Pure Mathematics
Vol.06 No.03(2016), Article ID:17657,6 pages
10.12677/PM.2016.63034

Some Notes on R-Semi Topological Space

Jian Zhong, Daofu Chen, Peiyong Zhu

School of Mathematical Sciences, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu Sichuan

Received: May 6th, 2016; accepted: May 18th, 2016; published: May 26th, 2016

Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

ABSTRACT

Firstly, the concepts of Right-semi topology (i.e., R-semi-topological) are introduced by means of generalized topological spaces. Then, under the definition of Right-semi topology, nature that has been hereditary is explored, and nature that cannot be inherited is also illustrated combing with examples.

Keywords:Generalized Topological Space, R-Semi Topology, R-Neighbourhood, R-Net

关于R-半拓扑空间上的一些结果

钟健,陈道富,朱培勇

电子科技大学数学科学学院, 四川 成都

Email: 1027150421@qq.com, 744163393@qq.com, zpy6940@uestc.edu.cn

收稿日期:2016年5月6日;录用日期:2016年5月18日;发布日期:2016年5月26日

摘 要

类比A. Csaszar等人给出的广义拓扑空间关于一些性质的研究,引入R-半拓扑空间,在R-半拓扑的定义下,遗传了一般拓扑中的哪些性质,并且结合例子说明哪些性质不能被遗传。

关键词 :广义拓扑空间,R-半拓扑,R-领域,R-网

1. 引言与预备

广义拓扑空间概念是有匈牙利数学家A. Csaszar于2002年在文献 [1] 中提出,并且对广义拓扑空间的性质进行了研究,得出了一些很好的结果(参见文献 [1] - [6] )。由于广义拓扑实际上是一个半拓扑,最近文献 [7] 把广义拓扑空间重新命名为上半拓扑空间。进而,引入下半拓扑与下半拓扑空间的概念,并且获得了关于下半拓扑的一系列结果;文献 [8] 类比的将拓扑空间剖分成左半拓扑与右半拓扑,并得到了关于左半拓扑的一系列结果。在此,一个自然的问题是:能否类比文献 [8] ,在右半拓扑上也得到一些类似的结果呢?本文就这个问题进行了部分研究。

2. R-半拓扑空间

首先给出R-半拓扑空间的定义以及相关概念。

定义1.1 设是一个非空集合,的一些子集构成的集族,如果下列两个条件满足:

(1)

(2) 若,则

则称为集合上的一个R-半拓扑,并且称有序偶为一个R-半拓扑空间,集族中的每一个集合都称为R-半拓扑空间的R-开集。我们把R-半拓扑空间中只含一个元素的集合称为单元集。

定义2.1 设为R-半拓扑空间,,如果,使得,则称为点的一个R-领域。点的领域全体称为点的R-领域系,记作,并称为由拓扑导出的的R-领域系。

定理2.1 设为R-半拓扑空间,为由拓扑导出的的R-领域系,则满足下列条件:

(N1) 若

(N2) 若,则

(N3) 若,则

(N4) 若,则,使得并且对于,有

证明 由R-领域的定义,(N1)和(N2)成立时显然的。又设,则,使得。令,则,并且。故。因此(N3)真。

现在验证(N4)。设,则,使并且。另外,对于因为,使得。再由R-领域的定义,。从而(N4)真。

定义2.2 设为R-半拓扑空间,,则称的R-闭集。

由R-半拓扑空间的定义和公式可以直接得到:

定理2.2 设为R-半拓扑空间,F为的R-闭集的全体,则满足条件:

(F1)

(F2) 若

定义2.3 设为R-半拓扑空间,,若 (即使得),则称点为点集的R-内点。点集的R-内点的全体称为的R-内部,记为

定义2.4 设为R-半拓扑空间,,如果,有,则称的R-聚点。点集的R-聚点的全体称为的R-导集,记为

根据R-内点和R-聚点的定义,显然有的R-内点不一定是的R-聚点,下面给出例子。

例1 设,显然有,即点的R-内点,并且易知点不是的R-聚点。

其实,我们从R-聚点的定义也可以看出,点是不是集合的R-聚点,与本身并无直接联系,只需看R-半拓扑空间中有没有包含点的单元集.就如上面的例子,把改成,虽然点不在中,但点仍是的R-聚点。

由定义2.4可以直接得出:

为R-半拓扑空间,,若,则,点的聚点。

定义2.5 设为R-半拓扑空间,,记,则称的R-闭包。

定理2.3 设为R-半拓扑空间,

(1)

(2)

证明:(1) 若,则。故,使得。又因为,故。这与已知矛盾,因此

(2) 设,则或者。若,则;若,则,由R-聚点的定义,并且,则对。从而也有

但是,下面给出例子:

例2 设,则,但,有

定理2.4 设为R-半拓扑空间,则的任意子集与其R-闭包满足下列条件:

(C1)

(C2)

(C3)

证明 (C1)

(C2) 设,不妨设,若,则;若,即。从而

反过来,设,若,则;若,如果,则,使得,并且。所以,有。这与矛盾,即,从而

从而

(C3) 只要证即可。事实上,,若,则;若,则由定理2.3,,有因为的R-领域,则存在R=开集,使得,又因,则。取,则再由定理2.3,。从而。于是。故

推论2.2 与一般拓扑空间比较,R-半拓扑空间并不一定为空集。

例3 设,点的R-聚点,即

定理2.5为R-闭集

证明 设为R-闭集,则为R-开集.为证,我们只需证。事实上,若,则,即,使得。这与矛盾。所以,故

例4 设。显然。但不是R-闭集.即为R-闭集。

3. R-可分拓扑空间的相关概念与简单性质

定义3.1 设为R-半拓扑空间,若则称的稠密子集。如果中存在一个可列集,使得,则称为R-可分拓扑空间。

定义3.2 设,若,使得则称为集合的R-孤立点。

推论3.1 设为R-半拓扑空间,,点是R-孤立点或R-聚点。

(由R-聚点和R-孤立点的定义可以直接得到)

为R-半拓扑空间,中的任意非空子集,记则不难验证,上的一个R-半拓扑。

定义3.3 R-半拓扑称为上R-半拓扑的一个R-子拓扑。R-半拓扑空间称为是的R-半拓扑子空间.为了方便,常常简称的子空间。

定理3.1 设的子空间,的子空间,则的子空间。

证明 设上拓扑并且,我们只需证。事实上,,使得。又对于,使得。从而。所以

反过来,使得,即,使得,即。从而。因此,即的子空间。

定理3.2 设并且是R-半拓扑空间的一个子空间,则

(1) 如果分别记上的全体R-闭集构成的集族,则

(2) 如果分别记上点的领域系,则

证明 设上的R-半拓扑为,则子空间上的R-半拓扑为

(1),因,则,使得,故。又因。因此

反过来,,使得。故

因此。从而成立。

(2) 若,显然,若,对于,令,则。接着证。因为,则,使得。又,使得,故。这是必有。这是因为对于,若,则;若,则。因此。故

反过来,若,显然,若,使得。故。所以,即。于是

在一般拓扑空间中有:

是拓扑空间的子空间,,则

(1)

(2)分别表示点集在子空间中导集和闭包。

这两条性质在一般拓扑空间中成立,但在R-半拓扑空间并不成立。下面举例说明:

(注意:下面的符号表示采用的是拓扑空间中的符号表示)

(1) 设。则。显然

(2) 依然采用(1)中例子,这时。显然

4. R-网与其收敛

定义4.1 设为半序集,若,使得,则称为一个定向集。

定义4.2 设为一个R-半拓扑空间,为一个定向集,则映射称为是上的一个R-网(或者R-定向点列),记为或记为,其中。为书写方便,在不发生混淆时,通常把简写成

定义4.3 设是R-半拓扑空间中点的一个R-网,

(1) 称R-网终在内,如果,使得恒有

(2) 称R-网收敛于或称为极限。记为,如果R-网终在点的每一个领域内。

例4.1 设为一个R-半拓扑空间,点的领域系,为一个定向集(证明略)。,取,则是一个网,其中的取法是任意的。

例4.2 上面的网收敛于

证明,使得,当时,有。故

定理4.1 设为一个R-半拓扑空间,,则

(1)当且仅当存在网,使得

(2)当且仅当存在中网,使得

(3)位R-开集当且仅当不存在中网收敛中的点。

证明 (1) 设,则,又。取定,故中的一个网,并且

反过来,设网,使得。则,使得,当时,有。故。因此

(2),若,且,又(1)的必要性,,使得。若,取常值网,则中网并且

反过来,设并且。则,当时,有,故。由定理2.3,有

(3) 设中R-开集。如果存在网,使得,则,当时,。这与矛盾。

反过来,若不为中开集,则,使得,有。即。取,则中网,并且。则与中不存在网收敛于中的点矛盾。

5. 小结

本文类比文献 [7] 引入上、下半拓扑空间的方法,根据文献 [8] 定义的左半拓扑(L-半拓扑)与右半拓扑(R-半拓扑)的概念。类比L-半拓扑空间,在R-半拓扑空间上建立了点集的基本概念与理论,得到其开集、闭集、导集、网与网收敛的一些基本结果。从而,使得拓扑空间的相应结论得到推广。在此基础上,通过一些反例来说明在R-半拓扑空间中一些拓扑性质的不成立。

致 谢

感谢电子科技大学科研实训创新项目基金的经费资助。

文章引用

钟 健,陈道富,朱培勇. 关于R-半拓扑空间上的一些结果
Some Notes on R-Semi Topological Space[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 217-222. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63034

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