Pure Mathematics
Vol.
09
No.
05
(
2019
), Article ID:
31501
,
6
pages
10.12677/PM.2019.95086
Finite Groups Structure with n-Minimal Subgroups SS-Quasinormal
Ning Xu
School of Mathematics and Statistics, Guangxi Normal University, Guilin Guangxi
Received: Jul. 3rd, 2019; accepted: Jul. 22nd, 2019; published: Jul. 29th, 2019
ABSTRACT
Let G be a finite group. A subgroup H of G is said to be an SS-quasinormal subgroup of G if there is a supplement B of H to G such that H permutes with every Sylow subgroup of B. In this paper, the structures of finite groups are discussed by making the exactly n-minimal groups in G and the exactly n-minimal groups in G to be SS-quasinormal subgroups.
Keywords:Exactly n-Minimal Subgroups, S-Permutable Subgroups, SS-Quasinormal Subgroups, Solvable Group, Supersolvable Group
n-极小子群是SS-拟正规的有限群的结构
徐宁
广西师范大学数学与统计学院,广西 桂林
收稿日期:2019年7月3日;录用日期:2019年7月22日;发布日期:2019年7月29日
摘 要
设G是有限群,H是G的子群。称H在G中SS-拟正规,如果H存在补子群B,满足H和B的每个Sylow子群可以交换。本文基于所有恰n-极小子群是SS-拟正规子群的有限群,讨论有限群的结构。
关键词 :恰n-极小子群,S-置换子群,SS-拟正规子群,可解群,超可解群
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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1. 引言
在本文中G表示有限群, 表示素数。文中讨论的恰n-极小子群是潘红飞在 [1] 中提出的,即对于一个子群链 如果对于任意的 有 是 的极大子群,则称这个群链是D的极大子群链且链长为n。如果子群D有一个极大子群链且链长是n,则称D为n-极小子群。如果D是n-极小子群,但是D的真子群都不是n-极小子群,则称D是恰n-极小子群。钱国华在 [2] 中提出了n-极大子群,并定义 表示群 子群链的链长。设D是G的一个子群, 表示G到子群D的不可加细链的集合,则 ,因此 且 。
设G是有限群, , ,如果 则称H是G的S-置换子群,或者H是G的S-拟正规子群。若对于 使得 且 有 称H是G的SS-拟正规子群,B为H在G中的SS-补,H在G中SS-补的集合记为 。显然S-置换子群是SS-拟正规子群。
本文主要考虑恰n-极小子群是SS-拟正规子群的有限群的结构。
条件1.1:假设G所有恰n-极小子群是SS-拟正规子群,其中n是正整数。
令 表示G中所有恰n-极小子群组成的集合, 表示G的所有子群链中最长的链长。对正整数n做素数幂分解, ,定义 。令 表示G的权重。
在此先给出一些注解:
根据n-极小子群的定义,显然恰n-极小子群一定是n-极小子群,但反过来不成立。
假设D是G的子群,则很容易得到以下结论:
1) 。
2) 当D是可解群时, 。
2. 预备知识
引理2.1:令H,K是G的子群,则有下列结论成立。
1) 若H是G中S-置换子群,则H是G的次正规子群。若 ,则H是K中S-置换子群。
2) 若K是H中的G-不变子群,则H/K是G/K中S-置换子群当且仅当H是G中S-置换子群。
3) 若H,K是G中S-置换子群并且 ,则HK也是G中S-置换子群。
4) 若P是G中的p-子群,则P是G中S-置换子群当且仅当 且 。
5) 若H,K是G中S-置换子群,则 也是G中S-置换子群。
6) 若H是G中S-置换子群,则 是幂零子群,这里 。
7) 若H是G中S-置换子群,若 时,则 ;若H是可解群时,则 。
证明:这些陈述是已知的,参见 [3] [4] 和( [5] ,第一章,第二节)。
引理2.2 [6] :假设H是G中SS-拟正规子群, ,且N是G的一个正规子群。则
1) 若 ,则H是K中的SS-拟正规子群。
2) HN/N是G/N中SS-拟正规子群。
3) 若 且K/N是G/N中SS-拟正规子群,则K是G中SS-拟正规子群。
4) 若K是G中拟正规子群,则HK是G中SS-拟正规子群。
引理2.3 [6] :令H是G的一个幂零子群。则有如下结论等价。
1) H是G中S-置换子群。
2) 且H是G中SS-拟正规子群。
定义2.1 [7] :假设N存在一个G-不变子群链 ,且任意的 都是素数阶,则称N是G-超可解群。根据Jordan-Holder定理,一个G-不变子群N是G-超可解群当且仅当N以下的G-主因子都是素数阶的。
引理2.4 [8] :假设N是G的正规子群,若N是G-超可解群,则 是超可解群。
引理2.5:令F是G中正规幂零子群且n是正整数。如果F的任意权重为n的子群H是G中SS-拟正规子群。则有下列结论成立。
1) 假设 且 。则F的所有子群是G中S-置换子群。
2) 假设E是F中的一个极小G-不变子群。则 。如果 ,则 或 。
证明:
1) 因为F幂零群且 ,则F可以表示成一些素数阶子群的直积形式。令M是F的子群。若 ,则M可由F的一些权重为n的子群 的交生成;若 则M可由F的一些权重为n子群 的直积生成。根据条件知 和 在G中SS-拟正规,因为 且 ,所以 且 ,则根据引理2.3知 和 是G中S-置换子群。所以根据引理2.1 3) 5)知M是G中S-置换子群,所以F的所有子群是G中S-置换子群。
2) 由条件知E是一个初等交换p-群。假设结论是错误的,则 根据结论1)知E的所有子群在G中S-置换。令 使得x中心化G的一个Sylow p-子群。因为 在G中S-置换,则根据引理2.1 4)知 ,因此 ,矛盾。所以 。
如果 ,假设结论错误,则 。令A/E是F/E的极小子群,则A不是循环群且A的所有极大子群在G中S-置换。根据引理2.1 3)知A在G中S-置换,则F/E的任意极小子群在G/E中S-置换。根据2)第一部分条件知F/E中有一个G/E-不变子群B/E且 。因为B是非循环群,所以 。再根据E的极小正规性知 。因为 ,根据1)知B的所有极小子群在G中S-置换,又 知 ,矛盾。 □
引理2.6 [2] :假设F是G的正规幂零子群,且 其中n是正整数。设F的任意权重为n的子群H是G中S-置换子群,则
1) ,则F是G-超可解群。
2) ,若F的任意4阶循环子群(如果存在)在G中S-置换,则F是G-超可解群。
引理2.7:假设F是G的正规幂零子群,且 其中n是正整数。设F的任意权重为n的子群H是G中SS-拟正规子群,则
1) ,则F是G-超可解群。
2) ,若F的任意4阶循环子群(如果存在)在G中S-置换,则F是G-超可解群。
证明:因为F是G中正规幂零子群,所以 ,又 ,所以 ,因为H是G中SS-拟正规子群,则根据引理2.3知H是G中S-置换子群。这时根据引理2.6立得上述结论。 □
引理2.8 [8] :如果交换群A忠实且不可约作用在 阶初等交换群V上,则A是循环群且m是最小正整数k使得 成立。
引理2.9:假设G满足条件1.1,令V是G的极小正规子群。若 且 ,则 是可解的Frobenius群,A是G的奇数阶超可解补群,V是G的核,而且V是G中唯一权重为n的子群。
证明:假设 且 ,所以 。若 ,则根据引理2.7可知 是G-超可解群且 ,矛盾,所以 。假设G中存在p-子群P,使得 且 ,这里P不是循环群,假设P中可找到两个不同的极大子群 和 。因为 和 是P的极大子群,所以 ,所以 和 是G中SS-拟正规子群。根据引理2.2 4)可知 是G中SS-拟正规子群,所以 ,矛盾。所以 ,因此存在G的极大子群A使得 。
假设群A存在p-元x,使x中心化V的非单位元,则 。于是令D是 的极大子群,因为 ,所以 在G中SS-拟正规,又因为 ,所以 在G中S-置换,则根据引理2.1 5)可知 是G中S-置换子群,又根据引理2.1 4)知 是G中正规子群,矛盾。因此G是有核V和补群A的Frobenius群。
假设A是偶数阶群,令D是A的2阶子群。因为V是完全可约 -模,且根据引理2.8知所有不可约 -模的次数为1,这就意味着V有极大的D-不变子群 ,而 是G的正规子群,矛盾,因此A是奇数阶。所以A是奇数阶Frobenius补群,当A所有的Sylow子群是循环群时,A是超可解群,同时G是可解群。
假设D是G中权重为n的子群。则D在G中SS-拟正规。因为 ,所以 根据引理2.3知 在G中S-置换且 ,根据引理2.1 4)知 在G中正规,所以 。 □
引理2.10:令p是奇素数,假设G的任意p阶子群在G中SS-拟正规。则 是超可解群。如果G满足条件1.1且 则 是超可解群。
证明:假设 且 。因为G的任意p阶子群在G中SS-拟正规,又G的p阶子群包含在 中,所以 。显然根据引理2.7 2)知 是G-超可解群。所以根据引理2.4知 超可解。因为 中任意p阶子群在 的中心里,根据Huppert在( [8] ,第四章,定理5.5)知 是p-幂零群,所以G是p-可解群。因为 ,所以 。因此 是超可解群,所以G是超可解群。
若G满足条件1.1且 ,因为 ,所以 是超可解群。□
引理2.11:假设G是满足条件1.1的可解群,且 。若G有权重为 的极小正规子群D,则G/D是超可解群。
证明:假设G有不同于D的极小正规子群E,则 ,根据引理2.7,可知 。根据引理2.2的2)知G/E中所有恰 -极小子群是G/E中SS-拟正规子群,若G/E中有权重为 的极小正规子群DE/E,根据引理2.9知 是超可解群,又因为 ,所以G/D是超可解群。假设D是G唯一的极小正规子群,且 因此 是p-群,若 ,取p-元 ,因为 ,所以 是G中SS-拟正规子群,因此 ,所以 ,矛盾。若 ,则根据引理2.9知 ,这里 且A是G的极大子群。根据引理2.9知 ,根据引理2.10知若A中所有的极小子群是SS-拟正规的,则 是超可解群。
假设A不是超可解群,为方便证明,我们令 不是G-超可解群,又因为O不是循环群,且令B是O的4阶子群,因为D是完全可约 -模,根据引理2.8知,所有不可约 -模的维数是1或2。假设D有子群是1维的不可约 -模,则D有极大B-不变子群 ,显然 是G中SS-拟正规子群,因为 且 ,所以 ,所以 在G中S-置换。又因为 ,所以 是G中S-置换子群,根据2.1 4)知 ,矛盾。因此D所有的不可约 -模子群都是2维的,因为若 ,则所有不可约 -模是1维,因此O没有 类型的子群。又因为O不是G-超可解群,所以O是四元数群,且 是A-主因子。因为 是6阶的且A不可约作用在 上,所以 。令 是A的3阶子群, 是O的4阶子群。因为 是A中SS-拟正规子群, 是12阶循环群,又因为D是 -群,所以D是完全可约 -模。取 ,这里 , 是 -模且 是不可约的,所以 。因为 是2维的不可约 -模,所以 ,所以 且 是G中SS-拟正规子群。因为 且 ,所以 是G中S-置换子群。若 则 在G中S-置换子群,所以根据引理2.1 4)知 ,矛盾。若 ,则 是G中S-置换子群,所以根据引理2.1 7)知 ,矛盾。 □
3. 主要结果及其证明
定理3.1:令F是G的正规幂零子群,P是F的Sylow p-子群,这里p是奇数阶。若F的所有极小子群在G中SS-拟正规,或若 且F所有权重为2的子群D在G中SS-拟正规。则P是G-超可解群。
证明:假设 且F所有权重为2的子群D在G中SS-拟正规。令E是F的极小G-不变子群。根据引理2.5 2)知E是素数阶,所以F/E任意极小子群在G/E中SS-拟正规。又因为 ,所以F/E任意极小子群在G/E中S-置换。因为可由PE/E的G-超可解性直接推出P的G-超可解性。因此只要考虑当F所有极小子群在G中SS-拟正规的情况即可。
假设F所有极小子群在G中SS-拟正规,因为 ,所以F所有极小子群在G中S-置换。显然F的所有子群继承了假设条件。因此假设 且P的所有真G-不变子群是G-超可解群。若 和 是P中不同的极大G-不变子群,则 和 都是G-超可解群,所以P也是G-超可解群。因此设P有唯一极大G-不变子群V。
为了证明P的G-超可解性,我们只要证明P/V是p阶群。若 ,则P是G的极小正规子群,又根据引理2.5知P是G-超可解群。若 ,则根据引理2.4知 是超可解群。
假设 。因为 是P中G-不变子群,且V是P中唯一极大G-不变子群,所以 ,则P/V同构于 的G-主因子,因此 。因此假设 ,则 ,且P最多有2个类。令 是P中所有p阶元生成的子群,所以 。
假设 ,令 是P/V的任意极小子群。因为 , 是p阶群且在G中S-置换,因此P/V的所有极小子群在G/V中S-置换。因此根据引理2.5 2)知P/V是p阶群。
假设 ,则 ,因此 是初等交换群。又因为 是G-超可解群,所以根据引理2.4知 是超可解群。若 -群平凡的作用在 上,则 -群平凡的作用在P上。则 是p-群。显然 。又因为P/V是G的p-主因子,且 ,所以 ,又因为 是超可解群,所以 是超可解群。根据引理2.1 4)知 是由一些p阶 -不变子群的直积生成,因此 是交换群且 。令 使得 ,显然 , ,则 是 的商群,因此 是交换群且 。对于 的任意 -主因子 。因为 一定是 的 -主因子,所以 是素数q阶且 。又因为 的Sylow p-子群平凡的作用在 上,所以也平凡的作用在 上。因为 ,所以 。因此 是交换群且 ,所以P/V是p阶群。得证。 □
定理3.2:设G是满足条件1.1的可解群且 ,若G所有极大子群链链长至少为 ,或者 ,则G是超可解群。
证明:假设G不是超可解群,且G是极小阶反例。令D是G唯一的极小正规子群,当 时,则根据引理2.9和引理2.11,可知G/D是超可解群。当 时,则G/D满足定理的所有条件,根据归纳法可知G/D是超可解群。如果G有不同的极小正规子群 ,则根据归纳法 都是超可解群。如果 时,因为G/D是超可解群。则G也是超可解群。当 时,设D是G唯一极小正规子群,则根据引理2.10知 且 ,其中A是G的极大子群。
如果G的任意极大子群链链长至少为 ,则 ;如果 ,则 。取P是A中极大正规幂零子群。则 ,又因为 ,所以 ,又因为 ,矛盾。
从而G是超可解的。 □
定理3.3:设G是满足条件1.1的可解群且 ,若 ,k是正整数, 表示G的幂零长,则 。
证明若 ,则 ,则根据定理3.2知G是超可解群,所以 。
若 ,令D是G的极小正规子群。若 ,则根据引理2.9和引理2.11知G/D是超可解群。所以 ;若 ,令 ,则 ,则G/D满足定理条件,G/D中所有权重为 的子群都是SS-拟正规子群,并且 ,则根据归纳法知 。假设 且 是G唯一的极小正规子群,所以 ,其中A是G的极大子群。令 ,且 。若 ,则A中有子群M在G中SS-拟正规,则 ,矛盾。所以 ,因为 。则 , ,因此 。根据归纳法可知 ,所以 。□
基金项目
文章引用
徐 宁. n-极小子群是SS-拟正规的有限群的结构
Finite Groups Structure with n-Minimal Subgroups SS-Quasinormal[J]. 理论数学, 2019, 09(05): 647-652. https://doi.org/10.12677/PM.2019.95086
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NOTES
广西研究生教育创新计划项目(XYCSZ2019086)。