Advances in Applied Mathematics
Vol.
09
No.
12
(
2020
), Article ID:
39444
,
6
pages
10.12677/AAM.2020.912259
高维传染病模型的Lyapunov函数构造
栾培译,李静
临沂大学数学与统计学院,山东 临沂
收稿日期:2020年11月21日;录用日期:2020年12月20日;发布日期:2020年12月28日
摘要
本文主要研究几类传染病模型如SIR,SIRS,SIS和SEIR模型的Lypunov函数构造方法,从而获得传染病模型全局稳定性的结论。
关键词
Lypunov函数,传染病模型,地方病平衡点,全局稳定性
Lyapunov Functions for Higher-Dimensional Epidemiological Models
Peiyi Luan, Jing Li
College of Mathematics and Statistics, Linyi University, Linyi Shandong
Received: Nov. 21st, 2020; accepted: Dec. 20th, 2020; published: Dec. 28th, 2020
ABSTRACT
Lypunov functions for classical epidemiological models are introduced such as SIR, SIRS, SIS and SEIR. Global stability of some epidemiological models is also established.
Keywords:Lypunov Function, Epidemiological Models, Endemic Equilibrium State, Global Stability
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
动力系统的全局稳定性判断并不容易,最常用的方法就是直接构造函数 [1]。但是,构造过程中需要具有特殊性质的辅助函数,也就是说,Lypunov函数并不容易寻找,本文我们将集中探讨几类传染病模型的Lypunov函数构造。
2. SIR模型
借助古典假设 [2] [3],我们将总人扣N分为以下几类:易感者类,染病者类和移除者类,分别用字母S,I和R表示,即 。当个体被感染后,将从易感者类变为染病者类,随着个人的康复,从而转变为移除者类。当然也有可能因疾病而死亡。不妨假设总人口N为常数,即使出生率等于死亡率。若存在垂直传染即母婴等传染,假设p为传染水平,同时水平传染率记为 。因此就产生了 ,进去染病者类与此同时 ,进入易感者类。
于是便产生了如下模型:
(1)
系统(1)有两个平衡点:疾病消除平衡点 和地方病平衡点 。
定理1系统(1)的地方病平衡点 为全局稳定的。
证明:
由微分等式可得:
和
,.
构造Lyapunov函数如下
满足
,
以及
很容易看出 为唯一极值状态且为函数 在 内的最小值。
于是
由于 ,故等式 , 仅在 时才成立。由渐近稳定定理,系统(1)的地方病平衡点 为全局稳定的。
3. SEIR模型
具有非线性传染率的SEIR模型描述如下:
(2)
其中参数 为正数,总人口N分为以下几类:易感者类,潜伏者类,染病者类和移除者类,分别用字母S,E,I和R表示,即 。非负常数 表示死亡率,b为出生率(假设出生率与死亡率相等), 表示潜伏者类到染病者类的转化率, 为康复率。
当 时,参数 表示接触数。
定理 2 [4] 如果 或 且 ,地方病平衡点在区域T内是全局渐近稳定的。( )
当 时,令
系统(2)可化为
(3)
定理3如果 且 ,t则只有唯一疾病消除平衡点 且在区域T内全局渐近稳定( )。
证明:构造Lyapunov函数如下
则
满足 当 时,
通过计算可得
,,
以及
可得 仅当 时;
令 ,,可得当 时, 且 。
由渐近稳定定理可得,疾病消除平衡点 在区域T内全局稳定。
定理4如果 ,系统产生周期轨道。
定理5系统(3)的非常数周期解的轨迹,如果存在,则必为渐近相轨道渐近稳定。
证. 系统(2)的解 的线性系统为
(4)
想要讨论系统(4)的稳定性,需要构造下列函数
假定解 具有最小周期 ,轨道 与T的边界始终有正数的距离,那么会存在常数c使得
对 和 。
通过计算可得 的右导数
(5)
和
,
,
这样便有
(6)
联立(5) (6)可得
其中 ,
结合(3),会有
,
便可得到
因为 ,则存在 ,a使得 以及
即揭示了 当 时,进而得到 当 事。因此,系统(4)渐近稳定,周期解 以渐近相轨道渐近稳定。
定理6如果 ,系统(2.1)会产生hopf分支为稳定开关想象。
4. 结论
Lyapunov函数的构造方法同样也适用于竞争捕食系统 [5] [6]。本文考虑了具有非线性传染率的SIR和SEIR传染病模型,此外,具有非线性传染率的SIRS,SEIRS模型,也可以用同样的构造方法来解决全局稳定性。
致谢
作者对同行评阅人的意见和建议表示深深的感谢。
基金项目
本文由2020大学生创新创业训练项目(X202010452127)支持。
文章引用
栾培译,李 静. 高维传染病模型的Lyapunov函数构造
Lyapunov Functions for Higher-Dimensional Epidemiological Models[J]. 应用数学进展, 2020, 09(12): 2222-2227. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.912259
参考文献
- 1. Lyapunov, A.M. (1992) The General Problem of the Stability of Motion. Taylor &Francis, London.
- 2. Busenberg, S. and Cooke, K. (1993) Vetically Transmitted Diseases in Humans: Models and Dynamics. Springer, Berlin. https://doi.org/10.1007/978-3-642-75301-5
- 3. Anderson, R.M. and May, R.M. (1991) Infectious Diseases in Humans: Dynamics and Control. Oxford University Press, Oxford.
- 4. Li, M.Y. and Muldowney, J.S. (1995) Global Stability for the SEIR Model in Epidemiology. Mathematical Biosciences, 125, 155-164. https://doi.org/10.1016/0025-5564(95)92756-5
- 5. Goh, B.S. (1980) Management and Analysis of Biological Populations. Elsevier Science, Amsterdam.
- 6. Cluskey, M. and Connell, C. (2009) Global Stability for an SEIR Epidemiological Model with Varying Infectivity and Infinite Delay. Mathematical Biosciences and Engineering, 6, 603-610. https://doi.org/10.3934/mbe.2009.6.603