Pure Mathematics
Vol.
13
No.
12
(
2023
), Article ID:
77893
,
6
pages
10.12677/PM.2023.1312361
型仿射Weyl群中的Φ值
王雨露,王利萍*,何厚智
北京建筑大学理学院,北京
收稿日期:2023年11月10日;录用日期:2023年12月12日;发布日期:2023年12月21日
摘要
半线性方程组是计算仿射Weyl群Kazhdan-Lusztig系数的重要工具,而Φ值是求解半线性方程组的一个重要变量。对于Φ值的计算,成为研究Kazhdan-Lusztig系数的关键环节。本文综合利用李代数表示理论中的权格、根格,及计算机编程,对于
型仿射Weyl群,计算得出了全部的Φ值。这些结果对于进一步计算该群的某些Kazhdan-Lusztig系数奠定了基础。
关键词
仿射Weyl群,半线性方程组,Φ值
The Value of Φ in the Affine Weyl Group of Type
Yulu Wang, Liping Wang*, Houzhi He
School of Science, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing
Received: Nov. 10th, 2023; accepted: Dec. 12th, 2023; published: Dec. 21st, 2023
ABSTRACT
A system of semi-linear equations is an important tool for calculating the Kazhdan-Lusztig coefficients of affine Weyl groups, and the value of Φ is an important variable in solving the system of semi-linear equations. The calculation of values of Φ has become a key link in studying the Kazhdan-Lusztig coefficients. In this article, by comprehensively using the weight lattice, root lattice in the representation theory of Lie algebras, and computer programming, we get all values of Φ for affine Weyl group of type
. These results lay the foundation for further calculating certain Kazhdan-Lusztig coefficients of the group.
Keywords:Affine Weyl Group, Semi-Linear Equation System, The Value of Φ
Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
Kazhdan-Lusztig多项式是Kazhdan-Lusztig理论中一个非常核心的研究对象,备受人们的关注。当我们在考虑Weyl群或者仿射Weyl群时,它们的Kazhdan-Lusztig多项式的系数在表示理论及李理论中有着非常深刻的意义。尽管Kazhdan-Lusztig多项式有一个递归公式,但是其计算过程十分复杂,很难对全体Kazhdan-Lusztig多项式的系数进行计算,群的秩越大计算也更为困难。1996年,Lusztig [1] 在验证W-图的非局部有限性时,用半线性方程组算出了
型仿射Weyl群的一类Kazhdan-Lusztig系数,其中Φ值为半线性方程组里一个重要的变量。2008年,王利萍 [2] 计算了
型仿射Weyl群的Φ值;2015年,郭鹏飞 [3] 计算了
型仿射Weyl群的Φ值;2017年,冯鸽等人 [4] 研究了
型仿射Weyl群的左胞腔图和特异对合元图;2019年罗新等人 [5] [6] 计算出了
型仿射Weyl群的Φ值及部分Kazhdan-Lusztig系数;2021年以来王利萍团队 [7] [8] 对
、
型的李代数进行了张量积分解。
本文主要分为3个部分,第一部分介绍了
型仿射Weyl群的基本结构;第二部分计算出了全部Φ值;第三部分对
型仿射Weyl群Φ值的计算工作进行了总结,并对Kazhdan-Lusztig系数的研究工作进行了展望。
2.
型仿射Weyl群的结构
对于
型仿射Weyl群W,其生成元集
,Dynkin图如图1所示。
Figure 1. The Dynkin diagram of affine Weyl group of type
图1.
型仿射Weyl群的Dynkin图
任意两生成元的乘积阶数
有以下关系:
为了方便,对于W中的每个元
,可用下标
来表示。
对应的
型Weyl群为
,则:
对应的根系为R,支配权集为
,根格为
,令
为
对应的单根(
),则
,Z为整数集。
正根集为:
。
基本支配权为
,则支配权集
,N为自然数集合,且有 [9] :
3. 关于Φ值的计算
设v是一个变量,
为一个整系数的Laurent多项式环。令
为由
定义的对合。
型仿射Weyl群W作为一种特殊的Coxeter群,有Bruhat序“≤”。令
,Lusztig [1] 指出从
到
在W中的双陪集集合有一个1-1对应。对于每个
,在
中都有唯一一个最短元
,同样也有唯一一个最长元
。对于任意的
,有
当且仅当
,如果
为
中元素的非负线性组合则
。
根据文献 [1] 中Lusztig给出的Proposition 7与Corollary 11,即
引理1 [1] 对于任意的
,有:
.
其中
为w的长度,
的表达式为:
Kazhdan-Lusztig 系数
,其中
为
在
中的系数。
子集合
,令
。可知
,令
,其中
。对于任意的
,有公式 [1] :
. (1)
显然
。
如果对于任意的子集合
,都有
,则
。
命题2对于任意的
,存在子集合
满足
,有:
.
证明:已知
为
的子集,设
中
的补集为
,令
,则
。
假设
中有j个子集满足
,同样也有j个子集满足
,
表示满足条件的某个子集,其补集用
表示,因此根据式(2),可得:
,
。
因为
为
在
中的补集,可得:
。所以
。
该命题即证。
用命题2再结合Mathematica对
型仿射Weyl群不同正根的和进行计算,从而根据Φ值的定义分类得出:
定理3
型仿射Weyl群里的Φ值:
4. 结论
本文以
型仿射Weyl群为研究对象,计算了半线性方程组里的Φ值,以下为主要结论:
1) 根据Φ的定义,得出了
与
之间的关系。这对求得任意类型的Weyl群的Φ值都节省了大量计算精力。
2) 对于任意
,计算得出了全部Φ值,并对Φ值进行了分类总结。
接下来将利用得出的Φ值,对半线性方程组中的
,
进行计算,从而求解出
型仿射Weyl群的部分Kazhdan-Lusztig系数。但是本文在用Mathematica计算Φ值时,并没有编写出直接求得Φ值的程序,只是对不同正根的和进行了求解,再进行分类整理得出Φ值。
基金项目
北京市组织部“高创计划”青年拔尖人才培养计划(21351918007)。
文章引用
王雨露,王利萍,何厚智. C~3型仿射Weyl群中的Φ值
The Value of Φ in the Affine Weyl Group of Type C~3[J]. 理论数学, 2023, 13(12): 3475-3480. https://doi.org/10.12677/PM.2023.1312361
参考文献
- 1. Lusztig, G. (1996) Nonlocal Finiteness of a W-Graph. Representation Theory of the American Mathematical Society, 1, 25-30. https://doi.org/10.1090/S1088-4165-97-00003-4
- 2. 王利萍. 型和 型仿射Weyl群的Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数[D]: [硕士学位论文]. 北京: 中国科学院研究生院(数学与系统科学研究院), 2008.
- 3. 郭鹏飞. 型仿射Weyl群的Kazhdan-Lusztig多项式的首次系数[D]: [硕士学位论文]. 广州: 华南理工大学, 2015.
- 4. 冯鸽, 王利萍. 型仿射Weyl群的左胞腔图和特异对合元图[J]. 北京建筑大学学报, 2017, 33(1): 53-58.
- 5. 罗新, 王利萍, 魏玉丽. 型仿射Weyl群中 的计算[J]. 北京建筑大学学报, 2019, 35(3): 74-82.
- 6. 罗新, 王利萍, 代佳华, 等. 型仿射Weyl群的Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数[J]. 北京建筑大学学报, 2019, 35(4): 51-58.
- 7. 魏玉丽, 王利萍, 代佳华. 型李代数的张量积分解[J]. 北京建筑大学学报, 2021, 37(1): 80-86.
- 8. 代佳华, 王利萍, 盛昱杰, 等. 型李代数的张量积分解[J]. 北京建筑大学学报, 2022, 38(1): 106-112.
- 9. 汉弗莱斯. 李代数及其表示理论导引[M]. 陈志杰, 译. 北京: 世界图书出版公司, 2011.
NOTES
*通讯作者。