$u^{\prime },u^{″}$ 为u关于 $\xi$ 的一阶导数，二阶导数。

2.1. $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -展开法构建偏微分方程精确解描述

步骤1：假设(4)有如下形式的解：

$u\left(\xi \right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{a}_i}{\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)}^i,$ (5)

其中 $G=G\left(\xi \right)$ 满足：

${\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)}^{\prime }=\varphi +\phi {\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)}^2,$ (6)

其中 $a_0,\cdots ,a_n,\varphi ,\phi$ 为待定常数， $\varphi \ne 1,\phi \ne 0,m$ 通过齐次平衡法确定。

步骤2：将(6)代入(5)，合并 $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ 的同类项，并令各项系数为零求解关于 $a_0,\cdots ,a_n,\varphi ,\phi ,k,c,\omega$ 的代数方程组， $a_i,\varphi ,\phi$ 为待定常数， $\varphi \ne 1,\phi \ne 0,\omega \ne 0$。

步骤3：结合(5)解关于代数方程组满足：

$\{\begin{array}{l}\frac{G^{\prime }}{G^2}=\sqrt{\frac{\varphi }{\phi }}\frac{c_1\cos \left(\sqrt{\varphi \phi }\xi \right)+c_2\sin \left(\sqrt{\varphi \phi }\xi \right)}{c_1\sin \left(\sqrt{\varphi \phi }\xi \right)-c_2\cos \left(\sqrt{\varphi \phi }\xi \right)},\varphi \phi >0;\hfill \\ \frac{G^{\prime }}{G^2}=\sqrt{\left|\frac{\varphi }{\phi }\right|}\frac{c_1\sinh \left(\sqrt{\left|\varphi \phi \right|}\xi \right)+c_2\cosh \left(\sqrt{\left|\varphi \phi \right|}\xi \right)}{c_1\cosh \left(\sqrt{\left|\varphi \phi \right|}\xi \right)+c_2\sinh \left(\sqrt{\left|\varphi \phi \right|}\xi \right)},\varphi \phi <0;\hfill \\ \frac{G^{\prime }}{G^2}=-\frac{c_1}{\phi \left(c_1\xi +c_2\right)},\varphi =0,\phi \ne 0,\hfill \end{array}$ (7)

其中 $c_1,c_2$ 是常数。

步骤4：将 $a_0,\cdots ,a_n$ 和 $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ 代入(7)得到(1)的精确解。

2.2. F-展开法构建偏微分方程精确解描述

步骤1：假设(4)有如下形式的解：

$u\left(\xi \right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{a}_k}{F}^K\left(\xi \right),a_n\ne 0,$ (8)

其中 $a_0,a_1,\cdots ,a_n$ 为常数， $a_n\ne 0$。 $F\left(\xi \right)$ 满足：

$\{\begin{array}{l}{F^{\prime }}^2\left(\xi \right)=q_0+q_1{F}^2\left(\xi \right)+q_2{F}^4\left(\xi \right),\\ F^{\prime }\left(\xi \right)F^{″}\left(\xi \right)=q_{1}F(\xi )F^{\prime }(\xi )+2q_2{F}^3\left(\xi \right)F^{\prime }\left(\xi \right),\\ F^{″}\left(\xi \right)=q_{1}F\left(\xi \right)+2q_2{F}^3\left(\xi \right),\\ F^{‴}\left(\xi \right)=q_1{F}^{\prime }\left(\xi \right)+6q_2{F}^2\left(\xi \right)F^{\prime }\left(\xi \right).\end{array}$ (9)

同时系数 $q_0,q_1,q_2$ 和 $F\left(\xi \right)$ 在 ${F^{\prime }}^2\left(\xi \right)=q_0+q_1{F}^2\left(\xi \right)+q_2{F}^4\left(\xi \right)$ 时满足表1 (参见文献 [29] )。

步骤二：将(8)代入(4)通过齐次平衡法确定n，借助(9)与表1得到关于 $F\left(\xi \right)$ 的代数多项式，令 $F\left(\xi \right)$ 的各次项系数为零，得到关于 $a_0,a_1,\cdots ,a_n,k,c,\omega$ 的代数方程组。

步骤三：解步骤三获得的代数方程组，使用 $a_0,a_1,\cdots ,a_n,k,c,\omega$ 解出 $q_0,q_1,q_2$，代入(8)就得到方程(1)的行波解。

2.3. (exp)-展开法构建偏微分方程精确解描述

步骤一：假设方程(4)有如下形式的解：

$u\left(\xi \right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{N}{\sum }}{a}_n}{\left(\exp \left(-\varphi \left(\xi \right)\right)\right)}^n$ (10)

其中， $a_n$ 是待定常数， $a_n\ne 0$。 $n$ 通过齐次平衡法确定。 $\varphi \left(\xi \right)$ 满足：

${\varphi }^{\prime }\left(\xi \right)=\exp \left(-\varphi \left(\xi \right)\right)+\mu \exp \left(\varphi \left(\xi \right)\right)+\lambda ,$ (11)

方程(11)有以下形式解：

$\varphi \left(\xi \right)=\{\begin{array}{l}\ln \left(\frac{-\sqrt{{\lambda }^2-4\mu }\tanh \left(\frac{\sqrt{{\lambda }^2-4\mu }}{2}\left(\xi +c\right)-\lambda \right)}{2\mu }\right),{\lambda }^2-4\mu >0,\mu \ne 0,\hfill \\ \ln \left(\frac{-\sqrt{4\mu -{\lambda }^2}\tanh \left(\frac{\sqrt{{\lambda }^2-4\mu }}{2}\left(\xi +c\right)-\lambda \right)}{2\mu }\right),{\lambda }^2-4\mu <0,\mu \ne 0,\hfill \\ \ln \left(\frac{\lambda }{\sinh \left(\lambda \left(\xi +c\right)\right)+\cosh \left(\lambda \left(\xi +c\right)\right)-1}\right),{\lambda }^2-4\mu >0,\mu \ne 0,\lambda \ne 0,\hfill \\ \ln \left(-\frac{2\left(\lambda \left(\epsilon +c\right)\right)+2}{{\lambda }^2\left(\xi +c\right)}\right),{\lambda }^2-4\mu >0,\mu =0,\lambda \ne 0,\hfill \\ \ln \left(\xi +c\right),{\lambda }^2-4\mu =0,\mu =0,\lambda =0,\hfill \end{array}$ (12)

步骤二：将(11)代入(10)合并 $\exp {\left(-\varphi \left(\xi \right)\right)}^n,\left(n=1,2,3,\cdots \right)$ 相同项的系数，并令相同项系数为零，得到关于 $a_1,a_2,\cdots ,k,c,\omega ,\mu ,\lambda$ 的代数方程组，并结合(12)可得方程(1)的精确解。

2.4. 改进的Kudryashov方法构建偏微分方程精确解描述

步骤一：假设方程(4)有如下形式的解：

$u\left(\xi \right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{N}{\sum }}{a}_k}{\left(\varphi \left(\xi \right)\right)}^n$ (13)

其中， $a_n$ 是待定常数， $a_n\ne 0$。 $n$ 通过齐次平衡法确定。

$\varphi \left(\xi \right)=\frac{1}{1+c\exp \left(\xi \right)},$ (14)

$\varphi \left(\xi \right)$ 满足：

${\varphi }^{\prime }\left(\xi \right)-{\varphi }^2\left(\xi \right)+\varphi \left(\xi \right)=0,$ (15)

方程(15)有以下解：

$\varphi \left(\xi \right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(1-\tanh \left(\frac{\xi }{2}-\frac{\xi \ln {\xi }_0}{2}\right)\right),{\xi }_0>0,\hfill \\ \frac{1}{2}\left(1-\coth \left(\frac{\xi }{2}-\frac{\xi \ln {\xi }_0}{2}\right)\right),{\xi }_0>0,\hfill \end{array}$ (16)

由(13)，(15)可得：

$\{\begin{array}{l}{u}^{\prime }\left(\xi \right)=n{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{N}{\sum }}{a}_n}{\left[\varphi \left(\xi \right)\right]}^n\left(\varphi \left(\xi \right)-1\right),\\ u^{″}\left(\xi \right)=n{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{N}{\sum }}{a}_n}{\left[\varphi \left(\xi \right)\right]}^n\left(\varphi \left(\xi \right)-1\right)\left[\left(1+n\right)\varphi \left(\xi \right)-n\right].\end{array}$ (17)

步骤二：将(16)，(14)和(13)代入(4)合并 ${\left(-\varphi \left(\xi \right)\right)}^n,n=1,2,3,\cdots$，相同项的系数，并令相同项系数为零，得到关于 $a_1,a_2,\cdots ,k,c,\omega ,\mu ,\lambda$ 的代数方程组，并结合(12)可得方程(1)的精确解。

2.5. 直接截断法构建偏微分方程精确解描述

步骤一：假设方程(4)有如下形式的解：

$u\left(x,t\right)=\varphi \left(\xi \right){\text{e}}^{i\left(k_{1}x-{\omega }_{1}t\right)},$ (18)

并且 $\varphi \left(\xi \right)$ 形式为：

$\varphi \left(\xi \right)=\frac{{\displaystyle \underset{i+j=0}{\overset{\tau }{\sum }}{a}_{ij}}{f}^i\left(\xi \right)g^{j\left(\xi \right)}}{{\left(qf\left(\xi \right)+rg\left(\xi \right)+p\right)}^{\tau }},$ (19)

其中 $k_1,{\omega }_1,a_{ij},p,q,r$ 为待定参数， $\tau$ 借助方程(4)由齐次平衡法确定。

$f\left(\xi \right),g\left(\xi \right)$ 满足以下椭圆函数条件：

$\{\begin{array}{l}f{\left(\xi \right)}^2+g{\left(\xi \right)}^2=1,\\ g\left(\xi \right)\sqrt{1-k^{2}f{\left(\xi \right)}^2}=f^{\prime }\left(\xi \right),\\ -f\left(\xi \right)\sqrt{1-k^{2}f{\left(\xi \right)}^2}=g^{\prime }\left(\xi \right).\end{array}$ (20)

步骤二：将(17)，(18)与(19)代入(4)可得关于 $f\left(\xi \right),g\left(\xi \right)$ 的多项式，令 $f^i\left(\xi \right)g^j\left(\xi \right)$ 的系数和常数项为零，得到一个代数方程组，求解关于参数 $k_1,{\omega }_1,a_{ij},p,q,r$ 的方程组。

步骤三：根据(17)，(18)得到方程(1)的精确解。

3. 应用两种广义的函数展开法构建构建(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程精确解

下面以上述五种方法中的 $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -展开法与 $\left(exp\right)$ -展开法为例，构建(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程(1)的精确解。首先将方程(1)进行如下的行波变换：

$u\left(x,y,t\right)=u\left(\epsilon \right),\nu \left(x,y,t\right)=\nu \left(\xi \right),\epsilon =x+y-\omega t,$ (21)

对方程(1)的第一个方程积分一次并取积分常数为零，代入方程(1)第二式得到常微分方程：

$u^{″}-2u^3-3\omega u^2-{\omega }^{2}u=0,$ (22)

其中 $\omega$ 为常数。平衡最非线性项 $u^3$ 和最高阶导数项 $u^{″}$，则有： $m+2=3m$，有 $m=1$。

3.1. $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -展开法构建(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程精确解

由 $m=1$ 则式(22)有如下形式的解

$u\left(\xi \right)=a_0+a_1\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ (23)

其中 $G\left(\xi \right)$ 满足式(6)，将(23)代入(22)，由(23)结合(6)可得：

$\{\begin{array}{l}{u}^2\left(\xi \right)=a_0^2+a_1^2{\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)}^2+2a_0{a}_1\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right),\hfill \\ u^{″}\left(\xi \right)=2a_1{\phi }^2{\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)}^3+2a_1\varphi \phi \left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right),\hfill \\ u^3\left(\xi \right)=a_1^3{\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)}^3+3a_1^2{a}_0{\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)}^2+3a_1{a}_0^2\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)+a_0^3.\hfill \end{array}$ (24)

将 $u\left(\xi \right),u^{\prime }\left(\xi \right),u^{″}\left(\xi \right)$ 和 $u^3\left(\xi \right)$ 代入方程(22)中，并平衡 ${\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)}^i\left(i=0,1,\cdots \right)$，并令各幂次的系数为零，得到关于 $a_{-1},a_0,a_1,\omega ,\varphi ,\phi$ 的代数方程组：

$\{\begin{array}{l}{\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)}^3:-2a_1{\phi }^2-2a_1^3=0,\hfill \\ {\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)}^2:-3\omega a_1^2-6a_1^2{a}_0=0,\hfill \\ {\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)}^1:2a_1^2\varphi \phi -6a_1{a}_0^2-6\omega a_0{a}_1-{\omega }^2{a}_1=0,\hfill \\ {\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)}^0:-{\omega }^2{a}_0-3\omega a_0^2-2a_0^3=0.\hfill \end{array}$ (25)

解上述代数方程组，并结合方程(7)，方程(23)作如下讨论：

情况一：

$a_0=-\sqrt{\varphi \phi },a_1=\pm \phi ,\omega =2\sqrt{\varphi \phi }.$ (26)

当 $\varphi \phi >0$，得到三角函数解：

$u_{\left(1,1\right)}\left(\xi \right)=-\sqrt{\varphi \phi }\pm \phi \left[\sqrt{\frac{\varphi }{\phi }}\frac{c_1\cos \left(\sqrt{\varphi \phi }\xi \right)+c_2\sin \left(\sqrt{\varphi \phi }\xi \right)}{c_1\sin \left(\sqrt{\varphi \phi }\xi \right)-c_2\cos \left(\sqrt{\varphi \phi }\xi \right)}\right].$ (27)

当 $\varphi \phi <0$，得到双曲函数解：

$u_{\left(1,2\right)}\left(\xi \right)=-\sqrt{\varphi \phi }\pm \phi \left[\sqrt{\left|\frac{\varphi }{\phi }\right|}\frac{c_1\sinh \left(\sqrt{\left|\varphi \phi \right|}\xi \right)+c_2\cosh \left(\sqrt{\left|\varphi \phi \right|}\xi \right)}{c_1\cosh \left(\sqrt{\left|\varphi \phi \right|}\xi \right)+c_2\sinh \left(\sqrt{\left|\varphi \phi \right|}\xi \right)}\right].$ (28)

当 $\varphi =0,\phi \ne 0$，得到有理函数解：

$u_{\left(1,3\right)}\left(\xi \right)=-\sqrt{\varphi \phi }\mp \phi \left[\frac{c_1}{\phi \left(c_1\xi +c_2\right)}\right].$ (29)

情况二：

$a_0=\sqrt{\varphi \phi },a_1=\pm \phi ,\omega =-2\sqrt{\varphi \phi }.$ (30)

当 $\varphi \phi >0$，得到三角函数解：

$u_{\left(1,4\right)}\left(\xi \right)=\sqrt{\varphi \phi }\pm \phi \left[\sqrt{\frac{\varphi }{\phi }}\frac{c_1\cos \left(\sqrt{\varphi \phi }\xi \right)+c_2\sin \left(\sqrt{\varphi \phi }\xi \right)}{c_1\sin \left(\sqrt{\varphi \phi }\xi \right)-c_2\cos \left(\sqrt{\varphi \phi }\xi \right)}\right].$ (31)

当 $\varphi \phi <0$，得到双曲函数解：

$u_{\left(1,5\right)}\left(\xi \right)=\sqrt{\varphi \phi }\pm \phi \left[\sqrt{\left|\frac{\varphi }{\phi }\right|}\frac{c_1\sinh \left(\sqrt{\left|\varphi \phi \right|}\xi \right)+c_2\cosh \left(\sqrt{\left|\varphi \phi \right|}\xi \right)}{c_1\cosh \left(\sqrt{\left|\varphi \phi \right|}\xi \right)+c_2\sinh \left(\sqrt{\left|\varphi \phi \right|}\xi \right)}\right].$ (32)

当 $\varphi =0,\phi \ne 0$，得到有理函数解：

$u_{\left(1,6\right)}\left(\xi \right)=\sqrt{\varphi \phi }\mp \phi \left[\frac{c_1}{\phi \left(c_1\xi +c_2\right)}\right].$ (33)

其中 $\epsilon =x+y-\omega t$，$c_1,c_2$ 为积分常数， $\varphi ,\phi$ 为实数， $\phi \ne 0,\omega \ne 0$。

3.2. (exp)-展开法构建(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程精确解

下面应用 $\left(exp\right)$ -展开法来构建(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程(1)精确解。由 $m=1$ 结合(10)式知方程(1)如下形式的解

$u\left(\xi \right)=a_0+a_1\exp \left(-\varphi \left(\xi \right)\right)$ (34)

由方程(10)，(34)，可得：

$\{\begin{array}{l}{u}^2\left(\xi \right)=a_0^2+a_1^2{e}^{-2\varphi \left(\xi \right)}+2a_0{a}_1{e}^{-\varphi \left(\xi \right)},\hfill \\ u^{″}\left(\xi \right)=\left[2a_1{\text{e}}^{-2\varphi \left(\xi \right)}+\lambda a_1{\text{e}}^{-\varphi \left(\xi \right)}\right]\left[{\text{e}}^{-\varphi \left(\xi \right)}+\mu {\text{e}}^{\varphi \left(\xi \right)}+\lambda \right],\hfill \\ u^3\left(\xi \right)=a_1^3{\text{e}}^{-3\varphi \left(\xi \right)}+3a_1^2{a}_0{\text{e}}^{-2\varphi \left(\xi \right)}+3a_1{a}_0^2{\text{e}}^{-\varphi \left(\xi \right)}+a_0^3.\hfill \end{array}$ (35)

将 $u\left(\xi \right),u^2\left(\xi \right),u^{″}\left(\xi \right)$ 和 $u^3\left(\xi \right)$ 代入方程(22)中，并合并 $\exp {\left(-\varphi \left(\xi \right)\right)}^n,\left(n=0,1,2,3,\cdots \right)$ 相同项的系数，并令相同项系数为零，得到关于 $a_0,a_1,\cdots ,\mu ,\lambda ,\omega$ 的代数方程组：

$\{\begin{array}{l}\left({\text{e}}^{-3\varphi \left(\xi \right)}\right):2a_1-2a_1^3=0,\hfill \\ \left({\text{e}}^{-2\varphi \left(\xi \right)}\right):-3\omega a_1^2-6a_1^2{a}_0+3\lambda a_1=0,\hfill \\ \left({\text{e}}^{-1\varphi \left(\xi \right)}\right):2\mu a_1+{\lambda }^2{a}_1-6a_1{a}_0^2-6\omega a_0{a}_1-{\omega }^2{a}_1=0,\hfill \\ \left({\text{e}}^0\right):{\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)}^0:-{\omega }^2{a}_0-3\omega a_0^2-2a_0^3+\lambda \mu a_1=0.\hfill \end{array}$ (36)

解上述代数方程组，并结合方程(12)，方程(34)作如下讨论：

情况一：

$a_0=-\sqrt{\mu },a_1=\pm 1,\omega =2\sqrt{\mu }.$ (37)

当 ${\lambda }^2-4\mu >0,\mu \ne 0$

$u_{\left(2,1\right)}\left(\xi \right)=-\sqrt{\mu }\pm \ln \left(\frac{-\sqrt{{\lambda }^2-4\mu }\tanh \left(\frac{\sqrt{{\lambda }^2-4\mu }}{2}\left(\xi +c\right)-\lambda \right)}{2\mu }\right).$ (40)

当 ${\lambda }^2-4\mu <0,\mu \ne 0$

$u_{\left(2,2\right)}\left(\xi \right)=-\sqrt{\mu }\pm \ln \left(\frac{-\sqrt{4\mu -{\lambda }^2}\tanh \left(\frac{\sqrt{{\lambda }^2-4\mu }}{2}\left(\xi +c\right)-\lambda \right)}{2\mu }\right).$ (41)

当 $\mu \ne 0,\lambda \ne 0$

$u_{\left(2,3\right)}\left(\xi \right)=-\sqrt{\mu }\mp \ln \left(\frac{\lambda }{\sinh \left(\lambda \left(\xi +c\right)\right)+\cosh \left(\lambda \left(\xi +c\right)\right)-1}\right).$ (42)

当 ${\lambda }^2-4\mu >0,\mu =0,\lambda \ne 0$

$u_{\left(2,4\right)}\left(\xi \right)=-\sqrt{\mu }\pm \ln \left(-\frac{2\left(\lambda \left(\epsilon +c\right)\right)+2}{{\lambda }^2\left(\xi +c\right)}\right).$ (43)

当 ${\lambda }^2-4\mu =0,\mu =0,\lambda =0$

$u_{\left(2,5\right)}\left(\xi \right)=-\sqrt{\mu }\pm \ln \left(\xi +c\right).$ (44)

情况二：

$a_0=\sqrt{\mu },a_1=\pm 1,\omega =-2\sqrt{\mu }.$ (45)

当 ${\lambda }^2-4\mu >0,\mu \ne 0$

$u_{\left(2,6\right)}\left(\xi \right)=\sqrt{\mu }\pm \ln \left(\frac{-\sqrt{{\lambda }^2-4\mu }\tanh \left(\frac{\sqrt{{\lambda }^2-4\mu }}{2}\left(\xi +c\right)-\lambda \right)}{2\mu }\right).$ (46)

当 ${\lambda }^2-4\mu <0,\mu \ne 0$

$u_{\left(2,7\right)}\left(\xi \right)=\sqrt{\mu }\pm \ln \left(\frac{-\sqrt{4\mu -{\lambda }^2}\tanh \left(\frac{\sqrt{{\lambda }^2-4\mu }}{2}\left(\xi +c\right)-\lambda \right)}{2\mu }\right).$ (47)

当 $\mu \ne 0,\lambda \ne 0$

$u_{\left(2,8\right)}\left(\xi \right)=\sqrt{\mu }\mp \ln \left(\frac{\lambda }{\sinh \left(\lambda \left(\xi +c\right)\right)+\cosh \left(\lambda \left(\xi +c\right)\right)-1}\right).$ (48)

当 ${\lambda }^2-4\mu >0,\mu =0,\lambda \ne 0$

$u_{\left(2,9\right)}\left(\xi \right)=\sqrt{\mu }\pm \ln \left(-\frac{2\left(\lambda \left(\epsilon +c\right)\right)+2}{{\lambda }^2\left(\xi +c\right)}\right).$ (49)

当 ${\lambda }^2-4\mu =0,\mu =0,\lambda =0$

$u_{\left(2,10\right)}\left(\xi \right)=\sqrt{\mu }\pm \ln \left(\xi +c\right).$ (50)

其中 $\epsilon =x+y-\omega t$，c为积分常数， $\mu ,\lambda$ 实数， $\omega \ne 0$。

4. 数学实验与精确解的图形

下面使用控制变量法，以解 $u_{\left(1,1\right)}\left(\xi \right)$ 为例，做出 $u_{\left(1,1\right)}\left(\xi \right)$ 取 $\varphi =3,\phi =4,\omega =5,c_1=1,c_2=2$ 在x-y-t坐标系下的3D图形如图(1)。

图1. $u_{\left(1,1\right)}\left(\xi \right)$ 在x-y-t的3D图形

$u_{\left(1,1\right)}\left(\xi \right)$ 取 $\varphi =3,\phi =4,\omega =5,c_1=1,c_2=2$ 在x-o-t坐标系下(取 $y=1$ )的图形如图(2)，在x-o-y坐标系下(取 $t=1$ )的图形如图(3)。

$u_{\left(1,1\right)}\left(\xi \right)$ 取 $\varphi =3,\phi =4,\omega =5,c_1=1,c_2=2$ 在y-o-t坐标系下(取 $x=1$ )的图形如图(4)，在x-y坐标系下(取 $t=1$ )的图形如图(5)。

$u_{\left(1,1\right)}\left(\xi \right)$ 取 $\varphi =3,\phi =4,\omega =5,c_1=1,c_2=2$ 在x-t坐标系下(取 $y=1$ )的图形如图(6)，在y-t坐标系下(取 $x=1$ )的图形如图(7)。

图2. $u_{\left(1,1\right)}\left(\xi \right)$ 在x-o-t (t = 1)的3D图形

图3. $u_{\left(1,1\right)}\left(\xi \right)$ 在x-o-y (t = 1)的3D图形

图4. $u_{\left(1,1\right)}\left(\xi \right)$ 在y-o-t (t = 1)的3D图形

图5. $u_{\left(1,1\right)}\left(\xi \right)$ 在x-y (t = 1)的3D图形

图6. $u_{\left(1,1\right)}\left(\xi \right)$ 在x-t (t = 1)的图形

图7. $u_{\left(1,1\right)}\left(\xi \right)$ 在x-t (t = 1)的图形

实验结论：通过上述实验比较图(2)与图(4)，图(6)与图(7)发现(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程(1)中三个变量 $x,y$ 对于精确解结构的影响一致，这也就是(1 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程被广泛研究的原因。比较图(3)与图(2)、图(4)或者比较图(5)与图(6)、图(7)知道(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程(1)变量t与变量 $x,t$ 对于精确解结构的影响不一致。因此，就可以在下一步的工作中对(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程进行降低维数或者增加维数进行研究。

5. 结论

本文，给出 $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -展开法、F-展开法、 $\left(exp\right)$ -展开法、改进的Kudryashov方法、直接截断法，构建偏微分方程的精确解文献综述共有57篇文献，同时给出了上述五种方法构建偏微分方程精确解的过程与结果，另外使用 $\left(\frac{G^{\prime }}{G^2}\right)$ -展开法构建出了(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程的精确解 $u_{\left(1,1\right)}\left(\xi \right)~u_{\left(1,6\right)}\left(\xi \right)$，这些解包括三角函数解，双曲函数解，有理函数解。使用 $\left(exp\right)$ -展开法构建出了(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程的精确解 $u_{\left(2,1\right)}\left(\xi \right)~u_{\left(2,10\right)}\left(\xi \right)$，极大地丰富了(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程的精确解。

通过数学实验得到(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程中三个变量 $x,y$ 对于精确解结构的影响一致，而变量t与变量 $x,y$ 对于精确解结构的影响不一致。下一步的工作将继续使用这些广义的函数展开法构建分数阶偏微分方程或者随机偏微分方程的精确解。

基金项目

National Natural Science Foundation of China (国家自然科学基金，11371267)；Natural Science Foundation of Sichuan Province of China (四川省自然科学基金，2012ZA135)。

文章引用

吴大山,孙峪怀,杜玲禧. 几种广义的函数展开法在构建偏微分方程精确解中的文献综述与应用（G^′/G²）-展开法、（exp）-展开法构建(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程精确解
A Literature Review and Application of Sev Eral Generalized Function Expansion Methods in Constructing Exact Solutions of Partial Differential Equations（G^′/G²）-Expansion Method,（exp）-Expansion Method Construction (2 + 1) Exact Solution of the Dimensional Boiti-Leon-Pempinelli Equation[J]. 应用数学进展, 2019, 08(10): 1659-1674. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.810196

参考文献