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Advances in Porous Flow
渗流力学进展
, 2013, 3, 35-41
http://dx.doi.org/10.12677/apf.2013.33006
Published Online September 2013 (http
://www.hanspub.org/journal/apf.html)
Study of the Percolation Relationship between Fracture
Density and Permeability of 2-D Facture Networks
*
Juying Wa n
1,2
, Hehua Xu
1#
, Weibing Shu
1,2
1
Key Laboratory of Marginal Sea Geology of Chinese Academ y o f S ciences, South China Sea Institute of Oceanology, Guangzhou
2
University of Chinese Academy of Sciences, Beijing
Email:
#
xhhcn@scsio.ac.cn
Received: May. 26
th
, 2013; revised: Jul. 20
th
, 2013; accepted: Aug. 15
th
, 2013
Copyright © 2013 Juying Wan et al. This is
an open access article distributed under th
e Creative Commons Attribution License, w
hich permits unre-
stricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
Abstract:
Fracture networks strongly influence oil migration in reservoirs, especially in low-permeability reservoirs. So
the parameter of fracture permeability plays an important role
during the exploration of oil and gas fields. Simplifying
the fracture network of reservoirs, and continuum percolation theory are successfully applie
d for studying the fracture
permeability in deep and complex media. By using excluded area to dimensionless the fracture density, macroscopic
properties of fracture networks become independent of fracture shape. Using Monte Carlo simulation, the facture net-
work with different fracture density is obtained, and then
based on continuum percolation theory and finite element
analysis software, called COMSOL Multiphysics, we get the relationship between dimensionless density and macro-
scopic permeability, which is scaling law. The simulated results may offer a simple and practical method to evaluate frac-
ture permeability quantitatively and enhance the appli cations of percol ation theory in the explorati on of oil and gas fields.
Keywords:
Low-Permeability Reservoirs; Continuum Percola
tion; Fractur e Density; Macroscopic Permeability;
Excluded Area
二维裂隙密度及其渗透率的逾渗关系研究
*
万菊英
1,2
,许鹤华
1#
,舒卫兵
1,2
1
中国科学院南海海洋研究所,中国科学院边缘海地质重点实验室,广州
2
中国科学院大学,北京
Email:
#
xhhcn@scsio.ac.cn
收稿日期:
2013
年
5
月
26
日;修回日期:
2013
年
7
月
20
日;录用日期:
2013
年
8
月
15
日
摘
要:
在低渗透介质储存中,裂隙是石油运移的主要通道。因而裂隙介质的渗透率是石油勘探的一个重要参
数。应用连续逾渗模型分析,把低渗透储存的裂隙网络合理简化,能够对深层复杂介质的渗透规律进行研究。
使用排除体积对裂隙密度进行无量纲化,从而使裂隙的宏观性与裂隙的形状无关。使用
Monte Carlo
方法模拟得
到不同裂隙密度时的裂隙网络图,然后基于连续逾渗模型,采用有限元方法利用
COMSOL Multiphysics
求解器
解,数值模拟得到裂隙的渗透率与无量纲化密度成乘幂关系。该模拟结果可能为裂隙网络渗透率的定量评价提
供一个简单而又实用的方法。这一规则的发现也增强了逾渗理论在油气田勘探中的应用。
关键词:
低渗透储层;连续逾渗;裂隙密度;宏观渗透率;排除体积
*
基金项目:盆地深层油气运聚成藏过程量化分析与技术方法
(
国家重大油气专项二级专题,
2011ZX05008-004-44)
。
#
通讯作者。
Copyright © 2013 Hanspub
35
二维裂隙密度及其渗透率的逾渗关系研究
Copyright © 2013 Hanspub
36
1.
引言
裂隙是渗流的主要通道,控制着油气在低渗透储
层中的运移。过去的几十年,国内外学者对裂隙岩体
的渗透性进行了大量的研究
[1-3]
。研究裂隙岩石的渗流
特性,对油、气、水资源开发、环境保护和温室气体
埋存等工程都具有重要的意义。但由于裂隙的定位、
分析和测量极其困难,因而预测油气在低渗透裂隙储
层中的渗透性一直是国内外关注的焦点,对石油勘探
和开发具有重要的意义。
逾渗理论
(Percolation Theory)
是由
Boardbent
和
Hammersley
[4]
在
1956
年提出的,最初逾渗模型被用于
描述流体在随机多孔无序介质中的随机扩展和流动。
岩体内部的多孔体由许多狭窄的孔喉连接而成的相
互连通的集团。随着外部条件而逐步演化成为贯通整
个多孔介质的连通团。这种经典的逾渗理论研究仅仅
局限于孔隙介质,忽略了裂隙这一主要的渗流通道。
裂隙渗流理论通过建立随机裂隙网络,研究了流体在
裂隙网络中的流动。
近年来国内外使用逾渗理论对裂隙岩体渗流的
研究正逐渐的深入,并对裂隙岩体的状和渗流系统进
行了较为深入的研究
[5,6]
。裂隙岩体的渗流是指流体在
岩体多孔介质或裂隙介质
(
裂隙、断层等
)
中流动,其
相关理论在油、气、水资源开发、环境保护和温室气
体埋存等工程等方面都有着重要的应用。根据仵彦卿
[7]
的归纳总结,裂隙岩体渗流模型大致可分为三种基
本模型:等效连续介质渗流模型、裂隙网络渗流模型
和双重介质渗流模型。等效连续介质是将岩石裂隙的
透水性平均到岩石中去,其中心问题是求得渗透张
量,不考虑其作用机制,显然对于岩体中存在尺寸较
大的裂隙,也当成连续介质来处理是不合适的。双重
介质渗流模型是由苏联学者
Barenblatt
[8]
于
1960
年首
次提出来的,把裂隙岩体看作两种介质组成,即裂隙
介质导水、孔隙岩块介质储水,分别建立裂隙介质渗
流模型和孔隙介质渗流模型,用裂隙和孔隙岩块水量
交替公式连接,组成一个耦合方程式求解。对于低渗
透储层,孔体的渗透率几乎为
0
,可以忽略。裂隙网
络渗流模型最初是由
Wittke
提出的,考虑了裂隙的形
状、大小、密度和方向等参数。这类模型适合渗透主
要由裂隙控制的储存。应用该模型,需要进行野外调
查,统计节理的分布规律,按照节理参数的分布概率,
使用
Monte Carlo
理论随机生成裂隙网络模型。而且,
该模型可以进一步建立应力场模型,完成渗流场和应
力场的耦合分析。低渗透储层中,裂隙是油气运移的
主要通道,控制着油气的运移。因而本文使用裂隙网
络模型来研究裂隙岩体的渗流模型,研究二维裂隙密
度和宏观渗透率之间的逾渗关系。
目前的研究发现,影响裂隙渗透率的主要参数是
裂隙的密度,长度,开度和裂隙的方向。罗森
[9]
等认
为裂隙的长度、密度和裂隙的连通性之间存在着正相
关的关系,随着裂隙的长度、密度的增加,裂隙的连
通性也增加。
M. Masihi
[10]
通过数值模拟的方法分别研
究了二维和三维情况下裂隙连通性和裂隙长度之间
的关系,模拟结果表明裂隙连通性和裂隙长度之间存
在正相关的关系。单裂隙渗透率的实验方法得到裂隙
开度和渗透率之间的关系,即立方定律,表明裂隙的
开度和渗透率之间也存在着正相关的关系。
对二维裂隙的密度和宏观渗透率之间逾渗关系
的研究,目前国内鲜有学者对此进行研究,国外对裂
隙的密度和宏观渗透率之间逾渗关系研究正逐渐深
入
[5,6]
。
Anosshen
[5]
使用
Monte Carlo
方法得到裂隙的
网络图,并用有限体积法求的裂隙密度和渗透率之间
是成幂的关系。
Alireza
[6]
使用逾渗方法和分形几何理
论研究了裂隙的逾渗性质。但是
Alireza
在建立裂隙
网络图时没有考虑裂隙的开度,并且假定裂隙的方向
全部为垂直的,事实上由于成岩作用,裂隙的方向分
布是随机的。
本文使用裂隙网络渗流模型,并结合连续逾渗理
论和
COMSOL Multiphysics
中自带的有限元方法,研
究低渗透储层中裂隙密度与裂隙渗透性的关系。本文
考虑了裂隙的分布方向、长度、密度和开度进而建立
裂隙的网络图,然后通过引入排除体积
ex
A
,对裂隙
的密度进行无量纲化,从而使裂隙的宏观渗透性与裂
隙的形状无关,最后得到裂隙的无量纲化密度和宏观
渗透率之间逾渗关系是成幂关系,并且将模拟结果和
前人进行了对比。
2.
二维裂隙网络模型
2.1.
裂隙网络模拟的假设
裂隙网络模拟的基本假设有四条:
1)
裂隙的迹线是由裂隙中点
00
,
x
y
、裂隙长度
二维裂隙密度及其渗透率的逾渗关系研究
l
、裂隙的方向
(
定义为自
x
轴逆时针旋转至裂隙的
角度
)
和裂隙的开度
a 4
个参数来确定,如图
1
。迹线
开度的中点坐标为:
1,2 0
1,2 0
2cos
2sin
xxl
yyl
(1)
由于裂隙方向的随机分布,则裂隙的四个点坐标
为:
12
12
12
12
31
31
4
sin
2180
cos 180
21
sin 180
2 180
cos
2 180
sin 180
2 180
cos
2180
a
xx
a
yy
a
xx
a
yy
a
xx
a
yy
x
Cop
yright © 2013 Hanspub
37
80
1
41
sin
2180
cos 180
21
a
x
a
yy
80
2)
裂隙的模拟区域内,裂隙的中点服从均匀分
布,裂隙的长度服从对数正态分布,裂隙的方向服从
正态分布,裂隙的开度服从正态分布。
3)
模拟区域内的裂隙是狭窄的平面,迹长表示裂
隙的长度,宽度表示裂隙的开度,方向表示裂隙的产
状。
4)
模拟区域内裂隙的密度定义为区域内裂隙的
总数
[11]
,即
2
f
r
N
L
(2)
其中:
f
r
N
——模拟区域内裂隙的总数
——模拟区域内裂隙的密度
2
L
——模拟区域的面积
2.2.
裂隙网络模拟的生成
近年来,随着计算机的发展,建立在概率论和统
计学基础上的裂隙网络模型的研究得到了迅速的发
展。裂隙网络模拟的主要方法是应用
Monte Carlo
方
法,也叫随机抽样技术或统计实验方法。它的理论依
据是概率中的大数定律,因此它的应用范围几乎没有
什么限制,目前普遍认为它是相对精确的方法
[12]
。连
续逾渗理论是处理具有强无序和随机结构系统的重
要理论方法之一,本质上是概率论的一个分支。因而
本文用连续逾渗理论方法和
Monte Carlo
方法来研究
裂隙网络渗透率和裂隙岩 体密度之间的关系。
根据目前对岩体裂隙几何分布的研究成果以及
工程实践可知,岩体裂隙的几何参数一般服从某一种
或几种的概率密度分布:裂隙的中点服从均匀分布,
裂隙的长度服从对数正态分布,裂隙的方向服从正态
分布,裂隙的开度服从正态分布。假设生成裂隙网络
模型的岩体裂隙几何参数见表
1
所示。本文使用
Monte Carlo
方法,用
Matlab
在研究区域
L = 5 0
内得
到裂隙的网络图如图
2
。由图
2
知:在相同裂隙长度
情况下,随着裂隙密度的增加,流体在裂隙中运移的
通道也增加。
2.3.
裂隙网络渗透率的逾渗性质
逾渗理论是概率论的一个分支,可以用来处理具
有强无序和随机特征系统的重要理论方法之一,可以
描述深层复杂几何结构系统的渗透性
[13]
。该理论的
Figure 1. A schematic drawing of a fracture
图
1.
单个裂隙示意图
Table 1. The initial geometric parameter of fracture media
表
1.
裂隙岩体的初始几何参数
组数 方向角
迹长
(m)
开度
裂痕密度
均值标准差均值
标准差
均值
标准差
1 200 100 10 0.1 1 0.180.02
2 200 100 10 0.1 1 0.180.04
3 200 100 10 0.1 1 0.180.06
4 200 100 10 0.1 1 0.180.08
二维裂隙密度及其渗透率的逾渗关系研究
优点是许多具有强无序和随机结构系统的性质可以
用简单的代数关系来表示,即尺度定律
(scaling law)
来表示
[14]
。逾渗模型的二种基本模型是座逾渗
(site
percolation)
和键逾渗
(site percolation)
。
假定座
(
或者键
)
被占据的概率为
p
,即流体可以通过的概率为
p
。对
于很小的
p
,则存在很多孤立不连通的渗流团,流体
不能通过;随着概率
p
的不断增加,渗流团中的单元
数逐渐增加,当
p
达到某个临界值
p
c
时,存在可以贯
穿区域二边的渗流团,即流体可以从区域的一边流到
另一边,该
p
c
值称为逾渗阀值,与空间维数和网格的
形状有关。在逾渗阀值
p
c
处是存在尺度定律
[10]
:
Cop
yright © 2013 Hanspub
38
c
c
Ppp ppp
(3)
其中
Pp
称为逾渗概率,即单元属于最大逾渗团的
概率,指数
称为通用指数,在二维和三维情况下分
别为
0.139
和
0.4
。通用指数
只与空间维数有关,因
而格子逾渗
(lattice percolation)
的通用指数和连续逾渗
(continuum percolation)
的通用指数一样。
随机分布在低渗透储层中的裂隙密度直接影响
着裂隙储层的渗透性
[10]
。但是研究低渗透储层中的裂
隙时,由于裂隙是在成岩作用下随机分布的,因而本
文使用了连续逾渗理论。相对与格子逾渗,连续逾渗
最大的优点是:在建立裂隙网络模型时,裂隙是随机
分布在研究区域内,而不是分布在指定的格子里。目
前国外使用连续逾渗理论对裂隙岩体渗流的研究正
逐渐的深入
[5,6]
。
Stauffer
[13]
使用连续逾渗,得到裂隙岩体的有效渗
透率和其逾渗性质之间存在着幂率关系:
eff c
K
pp
(4)
式中:
eff
K
是有效渗透率, 和分别为逾渗概率和
逾渗阀值,即单元属于最大逾渗团的概率,
p
c
p
为指数。
本文基于连续逾渗理论,猜想裂隙渗透率和裂隙
密度之间存在相同的乘幂关系,即
eff c
K
,
式中
为无量纲化裂隙的密度,
c
3.6
c
为无量纲化裂隙
的密度阀值,二维随机分布的裂隙
[15]
。
Balberg
[15]
提出排除体积
ex
A
的概念,将裂隙密度用排
除体积来表示,对裂隙密度无量纲化,从而使裂隙的
有效渗透率和裂隙的形状无关
[11,16]
。所谓排除体积
ex
A
,就是在一个系统中,一裂隙占据某一空间后,
其余的裂隙仅能占据剩余的一定空间,体系总体积与
允许其它裂隙占有的剩余体积之差就是被研究裂隙
的排除体积。
二维裂隙网络模型中,排除体积
ex
A
与裂隙长度
之间的关系表示如下
[15]
:
l
2
2
ex
A
l
(5)
裂隙的密度定义为:单位面积区域内裂隙的数
目,因而裂隙的密度表示如下
[11]
:
2
f
r
N
L
(6)
对裂隙的密度进行无量纲化,表示如下
[15,17]
:
ex
A
(7)
3.
流体的控制方程
假定流体是
Newton
流体,流动是定场、等温的,
裂隙介质中的渗流速度很小,可以忽略对流作用。由
于流体力学分析理论知,裂隙中的流动为层流,这时
流体在裂隙介质的流动应满足
Navier-Stokes
方程,
即:
2
0
v
v
p
(8)
其中 是流体的速度,
v
是流体的粘度,
p
是压力
梯度,低雷诺数情况下,不可压缩的牛顿流体满足
Darcy’s
方程:
1
vK
p
(9)
其中 是渗透率张量,由
于本文研究的是各向同性的
裂隙,因而
K
K
可以简化为一个标量。根据上面二个方
程,推导得:
0
Kp
(10)
左右边界采用周期性边界条件;在流体的下边界
进口处,给定压力的边界条件为: ,上边
界
出口处给定压力
100 Pa
P
0
P
;固液交界面采用无滑移边
界条件,即
0
sf
V
;在流体的进口处假定水平方向速
度为
0
,即
,
x
in out
V
0
,由连续方程知,垂直方向的
速度梯度为
0
,即
,
0
in
out
Vy
y
p
。已知进口和出口
的压力以及研究区域
L
,则可得压 力梯度
。计算
二维裂隙密度及其渗透率的逾渗关系研究
(a) (b)
(c) (d)
Figure 2.The fracture network of different fracture density: (a)
0.02
; (b)
0.04
; (c)
0.06
; (d)
0.08
图
2.
不同裂隙密度时的裂隙网络图:
(a)
0.02
;
(b)
0.04
;
(c)
;
(d)
0.06
0.08
的参数为流体的密度
3
1kg m
,动力粘度为:
1Pa s
。
采用有限元方法利用
COMSOL Multiphysics
求解
器解方程
(10)
[18]
。
COMSOL Multiphysics
是以有限元
法为基础,通过求解偏微分方程
(
单场
)
或偏微分方程
组
(
多场
)
来实现真实物理现象的仿真,被当今世界科
学家称为
“
第一款真正的任意 多物理场直接耦合分 析
软件
”
,因而本文使用
COMSOL Multiphysics
软件求
解不同裂隙密度下的裂隙岩体渗透率值。
本文使用周期性边界条件来求解上式方程。划分
网格后得到了一些列离散点处的线性方程为:
A
PB
(11)
其中 是节点处的压力矩阵,
B
是相应的驱动力,
P
A
是与网格几何形状有关的稀疏矩阵。使用有限元方
法计算方程
(10)
,得到了裂 隙的速度和压力分布图 ,如
图
3
。结合图
3
和表达式
(9)
,推导得到流量
Q
为:
d
s
Qv
Cop
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s
(12)
其中
s
是裂隙的开度,由于使用有限元方法来计算不
同网格处的值,因而表达式
(12)
可以表示为:
1
dlim
n
ii
n
i
s
Qvs vs
(13)
(a)
(b)
Figure 3 The velocity distribution (a) and pressure distribution (b)
of fracture at the density of 0.055
图
3.
密度为
0.055
时裂隙的速度和压力的分布;
(a)
速度分布图;
(b)
压力分布图
结合达西公式得到了裂隙网络宏观裂隙的平均
渗透率
K
为:
K
SP
Q
L
(14)
其中 是研究区域的长度。
L
二维裂隙密度及其渗透率的逾渗关系研究
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40
4.
结果和讨论
在裂隙网络模型中,裂隙密度的大小直接决定了
模型中裂隙数的多少。从定性分析来说,裂隙网络模
型中随着裂隙条数的增加,流体在模型中流动的通道
就越多,渗透率变大。本文通过给出一组变化的密度
参数来定量分析裂隙岩体渗透率的逾渗性质,
如表
2
。
为了研究裂隙网络渗透率的逾渗性质,基于连续
逾渗,使用
Monte Carlo
方法得到随机分布的裂隙网
络图,其中裂隙的中点服从均匀分布,裂隙的长度服
从对数正态分布,裂隙的方向服从正态分布,裂隙的
开度服从正态分布。采用有限元方法利用
COMSOL
Multiphysics
求解器解
[18]
,得到不同裂隙密度时的裂
隙有效渗透率。
由于是讨论裂隙密度和裂隙渗透率之间的逾渗
性质,就需要实现只有密度改变,其它初始几何参数
不变的条件下的不同的裂隙网络模型。这个过程的实
现首先是通过建立各裂隙组密度最大、裂隙条数最多
的模型,然后根据各裂隙组密度的减少、随机删除各
裂隙组中的裂隙数目。这样就可以建立只有密度改
变,其他几何条件不变的裂隙网络模型,从而来定量
分析裂隙密度和裂隙岩体渗透率的逾渗性质。
根据图
4
知,在裂隙密度的逾渗阀值处,无量纲
化裂隙密度和裂隙岩体渗透率在裂隙密度的逾渗阀
值处服从幂函数的关系,该结果与
Alireza
[6]
模拟得到
关系一样,都是幂函数关系,即随着无量纲化裂隙密
度的增加,裂隙岩体的渗透率也增加。但是
Alireza
[6]
模拟的结果比本文模拟结果偏小,
原因之一是
Alireza
在建立裂隙网络图时只考虑了二个参数:裂隙的密度
Table 2. The percolation properties of different kinds of fr a cture
表
2.
不同类型裂隙的逾渗性质
方向角
迹长
(m)
开度
裂隙组
均值
标准差
均值
标准差
均值
标准差
裂痕密度
排除体积
ex
A
c
K
1 200 100 10 0.1 1 0.18 0.060 63.7 3.822 0.222 236 mD
2 200 100 10 0.1 1 0.18 0.065 63.7 4.140 0.5405 333 mD
3 200 100 10 0.1 1 0.18 0.070 63.7 4.459 0.859 408 mD
4 200 100 10 0.1 1 0.18 0.075 63.7 4.777 1.178 461 mD
5 200 100 10 0.1 1 0.18 0.080 63.7 5.096 14.96 489 mD
Figure 4. The relationship between the permeability of fracture network and
c
图
4.
裂隙网络渗透率和
c
的关系
二维裂隙密度及其渗透率的逾渗关系研究
Cop
yright © 2013 Hanspub
41
和裂隙的长度,没有考虑裂隙的开度和方向参数;另
外一个原因是
Alireza
假设裂隙的方向全是垂直的。
事实上裂隙的方向是随机分布的,且裂隙的连通性和
裂隙的开度之间有正相关关系。所以
Alireza
的裂隙
网络图连通性偏小,从而使得模拟有效渗透率偏低。
5.
结论
1)
在低渗透介质储存中,裂隙是石油运移的主要
通道。石油在低渗透储层中的流动路径由随机分布的
裂隙介质决定,根据裂隙岩体几何参数一般服从某一
种或几种的概率密度分布,进而得到裂隙的网络图,
应用连续逾渗模型,通过改变不同低渗透储层中裂隙
岩体几何参数的概率分布,然后模拟得到储层中裂隙
岩体渗透率参数和裂隙密度的关系函数,即幂律关
系。
2)
低渗透储层具有复杂的地质特点,如何借助逾
渗理论和模型,研究深层复杂介质的渗透性,获得渗
透率等参数的理论分析和定量计算,增强逾渗理论在
油气田开发中的应用能力,值得进一步深入探讨。
参考文献
(References)
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B. Berkowitz. Analysis of fracture network connectivity using-
percolation theory. Mathematical Geology, 1995, 27(4): 467-
483.
[2]
A. Jafari. Estimation of equivale
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