ABSTRACT

The present paper gives a generalization of the Fresnel integral by using of Jordan integral and Cauchy integral theorem.

Keywords:Contour Integral, Jordan Inequality, -Function, Cauchy Integral Theorem

Fresnel积分的推广

李佳佳，梅雪峰^*

浙江外国语学院科学技术学院，浙江 杭州

收稿日期：2016年4月30日；录用日期：2016年5月16日；发布日期：2016年5月19日

摘 要

利用Jordan不等式及Cauchy积分定理，给出一类广义的Fresnel积分的值，它是通常定义下Fresnel积分的一种推广。

关键词 :围道积分，约当不等式，函数，Cauchy积分定理

1. 引言

广义积分与称为Fresnel积分 [1] ，它是以法国土木工程师兼物理学家Fresnel命名。Fresnel积分是物理光学衍射中常用的典型积分。它当今国际上的重大前沿基础科研领域–惯性约束聚变 [2] 、粒子场测试及在数字全息领域，如“形貌测量、变形测量、防伪、三维图像识别、医学诊断、数字全息显微 [3] 、去除数字全息零极像 [4] ”等方面有广泛的应用。因此对Fresnel积分进行推广是很有必要的。

定义1.1 [5] 设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数。若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任意分割，以及在其上任意选取点集，只要，就有

，

则称函数在区间上可积(或黎曼可积)；数称为在上的定可积(或黎曼积分)，记作

。

其中被积函数为，积分变量为，积分区间为，定积分下限和上限分别为。

定义1.2 [5] 设定义在无穷区间上的函数在任何有限区间上都可积。如果存在极限

，

那么称此极限为函数在上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记为

，

并称收敛。

定义1.3 [6] 含参量积分称为伽马函数(函数)。

定义1.4 [7] 设有曲线：

，。

以为起点，为终点，沿有定义。沿着从起点到终点的方向在上取分点：

。

把曲线分成若干个弧段

在到的每一段弧上任取一点。作成和数

，

其中。当分点无限增加时，这些弧段长度的最大值趋于0，如果和数的极限存在且等于J，那么称沿C (从a到b)可积，并称J为沿C (从a到b)的积分，并用记号来表示：

。

其中C称为积分路径。

定义1.5 [7] 整函数是指在整个复平面上都解析的函数。

定理1.

，

。

2. 引理

为了证明定理1，需要如下引理。

引理3.1 (约当不等式) [8] 当时，有。

引理3.2 [5] 若与都收敛，为任何常数，则

也收敛，且

。

引理3.3 [5] 若函数f在上可积，那么在上也可积，且

。

引理3.4 [7] 设沿曲线C连续，

，

其中C由曲线和衔接而成。

引理3.5 [7] 设(1)在单连通区域内连续；(2)在区域内沿任一围线的积分值都为0。若为在单连通区域内的任一原函数，则有

。

引理3.6 (柯西积分定理) [9] 被积函数在单连通区域平面上处处解析，它沿平面上任何闭曲线的积分为0。

引理3.7 (Gamma函数的递推公式) [6] ，。

引理3.8 (余元公式) [10] 。

特别的，

。

3. 定理的证明

证明 设辅助函数

，

它是一个整函数。并取如下图的辅助积分路径。

记，由引理1 (柯西积分定理)，得

。 (1)

首先考虑上的积分，记

，

因而

。

由引理3.3，得

。

令

，

则

。

由引理3.1和引理3.5，得

。

当时，有

，

因而

。

因此当时，有

。

令，有

。

得

由定义1.3，得

。

令

，

则

，

有

，

当时，(1)式变成

，

整理得

两个代数形式相同的复数，它们的实部和虚部都要对应相等，即得

，

。

注：当时，结论变为

，

，

这就是熟知的Fresnel积分，因此本结论Fresnel积分的一种推广。

文章引用

李佳佳,梅雪峰. Fresnel积分的推广
A Generalization of the Fresnel Integral[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 206-211. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63032

参考文献 (References)