Pure Mathematics
Vol.
14
No.
03
(
2024
), Article ID:
83702
,
7
pages
10.12677/pm.2024.143093
具有Neumann边界条件的抛物型方程解的估计
阿迪莱·玉苏普
喀什大学数学与统计学院,新疆 喀什
收稿日期:2024年2月2日;录用日期:2024年3月22日;发布日期:2024年3月29日
摘要
研究了具有Neumann边界条件的一类抛物型方程解的估计,通过微分方法,选取合适的辅助函数和利用极值原理来进行证明。
关键词
Neumann边界条件,抛物型方程,极值原理
Estimation of Solutions to Parabolic Equations with Neumann Boundary Conditions
Adilai·Yusupu
School of Mathematics and Statistics, Kashgar University, Kashgar Xinjiang
Received: Feb. 2nd, 2024; accepted: Mar. 22nd, 2024; published: Mar. 29th, 2024
ABSTRACT
This paper studies the estimation of the solutions of a class of parabolic equations with Neumann boundary conditions, through the differential method, selects the appropriate auxiliary function and uses the extreme value principle to make the proof.
Keywords:Neumann Boundary Conditions, Parabolic Equation, Extreme Value Principle
Copyright © 2024 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
抛物型方程是数学物理中非常重要的方程之一,是描述许多自然物理现象的基本方程。在数学物理方程的研究中,边值问题解的存在性是很重要的问题,而先验估计是其研究的关键。目前来说,边值问题的分类主要有Dirichlet问题、Neumann问题及罗宾问题,又称第一、二、三边值问题。
1996年,Guan [1] 研究了当 时,下面的预定夹角边界值条件的抛物型方程
并证明了在 条件下解的长时间存在性和收敛性。Ma等 [2] 人研究了严格凸区域上的常平均曲率曲面和非零Neumann边界条件的平均曲率流。
2014年,对于带Neumann边界的平均曲率方程
Ma-Xu [3] 通过引入一个特殊标架,构造了一个新的辅助函数,利用极大值原理得到了平均曲率方程Neumann问题解的梯度估计。证明过程主要利用了Simon-Spruck [4] 、Ural’tseva [5] 、Liberman [6] 、Wang [7] 、Spruck [8] 等人的技巧,首次给出平均曲率方程Neumann问题解的梯度估计。
2019年,Xu [9] 考虑了Neumann边界下的平均曲率流方程
其中 , 为有界的 区域, ,T为固定的正常数,并且得到梯度估计
.
朱洁 [10] 研究了如下具有Neumann边界条件的抛物型方程
,
其中 ,且 是定义在 上的光滑函数。得到了一类边值问题解的梯度估计,从而得到了相应的曲线曲率演化方程解的存在性定理。
受此启发,本文研究具有如下形式的一类抛物型方程
,
其中 是定义在 上的光滑函数,利用极值原理和微分方法讨论方程解的一阶导数估计。一般我们需要先得到u的 估计,再讨论u的 估计,特别地,对于抛物型方程要考虑u关于t的 估计。对于u的 估计分三种情形证明:
情形1:若 ,由Hopf引理得到 有界;
情形2:若 ,可归结为内部梯度估计;
情形3:若 ,可利用极大值原理证明 有界。
在情形3的证明中,通过引入一个特殊标架,构造合适的辅助函数,再利用极值原理、基本对称函数的性质以及函数在极大值点的性质,得到抛物型方程的一阶导数估计。
综合三种情形结果,总结出 的上界,讨论得出方程解的 估计。
2. 主要结果
定理1 假设 ,f是定义在 上的光滑函数, 是下面方程的一个解
(1)
其中,设存在正常数 ,使得 满足
,在 内,
,在 内,
这里 , 则对于 ,
,
其中 。
我们将通过详细的计算先得到 估计和u的 估计,然后再求u关于x的 估计。证明过程中通过利用微分方法、极值原理和分三种情形证明出定理1。
3. 证明定理1
证明 第一步先给出 估计和u的 估计:
由(1)式,有
,
方程两边关于t求导,得
.(2)
而
. (3)
将(2)式代入(3)式得
.
根据强极值原理,得 的非负极大值和非正极小值均在边界达到,除非 在 内恒为常数。所以假设 的非负极大值在 处达到,那么 仅有以下三种情况:
(A1) ;
(A2) 且 在 恒为常数(等于 );
(A3) 且 或 。
下面依次讨论这三种情况:
对于(A1) ,即 在 处达到非负极大值,故
.
从而
.
因此
.
可以得到 的范围为
.
下面假设 的非正极小值在 处取得,同理可得
.
因此
.
对于(A2)由 (C为常数),结合指数函数性质和 ,则 ,因此 。
对于(A3)若 且 或 ,则根据Hopf引理得 。然而根据方程的边值条件知 。因此该情况不成立。综上分析得 有界。
对于u的 估计,利用微分中值定理得
.
因此,存在一个常数C,使得
,
其中 且仅依赖于 。
第二步讨论给出 估计:
首先考虑辅助函数
,
其中 , 在后面会给出定义。
设 在 处达到非负极大值,其中 。
下面分三种情况进行讨论:
情形1: 或 。根据 , ,可得
.
情形2: ,显然存在一个正常数 ,使得
.
情形3: ,
.
由极值原理得
, (4)
, , (5)
其中 。
因此
. (6)
由于 , ,将(6)代入(5)得
,
其中
,
.
不妨假设 足够大,否则u的 估计已证,则
, (7)
由于条件
, ,
与条件
,
可得
.
故
.
由于 ,根据二次函数的性质知, ,即 。
则
,
记 ,由于 足够大,则 与 等价,因此由上式可得
,
则
,
,
即
,
其中 与T无关的常数。
由于 的最大值在点 处取得,故对任意的 有
,
即
,
故
,
其中C与T有关的常数。综上分析,得到了u的 估计,完成了定理1的证明。
基金项目
国家自然科学基金项目(12061078)。
文章引用
阿迪莱·玉苏普. 具有Neumann边界条件的抛物型方程解的估计
Estimation of Solutions to Parabolic Equations with Neumann Boundary Conditions[J]. 理论数学, 2024, 14(03): 144-150. https://doi.org/10.12677/pm.2024.143093
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