西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州

收稿日期：2023年6月12日；录用日期：2023年7月17日；发布日期：2023年7月24日

摘要

讨论了多维非特征柯西问题，这是一个严重不适定的问题，即解(如果存在的话)不连续地依赖于数据。在简单地分析了频率空间中柯西问题的不适定性之后，提出了一种修正核方法来解决这个问题，从而产生了一个适定的问题，并在正则化参数的先验选择规则下，给出并证明了正则化解和精确解之间的误差估计。

关键词

非特征柯西问题，修正核方法，误差估计

A Modified Kernel Method for Solving a Non-Characteristic Cauchy Problem in Multiple Dimensions

Jingjing Han

College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou Gansu

Received: Jun. 12^th, 2023; accepted: Jul. 17^th, 2023; published: Jul. 24^th, 2023

ABSTRACT

We study a non-characteristic Cauchy problem in multiple dimensions. This is a severely ill-posed problem, i.e., the solution (if it exists) does not depend continuously on the data. After simply analyzing the ill-posedness of the Cauchy problem in the frequency space, we propose to solve this problem by modifying the kernel, which generates a well-posed problem. Error estimates between the exact solution and the regularized solution are given. At last, we employ some numerical examples to illustrate the behavior of the proposed methods.

Keywords:Non-Characteristic Cauchy Problem, Modified Kernel Method, Error Estimation

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

在本文中，我们考虑以下非特征柯西问题

$Lu\left(x,y,t\right)+{\Delta }_{y}u\left(x,y,t\right)=\frac{\partial }{\partial t}u\left(x,y,t\right),x\in \left(0,l\right),\left(y,t\right)\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ$ (1.1a)

$u\left(0,y,t\right)=\phi \left(y,t\right),\left(y,t\right)\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ$ (1.1b)

$u_x\left(0,y,t\right)=0,\left(y,t\right)\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ$ (1.1c)

其中 $l>0$ ， ${\Delta }_y={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}}$ ， $L=a\left(x\right)\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+b\left(x\right)\frac{\partial }{\partial x}+c\left(x\right)$ ，且L的系数函数满足以下条件

$a\in W^{2,\infty }\left[0,l\right],b\in W^{1,\infty }\left[0,l\right],c\in L^{\infty }\left[0,l\right]$ ,

$0<\lambda \le a\left(x\right)\le A,c\left(x\right)\le 0,x\in \left[0,l\right]$ .

精确数据 $\phi \left(y,t\right)$ 和噪声数据 ${\phi }_{\delta }\left(y,t\right)$ 都在 $L_2\left({ℝ}^{n-1}\times ℝ\right)$ 空间中，假设

$\Vert \phi \left(y,t\right)-{\phi }_{\delta }\left(y,t\right)\Vert \le \delta$ , (1.4)

其中 $\Vert \cdot \Vert$ 是 $L^2$ -范数，正数 $\delta$ 表示噪声水平。

众所周知，柯西问题通常是不适定的， [1] [2] [3] 讨论了一维空间中问题(1.1)的正则化情况， [4] [5] [6] [7] 讨论了二维空间中问题(1.1)的正则化情况，也有很多学者用不同的数值方法研究了问题(1.1)，比如Tikhonov正则化和傅里叶截断法 [4] 、小波法 [5] 等。与一维和二维热传导方程的柯西问题进行比较，非特征柯西问题是更不适定的，即它们的解的存在性、唯一性和稳定性并不总是得到保证的，这使得求解问题(1.1)的难度更大。另外，对于 $0<x\le l$ ，数据 ${\phi }_{\delta }\left(y,t\right)$ 中的一个小扰动可能会导致相应的解 $u\left(x,y,t\right)$ 产生巨大的误差。这种不适定是由高频的扰动引起的。因此，本文提出一种修正核方法来讨论问题(1.1)，并给出正则化解和精确解之间的误差估计。

在第2节中，我们给出一些准备知识，并讨论频域中的柯西问题。在第3节中，我们提出了一种修正核方法来解决不适定问题(1.1)，并在正则化参数的先验选择规则下，给出正则化解和精确解之间的误差估计。

2. 准备知识

问题(1.1)的定义域为 $x\in \left(0,l\right)$ ， $\left(y,t\right)\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ$ ，则傅里叶变换的定义域为 $\left(\eta ,\xi \right)\in \left({ℝ}^{n-1}\times ℝ\right)$ 。对于 $\phi \left(y,t\right)$ ，引入其傅里叶变换

$\hat{\phi }\left(\eta ,\xi \right)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^{\frac{n}{2}}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^{n-1}\times ℝ}^{}\phi \left(y,t\right){\text{e}}^{-i(\eta \cdot y+\xi t)}\text{d}y\text{d}t},\left(\eta ,\xi \right)\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ$ , (2.1)

其中内积 $\eta \cdot y={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\eta }_i{y}_i}$ 。

现在讨论频率空间中的非特征柯西问题(1.1)。为此，我们先考虑以下初值问题：

$Lv\left(x,\eta ,\xi \right)=\left(i\xi +{\eta }^2\right)v\left(x,\eta ,\xi \right),\left(\eta ,\xi \right)\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ$ (2.1a)

$v\left(0,\eta ,\xi \right)=1,\left(\eta ,\xi \right)\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ$ (2.1b)

$v_x\left(0,\eta ,\xi \right)=0,\left(\eta ,\xi \right)\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ$ (2.2c)

令

$A\left(x\right):={\displaystyle {\int }_0^{x}a{\left(s\right)}^{-1/2}\text{d}s,x\in \left(0,l\right)}$ . (2.2d)

因此，问题(1.1)的解 $u\left(x,y,t\right)$ 的傅里叶变换为

$\hat{u}\left(x,\eta ,\xi \right)=v\left(x,\eta ,\xi \right)\hat{\phi }\left(\eta ,\xi \right)$ , (2.3a)

或

$u\left(x,y,t\right)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^{\frac{n}{2}}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^{n-1}\times ℝ}^{}v\left(x,\eta ,\xi \right)\hat{\phi }\left(\eta ,\xi \right){\text{e}}^{i(\eta \cdot y+\xi t)}\text{d}\eta \text{d}\xi }$ . (2.3b)

假设问题(1.1)的解在 $x=l$ 处存在并属于 $H^s\left({ℝ}^{n-1}\times ℝ\right)$ 空间，其中 $s\in ℝ$ 。令 $f\left(y,t\right):=u\left(l,y,t\right)$ ，则

$\hat{\phi }\left(\eta ,\xi \right)=\frac{\hat{f}\left(\eta ,\xi \right)}{v\left(l,\eta ,\xi \right)}$ , (2.4)

因此，

$\hat{u}\left(x,\eta ,\xi \right)=\frac{v\left(x,\eta ,\xi \right)}{v\left(l,\eta ,\xi \right)}\hat{f}\left(\eta ,\xi \right)$ . (2.5)

为更好地讨论误差估计，我们给出以下引理。

引理2.1 (见 [8] ) 当(1.2)和(1.3)成立时，(2.1)存在唯一解 $v\left(x,\eta ,\xi \right)$ ，使得对任意的 $\left(\eta ,\xi \right)\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ$ ，有

1) $v\left(\cdot ,\eta ,\xi \right)\in W^{2,\infty }\left[0,l\right]$ ；

2) 对任意的 $x\in \left(0,l\right)$ ， $v\left(l,\eta ,\xi \right)$ 关于变量 $\xi ,{\eta }_i,i=1,2,\cdots ,n-1$ 是整函数；

3) 对任意的 $x\in \left(0,l\right)$ ，有 $v\left(x,\eta ,\xi \right)\ne 0$ ；

4) 对 $x\in \left(0,l\right)$ ，存在只与 $a,b,c$ 的界有关的正常数 $C_i,i=1,2$ ，有

$\left|v\left(x,\eta ,\xi \right)\right|\le C_1\exp \left(d\left(\eta ,\xi \right)A\left(x\right)\right)$ (2.6a)

$\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|\le C_2\exp \left(d\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)$ (2.6b)

其中

$d\left(\eta ,\xi \right):=re\left(\sqrt{i\xi +{\eta }^2}\right)=\sqrt{\frac{\sqrt{{\xi }^2+{\left|\eta \right|}^2}+{\left|\eta \right|}^2}{2}}$ . (2.6c)

一般情况下，对 $x>0$ ， $v\left(x,\eta ,\xi \right)$ 关于变量 $\eta$ 和 $\xi$ 是无界的，数据中的误差太小可能导致大家很难得到任何有意义的解。此外，高频空间中分量的误差存在被因子 $\exp \left(\sqrt{\frac{\sqrt{{\xi }^2+{\left|\eta \right|}^2}+{\left|\eta \right|}^2}{2}}A\left(l\right)\right)$ 放大的情况。

3. 修正核方法

本节通过修正核来重构问题(1.1)，我们重构后的正则化解为

${\hat{u}}^{\alpha ,\delta }\left(x,\eta ,\xi \right)=\frac{v\left(x,\eta ,\xi \right)}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}{\hat{\phi }}_{\delta }\left(\eta ,\xi \right)$ (3.1a)

或

$u^{\alpha ,\delta }\left(x,y,t\right)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^{\frac{n}{2}}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^{n-1}\times ℝ}^{}\frac{v\left(x,\eta ,\xi \right)}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}{\hat{\phi }}_{\delta }\left(\eta ,\xi \right){\text{e}}^{i(\eta \cdot y+\xi t)}\text{d}\eta \text{d}\xi }$ . (3.1b)

重构正则化解的基础是通过有界近似消除所有的高频或替换核 $v\left(x,\eta ,\xi \right)$ ，如果参 $\alpha$ 足够小，则 $\frac{v\left(x,\eta ,\xi \right)}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}$ 近似于 $v\left(x,\eta ,\xi \right)$ ，因此 $\Vert u^{\alpha ,\delta }-u\Vert \to 0$ 。另外，对固定的 $\alpha >0$ ， $\frac{v\left(x,\eta ,\xi \right)}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}$ 有界。

下面，我们将讨论正则化解和精确解之间的误差估计。

定理3.1. 令 $u\left(x,y,t\right)$ 是问题(1.1)在 $\phi \left(y,t\right)$ 下的精确解， $u^{\alpha ,\delta }\left(x,y,t\right)$ 是问题(1.1)在 ${\phi }_{\delta }\left(y,t\right)$ 下的正则化解。假设(1.1)的精确解在 $x=l$ 处有先验界

$\Vert f\left(y,t\right)\Vert \le E$ , (3.2)

其中常数 $E>0$ ，且(1.4)成立。若取正则化参数 $\alpha$ 为

$\alpha ={\left(\frac{\delta }{E}\right)}^m$ , (3.3)

则对任意的 $0<x<l$ ，有如下误差估计

$\Vert u^{\alpha ,\delta }\left(x,y,t\right)-u\left(x,y,t\right)\Vert \le K{\delta }^{1-\frac{A(x)}{A(l)}}{E}^{\frac{A(x)}{A(l)}}$ , (3.4)

其中 $K=C+C^{\prime }=\frac{C_1{C}_2^{-\frac{A(x)}{A(l)}}}{mA\left(l\right)}{\left(A\left(x\right)\right)}^{\frac{A(x)}{mA(l)}}{\left(mA\left(x\right)-A\left(l\right)\right)}^{1-\frac{A(x)}{mA(l)}}+C_1^m{C}_2^{-\frac{\left(m-1\right)A\left(l\right)+A\left(x\right)}{mA(l)}}{\left(\frac{\left(m-1\right)A\left(l\right)+A\left(x\right)}{A\left(l\right)-A\left(x\right)}\right)}^{\frac{A\left(x\right)-A\left(l\right)}{mA(l)}}$ 。

证明. 由Parseval等式和三角不等式可得

$\begin{array}{c}\Vert u^{\alpha ,\delta }\left(x,y,t\right)-u\left(x,y,t\right)\Vert =\Vert {\hat{u}}^{\alpha ,\delta }\left(x,\eta ,\xi \right)-\hat{u}\left(x,\eta ,\xi \right)\Vert \\ \le \Vert {\hat{u}}^{\alpha ,\delta }\left(x,\eta ,\xi \right)-{\hat{u}}^{\alpha }\left(x,\eta ,\xi \right)\Vert +\Vert {\hat{u}}^{\alpha }\left(x,\eta ,\xi \right)-\hat{u}\left(x,\eta ,\xi \right)\Vert .\end{array}$ (3.5)

先计算不等式右侧的第一项，

$\begin{array}{c}\Vert {\hat{u}}^{\alpha ,\delta }\left(x,\eta ,\xi \right)-{\hat{u}}^{\alpha }\left(x,\eta ,\xi \right)\Vert =\Vert \frac{v\left(x,\eta ,\xi \right)}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}\left({\hat{\phi }}_{\delta }\left(\eta ,\xi \right)-\hat{\phi }\left(\eta ,\xi \right)\right)\Vert \\ \le \underset{(\eta ,\xi )\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ}{\sup }\left|\frac{v\left(x,\eta ,\xi \right)}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}\right|\Vert {\hat{\phi }}_{\delta }\left(\eta ,\xi \right)-\hat{\phi }\left(\eta ,\xi \right)\Vert \\ \le \underset{(\eta ,\xi )\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ}{\sup }\left|\frac{v\left(x,\eta ,\xi \right)}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}\right|\delta ,\end{array}$ (3.6)

其中

$B=\frac{v\left(x,\eta ,\xi \right)}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}$ . (3.7)

由引理2.1可得

$B\le \frac{C_1\exp \left(d\left(\eta ,\xi \right)A\left(x\right)\right)}{1+\alpha {\left(C_2\exp \left(d\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)\right)}^m}$ .

令

$f\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)=\frac{C_1\exp \left(d\left(\eta ,\xi \right)A\left(x\right)\right)}{1+\alpha {\left(C_2\exp \left(d\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)\right)}^m}$ . (3.8)

若 $f^{\prime }\left(d_0\left(\eta ,\xi \right)\right)=0$ ，易得

$d_0\left(\eta ,\xi \right)=\frac{1}{mA\left(l\right)}\ln \left(\frac{A\left(x\right)}{\alpha C_2^m\left(mA\left(l\right)-A\left(x\right)\right)}\right)$ .

又因为当 $d\left(\eta ,\xi \right)\ge d_0\left(\eta ,\xi \right)$ 时， $f^{\prime }\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)<0$ ；当 $d\left(\eta ,\xi \right)<d_0\left(\eta ,\xi \right)$ 时， $f^{\prime }\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)>0$ ，因此 $f\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)$ 在 $d\left(\eta ,\xi \right)$ 取得最大值，即

$f\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)\le f\left(d_0\left(\eta ,\xi \right)\right)=C{\alpha }^{-\frac{A(x)}{mA(l)}}$ , (3.9)

其中 $C=\frac{C_1{C}_2^{-\frac{A(x)}{A(l)}}}{mA\left(l\right)}{\left(A\left(x\right)\right)}^{\frac{A(x)}{mA(l)}}{\left(mA\left(x\right)-A\left(l\right)\right)}^{1-\frac{A(x)}{mA(l)}}$ 。

因此

$B\le \frac{C_1\exp \left(d\left(\eta ,\xi \right)A\left(x\right)\right)}{1+\alpha {\left(C_2\exp \left(d\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)\right)}^m}\le C{\alpha }^{-\frac{A(x)}{mA(l)}}$ . (3.10)

由(3.6)和(3.13)可知，

$\Vert {\hat{u}}^{\alpha ,\delta }\left(x,\eta ,\xi \right)-{\hat{u}}^{\alpha }\left(x,\eta ,\xi \right)\Vert \le C{\alpha }^{-\frac{A(x)}{mA(l)}}\delta$ . (3.11)

现在计算不等式右侧的第二项，

$\begin{array}{c}\Vert {\hat{u}}^{\alpha }\left(x,\eta ,\xi \right)-\hat{u}\left(x,\eta ,\xi \right)\Vert =\Vert \frac{v\left(x,\eta ,\xi \right)}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}\hat{\phi }\left(\eta ,\xi \right)-v\left(x,\eta ,\xi \right)\hat{\phi }\left(\eta ,\xi \right)\Vert \\ =\Vert \frac{\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}v\left(x,\eta ,\xi \right)\frac{\hat{f}\left(\eta ,\xi \right)}{v\left(l,\eta ,\xi \right)}\Vert \\ \le \underset{(\eta ,\xi )\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ}{\sup }\left|\frac{\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^{m-1}}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}v\left(x,\eta ,\xi \right)\right|\Vert \hat{f}\left(\eta ,\xi \right)\Vert \\ \le \underset{(\eta ,\xi )\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ}{\sup }\left|\frac{\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^{m-1}}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}v\left(x,\eta ,\xi \right)\right|E.\end{array}$ (3.12)

令

$D=\left|\frac{\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^{m-1}}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}v\left(x,\eta ,\xi \right)\right|$ , (3.13)

由引理2.1可得

$\begin{array}{c}D=\left|\frac{\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^{m-1}}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}v\left(x,\eta ,\xi \right)\right|\le \frac{\alpha C_1\exp \left(d\left(\eta ,\xi \right)A\left(x\right)\right){\left(C_1\exp \left(d\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)\right)}^{m-1}}{1+\alpha {\left(C_2\exp \left(d\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)\right)}^m}\\ =\frac{\alpha C_1^m\exp \left[d\left(\eta ,\xi \right)\left(A\left(x\right)+\left(m-1\right)A\left(l\right)\right)\right]}{1+\alpha {\left(C_2\exp \left(d\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)\right)}^m}\end{array}$ .

令 $h\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)=\frac{\alpha C_1^m\exp \left[d\left(\eta ,\xi \right)\left(A\left(x\right)+\left(m-1\right)A\left(l\right)\right)\right]}{1+\alpha {\left(C_2\exp \left(d\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)\right)}^m}$ 。假设 $h^{\prime }\left(d_1\left(\eta ,\xi \right)\right)=0$ ，可得

$d_1\left(\eta ,\xi \right)=\frac{1}{mA\left(l\right)}\ln \frac{A\left(x\right)+\left(m-1\right)A\left(l\right)}{\alpha C_2^m\left(A\left(l\right)-A\left(x\right)\right)}$ .

若 $d\left(\eta ,\xi \right)>d_1\left(\eta ,\xi \right)$ ，有 $h^{\prime }\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)<0$ ；若 $d\left(\eta ,\xi \right)<d_1\left(\eta ,\xi \right)$ ，有 $h^{\prime }\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)>0$ ，因此 $h\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)$ 在 $d\left(\eta ,\xi \right)$ 处取得最大值，所以

$h\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)\le h\left(d_1\left(\eta ,\xi \right)\right)=C_1^m{C}_2^{-\frac{\left(m-1\right)A\left(l\right)+A\left(x\right)}{mA(l)}}{\left(\frac{\left(m-1\right)A\left(l\right)+A\left(x\right)}{A\left(l\right)-A\left(x\right)}\right)}^{\frac{A\left(x\right)-A\left(l\right)}{mA(l)}}{\alpha }^{\frac{A\left(x\right)-A\left(l\right)}{mA(l)}}=C^{\text{'}}{\alpha }^{\frac{A\left(x\right)-A\left(l\right)}{mA(l)}}$ (3.14)

因此，

$\Vert {\hat{u}}^{\alpha }\left(x,\eta ,\xi \right)-\hat{u}\left(x,\eta ,\xi \right)\Vert \le C^{\prime }{\alpha }^{\frac{A\left(x\right)-A\left(l\right)}{mA(l)}}E$ . (3.15)

综上可得，

$\Vert u^{\alpha ,\delta }\left(x,y,t\right)-u\left(x,y,t\right)\Vert \le C{\alpha }^{-\frac{A(x)}{mA(l)}}\delta +C^{\prime }{\alpha }^{\frac{A\left(x\right)-A\left(l\right)}{mA(l)}}E$ . (3.16)

取 $\alpha ={\left(\frac{\delta }{E}\right)}^m$ ，则误差估计为

$\Vert u^{\alpha ,\delta }\left(x,y,t\right)-u\left(x,y,t\right)\Vert \le C{\alpha }^{-\frac{A(x)}{mA(l)}}\delta +C^{\prime }{\alpha }^{\frac{A\left(x\right)-A\left(l\right)}{mA(l)}}E=K{\delta }^{1-\frac{A(x)}{A(l)}}{E}^{\frac{A(x)}{A(l)}}$ , (3.17)

其中 $K=C+C^{\prime }=\frac{C_1{C}_2^{-\frac{A(x)}{A(l)}}}{mA(l)}{\left(A\left(x\right)\right)}^{\frac{A(x)}{mA(l)}}{\left(mA\left(x\right)-A\left(l\right)\right)}^{1-\frac{A(x)}{mA(l)}}+C_1^m{C}_2^{-\frac{\left(m-1\right)A\left(l\right)+A\left(x\right)}{mA(l)}}{\left(\frac{\left(m-1\right)A\left(l\right)+A\left(x\right)}{A\left(l\right)-A\left(x\right)}\right)}^{\frac{A\left(x\right)-A\left(l\right)}{mA(l)}}$ 。

定理得证。 □

定理3.1考虑了 $0<x<l$ 的误差估计，若要得到 $x=l$ 处的误差估计，我们要给出更强的先验界

${\Vert u\left(l,y,t\right)\Vert }_p={\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^{n-1}\times ℝ}^{}u\left(l,y,t\right)\exp \left(pd\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}\le E^{\prime },p>0$ . (3.18)

其中 ${\Vert u\left(l,y,t\right)\Vert }_p$ 是p-范数，且 $p=0$ 时， ${\Vert u\left(l,y,t\right)\Vert }_p$ 是 $L^2$ -范数。

定理3.2. 令 $u\left(l,y,t\right)$ 是问题(1.1)的精确解， $u^{\alpha ,\delta }\left(l,y,t\right)$ 是问题(1.1)在 $x=l$ 处的正则化解。假设(1.4)和先验假设(3.18)成立。假设正则化参数为

$\alpha ={\left(\frac{\delta }{E}\right)}^{\frac{m}{p+1}}$ , (3.19)

则有如下的误差估计：

$\Vert u^{\alpha ,\delta }\left(x,y,t\right)-u\left(x,y,t\right)\Vert \le \left(\frac{C_1}{m{C}_2}{\left(m-1\right)}^{1-\frac{1}{m}}+C_1^m{C}_2^{p-m}{\left(\frac{p}{m}\right)}^{\frac{p}{m}}\right){\delta }^{\frac{p}{p+1}}{E^{\prime }}^{\frac{1}{p+1}}$ . (3.20)

证明. 同定理3.1，可以分为两部分来证明此定理。不等式右侧第一项和定理3.1的证明类似，可得

$\Vert {\hat{u}}^{\alpha ,\delta }\left(x,\eta ,\xi \right)-{\hat{u}}^{\alpha }\left(x,\eta ,\xi \right)\Vert \le \frac{C_1}{m{C}_2}{\left(m-1\right)}^{1-\frac{1}{m}}{\alpha }^{-\frac{1}{m}}\delta$ . (3.21)

现在证明不等式右侧第二项，

$\begin{array}{c}\Vert {\hat{u}}^{\alpha }\left(l,\eta ,\xi \right)-\hat{u}\left(l,\eta ,\xi \right)\Vert =\Vert \frac{v\left(l,\eta ,\xi \right)}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}\hat{\phi }\left(\eta ,\xi \right)-v\left(l,\eta ,\xi \right)\hat{\phi }\left(\eta ,\xi \right)\Vert \\ =\Vert \frac{\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}v\left(l,\eta ,\xi \right)\frac{\hat{f}\left(\eta ,\xi \right)}{v\left(l,\eta ,\xi \right)}\Vert \\ \le \underset{(\eta ,\xi )\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ}{\sup }\left|\frac{\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}{1+\alpha {\left|v\left(l,\eta ,\xi \right)\right|}^m}\exp \left(-d\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)\right|\Vert \hat{f}\left(\eta ,\xi \right)\Vert \\ \le \underset{(\eta ,\xi )\in {ℝ}^{n-1}\times ℝ}{\sup }\left|\frac{\alpha C_1^m\exp \left(md\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)}{1+\alpha C_2^m\exp \left(md\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)}\exp \left(-d\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)\right|E^{\prime }.\end{array}$ (3.22)

令 $z\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)=\left|\frac{\alpha C_1^m\exp \left(md\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)}{1+\alpha C_2^m\exp \left(md\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)}\exp \left(-d\left(\eta ,\xi \right)A\left(l\right)\right)\right|$ 。当 $z^{\prime }\left(d_2\left(\eta ,\xi \right)\right)=0$ 时，有 $d_2\left(\eta ,\xi \right)=\frac{1}{mA\left(l\right)}\ln \frac{m-p}{p\alpha C_2^m}$ 。若 $d\left(\eta ,\xi \right)>d_2\left(\eta ,\xi \right)$ ，有 $z^{\prime }\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)<0$ ；若 $d\left(\eta ,\xi \right)<d_2\left(\eta ,\xi \right)$ ，有 $z^{\prime }\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)>0$ ，因此 $z\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)$ 在 $d_2\left(\eta ,\xi \right)$ 处取得最大值，所以

$z\left(d\left(\eta ,\xi \right)\right)\le z\left(d_2\left(\eta ,\xi \right)\right)=C_1^m{C}_2^{p-m}{\left(p\alpha \right)}^{\frac{p}{m}}\frac{{\left(m-p\right)}^{1-\frac{p}{m}}}{m}\le C_1^m{C}_2^{p-m}{\left(p\alpha \right)}^{\frac{p}{m}}{m}^{-\frac{p}{m}}=C_1^m{C}_2^{p-m}{\left(\frac{p}{m}\right)}^{\frac{p}{m}}{\alpha }^{\frac{p}{m}}$ . (3.23)

所以，

$\Vert {\hat{u}}^{\alpha }\left(l,\eta ,\xi \right)-\hat{u}\left(l,\eta ,\xi \right)\Vert \le z\left(d_2\left(\eta ,\xi \right)\right)\le C_1^m{C}_2^{p-m}{\left(\frac{p}{m}\right)}^{\frac{p}{m}}{\alpha }^{\frac{p}{m}}{E}^{\prime }$ . (3.24)

合并(3.26)和(3.29)，并带入 $\alpha ={\left(\frac{\delta }{E}\right)}^{\frac{m}{p+1}}$ 可得

$\Vert u^{\alpha ,\delta }\left(x,y,t\right)-u\left(x,y,t\right)\Vert \le \left(\frac{C_1}{m{C}_2}{\left(m-1\right)}^{1-\frac{1}{m}}+C_1^m{C}_2^{p-m}{\left(\frac{p}{m}\right)}^{\frac{p}{m}}\right){\delta }^{\frac{p}{p+1}}{E^{\prime }}^{\frac{1}{p+1}}$ . (3.25)

定理得证。 □

4. 结论

本文用一种正则化方法来解决非特征柯西问题，该方法通过修改核，证明了整个域的收敛估计，即包括 $0<x<l$ 和 $x=l$ ，并在正则化参数的先验选择规则下，给出并证明了正则化解和精确解之间的误差估计。

文章引用

韩晶晶. 求解多维非特征柯西问题的修正核方法
A Modified Kernel Method for Solving a Non-Characteristic Cauchy Problem in Multiple Dimensions[J]. 理论数学, 2023, 13(07): 2024-2031. https://doi.org/10.12677/PM.2023.137208

参考文献