一类非局部边值问题正解的存在性 The Existence of Positive Solutions for a Nonlocal Boundary Value Problem

doi:10.12677/AAM.2018.78126

Advances in Applied Mathematics
Vol.07 No.08(2018), Article ID:26645,10 pages
10.12677/AAM.2018.78126

The Existence of Positive Solutions for a Nonlocal Boundary Value Problem

Yingli Zhu, Xiujie Yu

●How to Cite this Article

School of Mathematics and Statistics, Shandong Normal University, Jinan Shandong

Received: Aug. 10^th, 2018; accepted: Aug. 22^nd, 2018; published: Aug. 29^th, 2018

ABSTRACT

This paper discusses the boundary value problem with nonlocal integral boundary conditions

${\begin{array}{l} u^{″} (t) + q (t) f (t, u (t)) = 0, 0 < t < 1, \\ a u (0) - b u^{'} (0) = α [u], \\ u^{'} (1) = β [u], \end{array}$

where $α [u] = \int_{0}^{1} u (t) d A (t)$ , $β [u] = \int_{0}^{1} u (t) d B (t)$ ; A and B are functions of bounded variation; $a > 0$ , $b > 0$ ; the nonlinearity $f : [0, 1] \times [0, + \infty) \to R$ is continuous and is allowed to change sign. According to the fixed point theorem in double cones, we obtain that there exists at least two positive solutions. And according to three-solution theorem, we obtain that there exists at least three positive solutions.

Keywords:Existence, Nonlocal Boundary Value Problem, Fixed Point Theorem, Positive Solutions

一类非局部边值问题正解的存在性

朱应丽，于秀洁

山东师范大学数学与统计学院，山东济南

收稿日期：2018年8月10日；录用日期：2018年8月22日；发布日期：2018年8月29日

摘要

考虑非线性非局部边值问题

${\begin{array}{l} u^{″} (t) + q (t) f (t, u (t)) = 0, 0 < t < 1, \\ a u (0) - b u^{'} (0) = α [u], \\ u^{'} (1) = β [u], \end{array}$

其中边值条件 $α [u] = \int_{0}^{1} u (t) d A (t)$ ， $β [u] = \int_{0}^{1} u (t) d B (t)$ ；A，B是有界变差函数； $a > 0$ ， $b > 0$ ；非线性项 $f : [0, 1] \times [0, + \infty) \to R$ 是连续的且允许变号的。本文根据两个锥上的不动点定理，讨论得到以上问题至少存在两个正解。并且利用三解定理，讨论得到以上问题至少存在三个正解。

关键词 :存在性，非局部边值问题，不动点定理，正解

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本文考虑如下非线性非局部边值问题

${\begin{array}{l} u^{″} (t) + q (t) f (t, u (t)) = 0, 0 < t < 1, \\ a u (0) - b u^{'} (0) = α [u], \\ u^{'} (1) = β [u], \end{array}$ (1.1)

其中边值条件(BCs)是关于线性泛函，且由Riemann-Stieltjes积分给出：

$α [u] = \int_{0}^{1} u (t) d A (t), β [u] = \int_{0}^{1} u (t) d B (t) .$

2000年，Guidotti和Merino在文献 [1] 中研究了

${\begin{array}{l} - u^{″} (t) = y (t), t \in (0, 1), \\ u^{'} (0) = 0, u^{'} (1) + β u (0) = 0 (β > 0) . \end{array}$

该方程代表了一个在稳定状态下的长度为1的加热棒模型。它在时是绝缘的，加热或冷却操作是在 $t = 1$ 处的控制器根据传感器所反馈回的 t=0 时的温度来进行的。

2006年，Webb和Infante在文献 [2] 中研究了以下方程正解的存在性问题：

${\begin{array}{l} - u^{″} (t) = g (t) f (t, u), 0 < t < 1, \\ u^{'} (0) = 0, β u^{'} (1) + u (η) = 0. \end{array}$

该方程也是一个具有稳定解的加热棒模型，不同的是，温度变化是由 $t = 1$ 处控制器通过任意点 t =η 处传感器温度变化情况反馈控制的，而不是 $t = 0$ 处。该文根据不动点指数理论，讨论了随参数的变化多个非平凡解的存在性情况。

2012年，Webb在文献 [3] 中研究了温控器模型正解的存在性：

${\begin{array}{l} - u^{″} (t) = g (t) f (t, u), 0 < t < 1, \\ u^{'} (0) = α [u], u^{'} (1) + β [u] = 0, \end{array}$

其中， $α [u] = \int_{0}^{1} u (t) d A (t), β [u] = \int_{0}^{1} u (t) d B (t)$ 。这是一类更为一般的边值条件，传感器为线性泛函。由于此时的传感器覆盖了加热棒的某一些点或某一连续区间，所以更符合实际。该文通过研究其格林函数的性质，讨论了以上问题何时存在多个正解以及何时不存在正解。

2015年，Infante在文献 [4] 中研究了Neumann型非局部边值问题

${\begin{array}{l} u^{″} (t) + f (t, u (t)) = 0, t \in [0, 1], \\ u^{'} (0) = α [u], \\ u^{'} (1) = β [u] . \end{array}$

该文通过研究摄动Hammerstein积分方程

$(T u) (t) = γ (t) α [u] + δ (t) β [u] + \int_{0}^{1} k (t, s) g (s) f (s, u (s)) d s,$

利用不动点指数理论，得到以上问题存在多个非平凡解。

本文在第二节，给出了相关的预备知识和引理。在第三节，我们分别通过利用两个锥上的不动点定理和Leggett-Williams三解定理得到了方程两个正解和三个正解的存在性结果。

2. 预备知识和引理

本文中，我们作如下假设：

(H₁) $a > 0, b > 0$ ；

(H₂) $f \in C ([0, 1] \times [0, \infty), R), f (t, 0) > 0, \forall t \in [0, 1]$ ；

(H₃) $A (t), B (t)$ 是有界变差函数，且 $\int_{0}^{1} d A (t) ≜ α [\hat{1}] > 0, \int_{0}^{1} d B (t) ≜ β [\hat{1}] > 0$ 。

对于问题(1.1)，我们将其转化为对以下相应Hammerstein积分方程解的存在性：

其中 $G (t, s)$ 为以下问题的Green函数：

${\begin{array}{l} u^{″} (t) = 0, t \in (0, 1), \\ a u (0) - b u^{'} (0) = 0, \\ u^{'} (1) = 0. \end{array}$

即

$G (t, s) = {\begin{array}{l} \frac{1}{a} (a s + b), s \leq t, \\ \frac{1}{a} (a t + b), t \leq s . \end{array}$

则

$G_{t} (t, s) = {\begin{array}{l} 0, s \leq t, \\ 1, t \leq s, \end{array}$

且

$\frac{b}{a + b} G (s, s) \leq G (t, s) \leq G (s, s), \forall t, s \in [0, 1] .$

令 $X = C [0, 1] = {u : u 为 [0, 1] 上的连续函数}$ 。对 $u \in X$ ，定义

$‖ u ‖ = \max_{t \in [0, 1]} | u (t) |,$

则 $(X, ‖ \cdot ‖)$ 为一Banach空间。 $K = {u∈ X : u (t ) \geq 0}$ ，

考虑

$K^{'} = {u \in X : u (t) \geq \frac{b}{a + b} ‖ u ‖},$

显然， $K, K^{'} \subseteq X$ 为X中的两个锥，且 $K^{'} \subseteq K$ 。对 $\forall u \in K^{'}$ ，定义

$θ (u) = \min_{t \in [0, 1]} | u (t) | .$

令 ${(\cdot)}^{+} = \max {\cdot, 0}$ ，我们定义算子 $T, A, T^{*}$ 如下：

$T : K \to K, A : K \to X, T^{*} : K^{'} \to K^{'},$

使

$(T u) (t) = {[\frac{1}{a} α [u] + (\frac{b}{a} + t) β [u] + \int_{0}^{1} G (t, s) q (s) f (s, u (s)) d s]}^{+}, t \in [0, 1],$

$(T^{*} u) (t) = \frac{1}{a} α [u] + (\frac{b}{a} + t) β [u] + \int_{0}^{1} G (t, s) q (s) f^{+} (s, u (s)) d s, t \in [0, 1] .$

注1：若 $Φ : X \to X$ 为一泛函，，则 $T = Φ \circ A$ 。

引理2.1： $T^{*} : K^{'} \to K^{'}$ 为全连续算子。

证明：首先我们证明 $T^{*} : K^{'} \to K^{'}$ 。

对 $\forall u \in K^{'}$ ，有 $T^{*} u \in C [0, 1]$ ，且

$\begin{matrix} (T^{*} u) (t) = \frac{1}{a} α [u] + (\frac{b}{a} + t) β [u] + \int_{0}^{1} G (t, s) q (s) f^{+} (s, u (s)) d s \\ \geq \frac{1}{a} α [u] + (\frac{b}{a} + t) β [u] + \frac{b}{a + b} \int_{0}^{1} G (s, s) q (s) f^{+} (s, u (s)) d s \\ \geq \frac{b}{a + b} (\frac{1}{a} α [u] + (\frac{b}{a} + t) β [u] + \frac{b}{a + b} \int_{0}^{1} G (s, s) q (s) f^{+} (s, u (s)) d s) \\ \geq \frac{b}{a + b} ‖ T^{*} u ‖ . \end{matrix}$

所以， $T^{*} : K^{'} \to K^{'}$ 。

再由f的连续性及 $f^{+}$ 的定义，通过Arzela-Ascoli定理，我们知为全连续算子。

引理2.2：函数 $u (t)$ 是三点边值问题(1.1)的正解，当且仅当 $u (t)$ 是算子A在锥中的不动点。

引理2.3：如果算子 $A : K \to X$ 是全连续的，那么算子 $T = Φ \circ A : K \to K$ 是全连续的。

注2：根据f的连续性， $A : K \to X$ 是全连续的，因此由引理2.2知，算 $T : K \to K$ 也是全连续的。

引理2.4：如果u是T的不动点，那么u也是A的不动点。

证明：假设u是T的不动点，则对 $\forall t \in [0, 1]$ ， $A u (t) \geq 0$ ，u也是A的不动点。

为此，我们只需要证如果 $(T u) (t) = u (t), \forall t \in [0, 1]$ ，那么

$(A u) (t) \geq 0, \forall t \in [0, 1] .$

反之，如果 $\exists t_{0} \in [0, 1]$ ，使得。令 $(t_{1}, t_{2})$ 为包含 $t_{0}$ 点且使得的最大区间，则 $u (t) = 0, t \in [t_{1}, t_{2}]$ ，从而

${(A u)}^{' '} (t) = - q (t) f (t, 0) < 0, t \in (t_{1}, t_{2}) .$

1) $t_{1} = 0$ 。

若 $t_{2} < 1$ ，则 $(A u) (t_{2}) = 0$ ，且 $(A u) (t) < 0, t \in (t_{1}, t_{2})$ ，而时， ${(A u)}^{' '} (t) < 0$ ，即 $A u$ 在 $[t_{1}, t_{2}]$ 上为凹函数，所以 ${(A u)}^{'} (t) > 0$ 。但又

$α (A u) (0) - b {(A u)}^{'} (0) = α [u],$

可知

$(A u) (0) = \frac{b {(A u)}^{'} (0) + α [u]}{b} > 0.$

由此得出矛盾。

若 $t_{2} = 1$ ，此时，且，故

$(A u) (t) = \frac{1}{a} α [0] + (\frac{b}{a} + t) β [0] + \int_{0}^{1} G (t, s) q (s) f (s, 0) d s, t \in [0, 1] .$

由此也得出矛盾。

2) $t_{1} > 0$ 。

若 $t_{2} < 1$ ，则 $(A u) (t_{1}) = 0, (A u) (t_{2}) = 0$ ，且 $(A u) (t) < 0, t \in (t_{1}, t_{2})$ 于是，

${(A u)}^{' '} (t) = - q (t) f (t, 0) < 0, t \in (t_{1}, t_{2})$ 。

所以，

$(A u) (t) > (A u) (t_{1}) = (A u) (t_{2}) = 0.$

矛盾。

若 $t_{2} = 1$ ，则 $(A u) (t_{1}) = 0, (A u) (t) < 0, t \in (t_{1}, t_{2})$ ，于是

$u (t) = 0, t \in [t_{1}, t_{2}], {(A u)}^{' '} (t) = - q (t) f (t, 0) < 0, t \in (t_{1}, t_{2}) .$

从而 ${(A u)}^{'} (t)$ 单调递减，而我们知 ${(A u)}^{'} (t_{1}) \leq 0$ ，从而 ${(A u)}^{'} (t) < 0, t \in (t_{1}, 1]$ 。这与 ${(A u)}^{'} (1) = β [u] \geq 0$ 矛盾。

引理2.5 [5] (Leggett-Williams三解定理)：设是全连续的， a 是P上的一个非负连续凹泛函，满足当 $u \in {\bar{P}}_{c}$ 时， $α (u) \leq ‖ u ‖$ ，假设存在 $0 < a < b < d \leq c$ ，使得

(C₁) 当 ${u \in P (a, b, d) : α (u) > b} \neq \emptyset$ ，且 $u \in P (a, b, d)$ 时，恒有 $α (A u) > b$ ；

(C₂) 当 $u \in {\bar{P}}_{a}$ 时，恒有 $‖ A u ‖ < a$ ；

(C₃) 当 $u \in P (a, b, c)$ 且 $‖ A u ‖ > d$ 时，恒有 $α (A u) > b$ ，

则A至少有三个不动点 $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ ，满足：

引理2.6 [6] ：令X为一实Banach空间，其上的范数为 $‖ \cdot ‖$ ， $K, K^{'} \subset X$ 为两个锥，且 $K \subset K^{'}$ 。假设 $T : K \to K, T^{*} : K^{'} \to K^{'}$ 为两个全连续算子，且 $θ : K^{'} \to R^{+}$ 为一连续泛函，满足对任意 $X \in K^{'}$ ，有 $θ (x) \leq ‖ x ‖ \leq M θ (x)$ ，其中 $M > 1$ 是一个常数。若存在常数 $b > a > 0$ ，使得

(M₁) $‖ T x ‖ < a, x \in \partial K_{a}$ ；

(M₂) $‖ T^{*} x ‖ < a, x \in \partial {K^{'}}_{a}$ ，且 $θ (T^{*} x) > b, x \in \partial K^{'} (b)$ ；

(M₃) $T x = T^{*} x, x \in {K^{'}}_{a} (b) \cap {x : T^{*} x = x}$ ，

则T在K中至少有两个不动点 $x_{1}, x_{2}$ ，满足

$0 \leq ‖ x_{1} ‖ < a < ‖ x_{2} ‖, θ (x_{2}) < b .$

3. 主要结果

定理3.1：假设条件(H₁)、(H₂)、(H₃)成立，又设存在正数 $d, M, m, r, R$ 满足 $0 < r < \frac{b}{a + b} R < R$ ，且使得f满足如下假设：

(H₄) $f (t, u) \geq 0, u \in [d, R]$ ；

(H₅) $| f (t, u) | \leq M r, (t, u) \in [0, 1] \times [0, r]$ ；

(H₆) $| f (t, u) | \geq m r, (t, u) \in [0, 1] \times [\frac{b}{a + b} R.R]$ ；

(H₇) $\frac{α [\hat{1}]}{a} + (1 + \frac{b}{a}) β [\hat{1}] + M \int_{0}^{1} G (s, s) q (s) d s < 1$ ；

(H₈) $\frac{b}{a + b} (\frac{α [\hat{1}]}{a} + \frac{b}{a} β [\hat{1}] + m \int_{0}^{1} G (s, s) q (s) d s) > 1$ ；

(H₉) $d < \frac{b}{a + b} R$ ，

则边值问题(1.1)至少存在两个正解 $u_{1}, u_{2}$ 满足

$0 < ‖ u_{1} ‖ < r < ‖ u_{2} ‖, θ (u_{2}) < \frac{b}{a + b} R .$

证明：对任意 $u \in \partial K_{r}$ ，

$‖ T u ‖ = \max_{t \in [0, 1]} {[\frac{1}{a} α [u] + (\frac{b}{a} + t) β [u] + \int_{0}^{1} G (t, s) q (s) f (s, u (s)) d s]}^{+},$

由假设(H₅)、(H₇)有

$\begin{matrix} ‖ T u ‖ = \max_{t \in [0, 1]} \max {\frac{1}{a} α [u] + (\frac{b}{a} + t) β [u] + \int_{0}^{1} G (t, s) q (s) f^{+} (s, u (s)) d s, 0} \\ \leq \frac{α [\hat{1}]}{a} r + (1 + \frac{b}{a}) β [\hat{1}] r + M r \int_{0}^{1} G (s, s) q (s) d s \\ = (\frac{α [\hat{1}]}{a} + (1 + \frac{b}{a}) β [\hat{1}] + M \int_{0}^{1} G (s, s) q (s) d s) r \\ < r . \end{matrix}$

故引理2.6中条件(M₁)满足。

对任意 $u \in \partial {K^{'}}_{r}$ ，即 $‖ u ‖ = r$ ，由假设(H₅)、(H₇)有

$\begin{matrix} ‖ T^{*} u ‖ = \max_{t \in [0, 1]} {\frac{1}{a} α [u] + (\frac{b}{a} + t) β [u] + \int_{0}^{1} G (t, s) q (s) f^{+} (s, u (s)) d s, 0} \\ \leq \frac{α [\hat{1}]}{a} r + (1 + \frac{b}{a}) β [\hat{1}] r + M r \int_{0}^{1} G (s, s) q (s) d s \\ < r . \end{matrix}$

对 $u \in \partial K^{'} (\frac{b}{a + b} R)$ ，即 $u \in K^{'}$ ，且 $θ (u) = \min_{t \in [0, 1]} u (t) = \frac{b}{a + b} R$ ，我们有

$\frac{b}{a + b} R = θ (u) = \min_{t \in [0, 1]} u (t) \geq \frac{b}{a + b} ‖ u ‖,$

所以

$‖ u ‖ \leq R .$

而

$u (t) \geq \frac{b}{a + b} R, \forall t \in [0, 1],$

即

$\frac{b}{a + b} R \leq u (t) \leq ‖ u ‖ \leq R, \forall t \in [0, 1] .$

由假设(H₆)、(H₈)有

$\begin{matrix} (T^{*} u) (t) = \frac{1}{a} α [u] + (\frac{b}{a} + t) β [u] + \int_{0}^{1} G (t, s) q (s) f^{+} (s, u (s)) d s \\ \geq \frac{α [\hat{1}]}{a} \frac{b}{a + b} R + \frac{b}{a} β [\hat{1}] \frac{b}{a + b} R + m R \int_{0}^{1} \frac{b}{a + b} G (s, s) q (s) d s \\ = \frac{b}{a + b} (\frac{α [\hat{1}]}{a} + (1 + \frac{b}{a}) β [\hat{1}] + m \int_{0}^{1} G (s, s) q (s) d s) R \\ > R . \end{matrix}$

从而 $‖ T^{*} u ‖ > R$ 。

另一方面，由引理2.1知，

$θ (T^{*} u) = \min_{t \in [0, 1]} (T^{*} u) (t) \geq \frac{b}{a + b} ‖ T^{*} u ‖ > \frac{b}{a + b} R,$

故

$θ (T^{*} u) > \frac{b}{a + b} R .$

引理2.6中条件(M₂)满足。

最后，我们证明定理中的条件(M₃)满足。

对 $u \in \partial {K^{'}}_{r} (\frac{b}{a + b} R) \cap {u : T^{*} u = u}$ ，即 $u \in K^{'}$ ，且 $‖ u ‖ > r, θ (u) = \min_{t \in [0, 1]} u (t) < \frac{b}{a + b} R$ 。

另一方面，

$u (t) \geq \frac{b}{a + b} ‖ u ‖,$

故

$\frac{b}{a + b} ‖ u ‖ \leq \min_{t \in [0, 1]} u (t) < \frac{b}{a + b} R,$

得

$‖ u ‖ < R,$

所以

$\frac{b}{a + b} r \leq \frac{b}{a + b} ‖ u ‖ \leq u (t) \leq ‖ u ‖ < R .$

由假设(H₉)知，

$d < u (t) < R .$

通过假设(H₄)，我们有

$f^{+} (t, u (t)) = f (t, u (t)) .$

从而

$T u = T^{*} u .$

综上，引理2.6中的条件全部满足，则T有两个不动点 $u_{1}, u_{2}$ 满足

$0 \leq ‖ u_{1} ‖ < r < ‖ u_{2} ‖, θ (u_{2}) < \frac{b}{a + b} R .$

再由引理2.4知， $u_{1}, u_{2}$ 为A的不动点，从而边值问题(1.1)至少存在两个正解。证毕。

定理3.2：假设(H₁)~(H₄)成立，又设

( $H^{′ 5}$ ) 存在正数 $k, l$ 满足 $d < k < l \leq R$ ，使得

$f (t, u) \geq m k, (t, u) \in [0, 1] \times [k, R];$

( $H^{′ 6}$ ) $| f (t, u) | \leq M R, (t, u) \in [0, 1] \times [0, R]$ ；

( $H^{′ 7}$ ) $| f (t, u) | \leq M d, (t, u) \in [0, 1] \times [0, d]$ ；

( $H^{′ 8}$ ) $\frac{α [\hat{1}]}{a} + \frac{b}{a} β [\hat{1}] + m \int_{0}^{1} \frac{b}{a + b} G (s, s) q (s) d s > 1$ ；

( $H^{′ 9}$ ) $\frac{α [\hat{1}]}{a} + (1 + \frac{b}{a}) β [\hat{1}] + M \int_{0}^{1} G (s, s) q (s) d s < 1$ ，

则边值问题(1.1)至少存在三个正解。

证明：定义非负连续凹泛函 $θ : K \to [0, \infty)$ ，

$θ (u) = \min_{t \in [0, 1]} u (t), u \in K .$

显然，任取 $u \in {\bar{K}}_{R} \subset K$ , $θ (u) \leq ‖ u ‖$ 。

又若 $u \in {\bar{K}}_{R} \subset K$ ，有 $T u \in K$ 且 $‖ u ‖ \leq R$ 。由假设( $H^{′ 6}$ )、( $H^{′ 9}$ )有

$\begin{matrix} ‖ T u ‖ = \max_{t \in [0, 1]} {[\frac{1}{a} α [u] + (\frac{b}{a} + t) β [u] + \int_{0}^{1} G (t, s) q (s) f^{+} (s, u (s)) d s]}^{+} \\ \leq (\frac{α [\hat{1}]}{a} + (1 + \frac{b}{a}) β [\hat{1}] + M \int_{0}^{1} G (s, s) q (s) d s) R \\ < R . \end{matrix}$

故

$T : {\bar{K}}_{R} \to {\bar{K}}_{R} .$

下面验证引理2.5中的条件(C₁)~(C₃)。

1) 取 $u_{1} =1$ , t∈[0.1], $u_{1} \in K (θ, k, l) ， θ (u_{1}) = l > k .$ 故

${u \in K (θ, k, l) : θ (u) > k} \neq \emptyset .$

且任取 $u \in K (θ, k, l), k \leq θ (u) \leq u (t) \leq ‖ u ‖ \leq l$ ，即

$k \leq u (t) \leq l, t \in [0, 1] .$

所以，由假设( $H^{′ 5}$ )、( $H^{′ 8}$ )有

$\begin{matrix} θ (T u) = \min_{t \in [0, 1]} {[\frac{1}{a} α [u] + (\frac{b}{a} + t) β [u] + \int_{0}^{1} G (t, s) q (s) f^{+} (s, u (s)) d s]}^{+} \\ \geq \frac{α [\hat{1}]}{a} k + \frac{b}{a} β [\hat{1}] k + \frac{b}{a + b} \int_{0}^{1} G (s, s) q (s) d s \cdot m k \\ = (\frac{α [\hat{1}]}{a} + \frac{b}{a} β [\hat{1}] + m \frac{b}{a + b} \int_{0}^{1} G (s, s) q (s) d s) k \\ > k . \end{matrix}$

所以，引理中的条件(C₁)满足。

2) 对，由假设( $H^{′ 7}$ )、( $H^{′ 9}$ )有

所以，引理中的条件(C₂)满足。

3) 取 $u \in K (θ, k, R)$ ，且 $‖ T u ‖ > l$ ，则

$θ (T u) > k .$

所以，引理中的条件(C₃)满足。

由Leggett-Williams三解定理，T至少有三个不动点 $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ ，且满足

$‖ u_{1} ‖ < d < ‖ u_{3} ‖, θ (u_{3}) < k < θ (u_{2}) .$

再由引理2.4知， $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ 为A的不动点，从而边值问题(1.1)至少存在三个正解。证毕。

文章引用

朱应丽,于秀洁. 一类非局部边值问题正解的存在性
The Existence of Positive Solutions for a Nonlocal Boundary Value Problem[J]. 应用数学进展, 2018, 07(08): 1085-1094. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.78126

参考文献

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