辽宁师范大学数学学院，辽宁 大连

收稿日期：2020年11月21日；录用日期：2020年12月20日；发布日期：2020年12月28日

摘要

本文以代数曲面和空间代数曲线上的多元Lagrange插值问题的研究成果为依据，主要对沿圆锥曲面的拼接问题进行研究，得出了用Lagrange插值法在圆锥曲面上的二次光滑的一组的分解方法，得到了一组满足沿圆锥曲面光滑拼接的二次拼接多项式，使得曲面拼接过程得以简单化。在文章中我们用圆锥曲面(如图1)的实验算例对本文给出的方法进行实现，验证了方法的有效性。

关键词

圆锥曲面，多元Lagrange插值，光滑拼接，拼接点组

Research on Smooth Conic Surface Splicing Problem

Weixing Jia, Xue Li, Lihong Cui

School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Nov. 21^st, 2020; accepted: Dec. 20^th, 2020; published: Dec. 28^th, 2020

ABSTRACT

Based on the research results on multivariate though laser interpolation problem of algebraic surface and space curve, this paper mainly studies the stitching problems of the along conical surface, gets a set of decomposition methods of quadratic smoothness on conic surfaces by using Lagrange interpolation method, and obtains a set of quadratic splicing polynomials satisfying the smooth splicing along conic surfaces, to simplify the surface of stitching process. In this paper, we use the experimental example of conic surface (as shown in Figure 1) to implement the method presented in this paper, and verify the effectiveness of the method.

Keywords:Conic Surface, Multivariate Lagrange Interpolation, Smooth Splicing, Splicing Point Group

Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

多元插值问题 [1] 及曲面光滑拼接问题 [2] 一直是计算数学中重要的研究领域，而多元多项式插值问题中的一个主要研究问题就是多元Lagrange插值的适定节点组问题，文献 [3] [4] [5] 中学者们给出了插值节点组的构造方法及其应用。很多学者将插值理论应用到曲面光滑拼接问题中，如吴文俊的吴方法 [6]，王双，李鹏 [7] 借助二元函数的hermite插值理论做出了《C¹光滑拼接二次函数的若干问题》等丰富了光滑拼接的理论方法，本文将结合了Lagrange插值的相关理论，在该基础上有一个二次多项式与我们给定的圆锥曲面沿着某一相交曲线光滑拼接，并研究其有效性。

圆锥曲面是一类较为重要的二次代数曲面，因为圆锥曲面与实际问题有着广泛的联系，许多机械部件——原苏联第二颗人造卫星火箭的防护罩以及飞机机头外观采用了圆锥曲面的代数流形，与时事热点问题有着密不可分的联系，因此我们对圆锥曲面进行研究有着实际的意义与价值。

2. 基本定义和主要定理

定义1：在空间中，满足2次代数方程 $f\left(x,y,z\right)=0$ 的点 $P\left(x,y,z\right)$ 的全体，称为2次代数曲面。

定义2 [8]：若不可约代数曲线 $c\left(x,y,z\right)=0$ 是代数曲面 $q\left(x,y,z\right)=0$ 与 $g\left(x,y,z\right)=0$ 的交线，则称代数曲面 $q\left(x,y,z\right)=0$ 和 $g\left(x,y,z\right)=0$ 沿着公共边界 $c\left(x,y,z\right)=0$ 拼接。(本论文主要研究 $C^0$ 阶光滑拼接)

定义3 [9]：设n是一个非负整数，且 $\dim P_n^{\left(3\right)}=\left(\begin{array}{c}n+3\\ 3\end{array}\right)$，令 $P_n^{\left(3\right)}$ 是表示所有的全次数不超过n的三元实系数多项式构成的集合，即

$P_n^{\left(3\right)}=\left\{{\displaystyle \underset{0\le i+j+k\le n}{\sum }{a}_{ijk}{x}^i{y}^j{z}^k}|a_{ijk}\in R\right\}$

定义4 [9]：设 $n,k$ 均为自然数， $c\left(x,y,z\right)=\text{0}$ 为k无重复分量代数曲线，定义 $d_n\left(2\right)$ 如下所示：

$d_n\left(2\right)=\left(\begin{array}{c}n+3\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n+1\\ 3\end{array}\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{6}\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+1\right)n<\text{2}\\ \frac{1}{6}k\left[3n\left(n-\text{2}\right)+12n+{\text{2}}^2-1\right]n\ge \text{2}\end{array}$ (1)

令 $A={\left\{Q_i\right\}}_{i=1}^{d_n\left(2\right)}$ 是不可约代数曲线 $c\left(x,y,z\right)=\text{0}$ 上的 $d_n\left(2\right)$ 个互不相同的点，给定任意一组实数组 ${\left\{f_i\right\}}_{i=1}^{d_n\left(2\right)}$，并且能够找到关于该实数组的一个多项式 $g\left(x,y,z\right)\in P_n^{\left(3\right)}$，使得所求 $g\left(x\right)$ 满足下述条件：

$g\left(Q_i\right)=f_i,i=1,\cdots ,n;i=1,\cdots ,d_n\left(k\right).$ (2)

若对于每一组任意给定的 ${\left\{f_i\right\}}_{i=1}^{d_n\left(2\right)}$，方程组(2)总有一组解，那么称该结点组 $A={\left\{Q_i\right\}}_{i=1}^{d_n\left(2\right)}$ 是沿着二次代数曲线 $c\left(x,y,z\right)=\text{0}$ 的n次光滑拼接点组，多项式 $g\left(x,y,z\right)\in P_n^{\left(3\right)}$ 是沿着 $c\left(x,y,z\right)=\text{0}$ 的拼接多项式，并简记为 $A\in I_n^{\left(3\right)}\left(c\right)$ (代表所有位于 $c\left(x,y,z\right)=\text{0}$ 上的n次拼接点组的集合)。

定理1 [9]：设 $d_n\left(2\right)$ 为上述等式所述内容，那么位于k次代数曲线 $c\left(x,y,z\right)=\text{0}$ 上的点组 $A={\left\{Q_i\right\}}_{i=1}^{d_n\left(2\right)}$ 能够做成沿 $c\left(x,y,z\right)=\text{0}$ 的n次拼接结点组的充要条件是对任意零插值条件

$g\left(Q_i\right)=\text{0},i=1,\cdots ,d_n\left(2\right).$

的多项式 $g\left(X\right)\in P_n^{\left(3\right)}$，均有下述等式成立：

$g\left(X\right)=c\left(X\right)r(\; X\; )$

其中当 $n\ge k$ 时， $r\left(X\right)\in P_{n-k}^3$。

证明：必要性：若当 $g\left(Q_i\right)=\text{0,}\left(i=1,\cdots ,d_n\left(2\right)\right)$ 时，多项式 $g\left(X\right)$ 不能分解为

$g\left(X\right)=c\left(X\right)r(\; X\; )$

则此时多项式 $g\left(X\right)$ 可分解为：

$g\left(X\right)=c\left(X\right)r\left(X\right)+d(\; X\; )$

则 $g\left(Q_i\right)=c\left(Q_i\right)r\left(Q_i\right)+d\left(Q_i\right)=d\left(Q_i\right)\ne 0$ 与 $g\left(Q_i\right)=\text{0,}\left(i=1,\cdots ,d_n\left(2\right)\right)$ 矛盾。

所以 $g\left(X\right)$ 必可分解为

$g\left(X\right)=c\left(X\right)r\left(X\right)$。

充分性：若 $g\left(X\right)=c\left(X\right)r\left(X\right)$。

因为 $A={\left\{Q_i\right\}}_{i=1}^{d_n\left(2\right)}$ 为 $q\left(X\right)=\text{0}$ 与n次代数曲面 $g\left(X\right)=\text{0}$ 相交的k次代数曲线 $c\left(X\right)=\text{0}$ 上的 $d_n\left(2\right)$ 个互不相同的点

所以当 $c\left(Q_i\right)=\text{0}$ 时，必有 $g\left(Q_i\right)=c\left(Q_i\right)r\left(Q_i\right)=0$ 成立。证毕。

3. 实验算例

设被插值函数为 $f\left(x,y,z\right)=\sqrt{\frac{\text{4}{x}^2}{25}+\frac{\text{4}{y}^2}{25}-\frac{z^2}{1\text{6}}-{10}^2}$，在平面 $z=0$ 投射得到的被插值函数为 $f_{z=0}\left(x,y,z\right)=\sqrt{\frac{\text{4}{x}^2}{25}+\frac{\text{4}{y}^2}{25}-{10}^2}$。

圆锥曲面的方程为 $q\left(x,y,z\right):x^2+y^2-z^2+50z-{25}^2=0$，在该圆锥曲面上取9个互不相同的点如下所示：

$Q_1\left(-\text{24},-7,\text{0}\right)$，$Q_2\left(-20,-15,\text{0}\right)$，$Q_3\left(-7,-24,\text{0}\right)$，

$Q_4\left(7,24,\text{0}\right)$，$Q_5\left(7,-24,\text{0}\right)$，$Q_6\left(-7,24,\text{0}\right)$，

$Q_7\left(15,20,\text{0}\right)$，$Q_8\left(-15,20,\text{0}\right)$，$Q_9\left(15,-20,\text{0}\right)$

当 $z=0$ 时，这九个点恰好在在曲线 $c\left(X\right):x^2+y^2-\text{2}{5}^2=0$ 上，由定义知， $\left\{Q_1,\cdots ,Q_9\right\}$ 构成了定义在相交2次代数曲线 $c\left(X\right):x^2+y^2-\text{2}{5}^2=0$ 的一组光滑拼接点组。

设在这组实数点组上的二次插值多项式为：

$g\left(x,y,z\right)=a_1{x}^2+a_2{y}^2+a_3{z}^2+a_{4}xy+a_{5}xz+a_{6}yz+a_{7}x+a_{8}y+a_{9}z+a_{\text{10}}$

将插值条件带入 $g^{\left(0\right)}\left(Q_i\right)=f^{\left(0\right)}\left(Q_i\right),\left(i=1,\cdots ,9\right)$，可以得到如下方程 $A\times X=B$

$A=\left[\begin{array}{cccccccccc}{\left(-24\right)}^2& {\left(-7\right)}^2& 0& 168& 0& 0& -24& -7& 0& 1\\ {\left(-20\right)}^2& {\left(-15\right)}^2& 0& 300& 0& 0& -20& -15& 0& 1\\ {\left(-7\right)}^2& {\left(-24\right)}^2& 0& 168& 0& 0& -7& -24& 0& 1\\ 7^2& {\left(-24\right)}^2& 0& -168& 0& 0& 7& -24& 0& 1\\ 7^2& {24}^2& 0& 168& 0& 0& 7& 24& 0& 1\\ {\left(-7\right)}^2& {24}^2& 0& -168& 0& 0& -7& 24& 0& 1\\ {15}^2& {20}^2& 0& 300& 0& 0& 15& 20& 0& 1\\ {\left(-15\right)}^2& {20}^2& 0& -300& 0& 0& -15& 20& 0& 1\\ {15}^2& {\left(-20\right)}^2& 0& -300& 0& 0& 15& -20& 0& 1\end{array}\right]$

$X=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ a_5\\ a_6\\ a_7\\ a_8\\ a_9\\ a_{10}\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$，此时解得 $\{\begin{array}{l}{a}_1=1\hfill \\ a_2=1\hfill \\ a_3=0\hfill \\ a_4=0\hfill \\ a_5=0\hfill \\ a_6=0\hfill \\ a_7=0\hfill \\ a_8=0\hfill \\ a_9=0\hfill \\ a_{10}=-{25}^2\hfill \end{array}$

得到所求多项式：

$g\left(x,y,z\right)=x^2+y^2-{25}^2=\text{0}$

此时有 $g\left(X\right)=x^2+y^2-{\text{25}}^{\text{2}}=c\left(X\right)r\left(X\right)$。

因为 $g\left(X\right)=c\left(X\right)r\left(X\right)$ 其中 $r\left(X\right)=1\in P_{n-k}^3=P_{2-2}^3=P_0^3$ 是常值函数。

所以由定理1可知， $g\left(X\right)$ 是 $c\left(X\right)$ 的拼接点组。

此时 $g\left(x,y,z\right):x^2+y^2-{\text{25}}^{\text{2}}=\text{0}$ 与 $q\left(x,y,z\right):x^2+y^2-z^2+50z-{25}^2=0$ 相交于一条不可约2次代数曲线 $c\left(x,y,z\right):x^2+y^2-{25}^2=0$。

图1. 圆锥曲面光滑拼接效果图

此时 $f\left(x,y,z\right)=\sqrt{\frac{\text{4}{x}^2}{25}+\frac{\text{4}{y}^2}{25}-\frac{z^2}{1\text{6}}-{10}^2}$ 在 $Q_{10}\left(7,24,0\right)$ 、 $Q_{11}\left(15,20,0\right)$ 两点处的结果为 $f\left(Q_{10}\right)=f\left(Q_{11}\right)=0$，而 $g\left(x,y,z\right)$ 在上述两点的值 $g\left(Q_{10}\right)=g\left(Q_{11}\right)=0$ 这也验证了如果关系 $g\left(X\right)\in P_2^{\left(3\right)}$,$g\left(Q_i\right)=\text{0},i=1,\cdots ,d_n\left(2\right)$ 成立，蕴含了曲线 $c\left(X\right)=\text{0}$ 恒有 $g^{\left(j\right)}\left(X\right)\equiv 0$。

基金项目

辽宁省教育厅项目，辽教函[2018471]。

文章引用

贾为兴,李 雪,崔利宏. 关于圆锥曲面的光滑拼接问题研究
Research on Smooth Conic Surface Splicing Problem[J]. 应用数学进展, 2020, 09(12): 2217-2221. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.912258

参考文献