Jørgensen不等式的推广 The Generalization of Jørgensen’s Inequality

doi:10.12677/PM.2021.111013

Pure Mathematics
Vol. 11 No. 01 ( 2021 ), Article ID: 39955 , 4 pages
10.12677/PM.2021.111013

Jørgensen不等式的推广

李娜

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河南大学数学与统计学院，河南开封

收稿日期：2020年12月14日；录用日期：2021年1月15日；发布日期：2021年1月25日

摘要

假设Möbius变换f和g生成一个离散群，我们得到下列Jørgensen不等式的推广：1：若 $〈 f, g 〉$ 为M的离散子群且 $γ \neq β$ ，则 $| γ + 1 | + | β + 1 | \geq 0.065 \dots$ ；2：若 $〈 f, g 〉$ 为M的离散子群且 $β \neq - 3$ ，则 $| γ + 1 | + | β + 3 | \geq 0.528 \dots$ ；3：若 $〈 f, g 〉$ 为M的离散子群且 $β \neq - 4$ ，则 $| γ + 1 | + | β + 4 | \geq 0.246 \dots$ 。

关键词

离散群，Möbius变换，Jørgensen不等式

The Generalization of Jørgensen’s Inequality

Na Li

Department of Mathematics and Statistics, Henan University, Kaifeng Henan

Received: Dec. 14^th, 2020; accepted: Jan. 15^th, 2021; published: Jan. 25^th, 2021

ABSTRACT

Assume that Möbius transformation f and g genenrate a discrete group. We obtain the following generalizations of Jørgensen’s inequalities: 1: If $〈 f, g 〉$ is a subgroup of M and $γ \neq β$ , then $| γ + 1 | + | β + 1 | \geq 0.065 \dots$ ; 2: If $〈 f, g 〉$ is a subgroup of M and $β \neq - 3$ , then $| γ + 1 | + | β + 3 | \geq 0.528 \dots$ ; 3: If $〈 f, g 〉$ is a subgroup of M and $β \neq - 4$ , then $| γ + 1 | + | β + 4 | \geq 0.246 \dots$ .

Keywords:Discrete Group, Möbius Transformation, Jørgensen’s Inequality

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

令f和g为两个Möbius变换， $〈 f, g 〉$ 为其生成的离散非初等群，则它满足Jørgensen不等式 [1]

$| t r (f g f^{- 1} g^{- 1}) - 2 | + | t r^{2} (f) - 4 | \geq 1.$

Jørgensen不等式一个重要的作用是可以判断一个二元生成群是否为离散群。历年来，很多学者对其进行研究，并且得到了一系列Jørgensen不等式的推广。这些推广主要分为两类。一类是当限定 $| t r^{2} (f) - 4 |$ 的取值范围时，探讨 $| t r (f g f^{- 1} g^{- 1}) - 2 |$ 的取值范围，参见 [2] 和 [3]。另一类是固定不等式中 $| t r (f g f^{- 1} g^{- 1}) - 2 |$ 的形式，变换 $| t r^{2} (f) - 4 |$ 中的常数项，来得到两项之和的取值范围，参见 [2] 和 [4]。

本文将在已有结果的基础上，通过固定 $| t r (f g f^{- 1} g^{- 1}) - 1 |$ 的形式，变换 $| t r^{2} (f) - a |$ 中a的取值，来得到几个不等式的推广。

本文的安排如下：在第2节中，我们将给出本文将用到的主要定义、记号及在证明本文主要结果中用到的经典定理。在第3节中，我们将给出本文的主要结果及证明。

2. 预备知识

令M表示扩充复平面 $\hat{ℂ} = ℂ \cup {\infty}$ 上的所有的Möbius变换构成的群。设Möbius变换

$f = \frac{a z + b}{c z + d} \in M, a d - b c = 1$

对应的矩阵为

$A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \in S L (2, ℂ),$

并且令 $t r (f) = t r (A)$ ，其中 $t r (A) = a + d$ 表示矩阵A的迹。

设f和g为Möbius变换，令

$γ (f, g) = t r (f g f^{- 1} g^{- 1}) - 2,$

$β (f) = t r^{2} (f) - 4,$

$β (g) = t r^{2} (g) - 4.$

我们称 $(γ (f, g), β (f), β (g))$ 为二元生成群 $〈 f, g 〉$ 的参数，并记为 $p a r (〈 f, g 〉)$ 。这些参数并不依赖于 $S L (2, ℂ)$ 中f和g的矩阵表示的选择。当 $γ (f, g) \neq 0$ 时，由 [5] 可知 $p a r (〈 f, g 〉)$ 可以在共轭等价的意义下唯一确定 $〈 f, g 〉$ 。

M中的元素除去单位变换外可以分为三类：

1) f是椭圆元素当且仅当 $β (f) \in [- 4, 0)$ ；

2) f是斜驶元素当且仅当 $β (f) \notin [- 4, 0]$ ；

3) f是抛物元素当且仅当 $β (f) = 0$ 。

Cao. C在 [2] 中给出了关于二元生成离散群的如下必要条件。我们将利用如下定理及迹的相关知识，得到我们的主要结果。

定理2.1 [2]：假设 $〈 f, g 〉$ 是M的一个离散子群，并且 $γ (f, g) \neq 0$ ， $γ (f, g) \neq β (f)$ 。若f不是二阶的椭圆元素，则

$| γ (f, g) (γ (f, g) - β (f)) | \geq 2 - 2 \cos (\frac{π}{7}) = 0.198 \dots,$

$| γ (f, g) (β (f) + 4) | \geq 2 - 2 \cos (\frac{π}{7}) = 0.198 \dots,$

$| (β (f) - γ (f, g)) (β (f) + 4) | \geq 2 - 2 \cos (\frac{π}{7}) = 0.198 \dots .$

并且上述每一个不等式都是最优的。

3. 主要结果

本节我们将通过选取合适的子群，利用定理2.1及不等式求最值的方法，来得到Jørgensen不等式的推广。为了书写方便，我们记 $γ = γ (f, g), β = β (f)$ 。

定理3.1若 $〈 f, g 〉$ 为M的离散子群且 $γ \neq β$ ，则 $| γ + 1 | + | β + 1 | \geq 0.065 \dots$ 。

证明：因为 $〈 f, g 〉$ 为离散群，所以其子群 $〈 f^{2}, g 〉$ 也为离散群。根据定理2.1，我们知道若 $γ (f^{2}, g) \neq 0$ ， $γ (f^{2}) \neq β (g)$ 且 $f^{2}$ 不为二阶椭圆元素，又由

$γ (f^{2}, g) = γ (β + 4),$

$β (f^{2}) = β (β + 4)$

得到当 $γ \neq 0; β \neq - 2, - 4; γ \neq β$ 时，

$| (β (f^{2}) - γ (f^{2}, g)) (β (f^{2}) + 4) | = | (γ - β) (β + 4) {(β + 2)}^{2} | \geq 0.198 \dots,$

从而我们得到

$| γ + 1 | + | β + 1 | \geq 0.065 \dots .$

而当 $γ = 0; β = - 2, - 4$ 时，上式显然成立。定理得证。

定理3.2若 $〈 f, g 〉$ 为M的离散子群且 $β \neq - 3$ ，则 $| γ + 1 | + | β + 3 | \geq 0.528 \dots$ 。

证明：我们考虑 $〈 f, g 〉$ 的子群 $〈 f^{3}, g 〉$ 。由

$γ (f^{3}, g) = γ {(β + 3)}^{2},$

$β (f^{3}) = β {(β + 3)}^{2}$

及定理2.1，我们可得当 $γ \neq 0; β \neq - 1, - 3, - 4; γ \neq β$ 时，

$| γ (f^{3}, g) (γ (f^{3}, g) - β (f^{3})) | = | γ (γ - β) {(β + 3)}^{4} | \geq 0.198 \dots,$

从而我们得到

$| γ + 1 | + | β + 3 | \geq 0.528 \dots .$

而当 $γ = 0; β = - 1, - 4; γ = β$ 时，上式显然成立。定理得证。

定理3.3若 $〈 f, g 〉$ 为M的离散子群且 $β \neq - 4$ ，则 $| γ + 1 | + | β + 4 | \geq 0.246 \dots$ 。

证明：类似定理3.1的证明，我们考虑 $〈 f, g 〉$ 的子群 $〈 f^{2}, g 〉$ ，若 $γ (f^{2}, g) \neq 0$ ， $γ (f^{2}) \neq β (g)$ 且 $f^{2}$ 不为二阶椭圆元素，得到当 $γ \neq 0; β \neq - 2, - 4; γ \neq β$ 时，

$| γ (f^{2}, g) (γ (f^{2}, g) - β (f^{2})) | = | γ {(β + 4)}^{2} (γ - β) | \geq 0.198 \dots .$

从而我们得到

$| γ + 1 | + | β + 4 | \geq 0.246 \dots .$

而当 $γ = 0; β = - 2; γ = β$ 时，上式显然成立。定理得证。

注：事实上，在证明上述不等式的过程中，我们对于子群和约束条件的选取是有充分考量的。为了得到理想的全局下界做了多番尝试。虽然上述不等式不一定是最优的，但是也依然提供给我们一种得到Jørgensen不等式推广的方法。

基金项目

感谢河南省高等学校重点科研项目计划(项目编号：18A110015)的支持。

文章引用

李娜. Jørgensen不等式的推广
The Generalization of Jørgensen’s Inequality[J]. 理论数学, 2021, 11(01): 90-93. https://doi.org/10.12677/PM.2021.111013

参考文献

1. Jørgensen, T. (1976) On Discrete Groups of Möbius Transformations. American Journal of Mathematics, 98, 737-749. https://doi.org/10.2307/2373814

2. Cao, C. (1995) Some Trace Inequalities for Discrete Groups of Möbius Transformations. Proceedings of the American Mathematical Society, 123, 3807-3815. https://doi.org/10.2307/2161910

3. Gehring, F.W. and Martin, G.J. (1991) Some Universal Constraints for Discrete Möbius Groups. Springer, New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0967-6_25

4. Tan, D. (1989) On Two-Generator Discrete Groups of Möbius Transformations. Proceedings of the American Mathematical Society, 106, 763-770. https://doi.org/10.2307/2047433

5. Gehring, F.W. and Martin, G.J. (1989) Stability and Extremality in Jørgensen’s Inequality. Complex Variables, Theory and Application, 12, 277-282. https://doi.org/10.1080/17476938908814372

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