Pure Mathematics
Vol.
11
No.
01
(
2021
), Article ID:
39958
,
6
pages
10.12677/PM.2021.111016
亚纯函数及其导数涉及分担值的唯一性
贾丽,郅皓翔
云南师范大学数学学院,云南 昆明
收稿日期:2020年12月15日;录用日期:2021年1月15日;发布日期:2021年1月25日
摘要
本文主要证明了若 为非常数亚纯函数,k为大于1的整数。若f与 以1为IM分担值, 与 以1为CM分担值,且 ,则 。
关键词
亚纯函数,分担值,唯一性,导数
Uniqueness of Meromorphic Functions and Their Derivatives Involving Shared Values
Li Jia, Haoxiang Zhi
School of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming Yunnan
Received: Dec. 15th, 2020; accepted: Jan. 15th, 2021; published: Jan. 25th, 2021
ABSTRACT
In this paper, we shall prove that if a non-constant meromorphic f and its first derivative share the value 1 IM, k is an integer greater than 1, and share the value 1 CM. , then .
Keywords:Meromorphic Function, Shared Value, Uniqueness, Derivative
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言及主要结果
本文中, 与 为复平面 上的非常数亚纯函数,a,b为任意有穷复数,m,k为正整数。若 与 的零点相同(不计重数),则称a为 与 的IM分担值;若 与 的零点相同,且满足每个零点的重级相同,则称a为 与 的CM分担值; 表示 的零点重级 以m重来计数, 以k重计数的计数函数; 表示 的零点重级大于k的零点的精简计数函数数; 表示 的零点,但不是 与 的零点的精简计数函数; 表示任意满足 的量。
1977年,Rubel和Yang证明了下述结果:
定理A [1] 若非常数整函数f与 具有两个有穷的CM分担值,则 。
1979年,Mues和teinmetz把定理A中的CM分担值的条件换成IM分担值,得到下述结果:
定理B [1] 若非常数整函数f与 具有两个有穷的IM分担值,则 。
1980年,Gundersen将定理A中的整函数替换为亚纯函数,得到以下结果:
定理C [1] 若f与 以0, 为CM分担值,则 。
1983年,Mues和Gunderen研究了比较一般的情形,得到下述结论:
定理D [1] 若f与 具有两个有穷的CM分担值,则 。
1986年,Frank和Ohlenroth考虑将定理D中一阶导数扩展到它的高阶导数,他们得到:
定理E [1] 若f与 具有两个有穷的CM分担值,则 。
1986年,Jank,Mues,and Volkmann得出以下两个结论:
定理F [1] 若f, , 以 为CM分担值,则 。
定理G [2] 设 为非常数整函数。若f与 以 为IM分担值,且当 时, ,则 。
1995年,H. Zhong考虑了高阶导数得到以下结论:
定理H [3] 设 为非常数整函数。若f与 以 为CM分担值,且当 时, ,则 。
围绕定理C与定理D、定理H前人得出以下问题:
问题1 [1] 设 为非常数亚纯函数, 为有穷复数, 为两个正整数,且 。若f, , 以 为CM分担值,则我们是否能得到 。
例1. 设 为两个正整数,且 。若 ,,则f, , 以 为CM分担值,但是 。
然而,f为有穷级整函数时,当 ,问题1是成立的。1998年,C. C. Yang就证明以下结论:
定理I [4] 设 为有穷级整函数,a为有穷复数,k为正整数。若f, , 以a为IM分担值, , 以a为CM分担值,则 。
2001年,Ping和C. C. Yang参考了问题1来减弱了定理H的条件,得到以下结果:
定理J [5] 若f, , 以 为CM分担值,则 。
2009年,Al-Khaladi围绕定理B得出以下结论:
定理K [6] 若f与 以 为CM分担值,且 ,则 或 ,其中 ,c为常数。
定理L [6] 若f与 以 为IM分担值,且 ,则 或 ,其中 ,c为常数。
2013年,Al-Khaladi根据定理K与定理L考虑了高阶导数得出以下结论:
定理M [7] 若f与 以 为CM分担值,且 ,则 。
定理N [7] 若f与 以 为IM分担值,且 ,则 。
在本文中,我们围绕以上定理,得到下面的结果:
定理1设 为非常数亚纯函数。k为大于1的整数。若f与 以1为IM分担值, 与 以1为CM分担值,且 ,则 。
由定理1容易得到以下两个结论:
推论1设 为非常数亚纯函数。k为大于1的整数。若f与 以 为IM分担值, 与 以1为CM分担值,且 ,则 。
推论2设 为非常数整函数。若f与 以 为IM分担值,且满足 ,则 或 ,其中 ,c为常数。
定理2设 为非常数亚纯函数,m,k为两个大于1的整数。若f与 以1为IM分担值, 与 以1为CM分担值,且满足 ,则 。
由定理2容易得到以下两个结论:
推论3设 为非常数亚纯函数,m,k为两个大于1的整数。若f与 以 为IM分担值, 与 以 为CM分担值,且满足 ,则 。
推论4设 为非常数整函数,k为大于1的整数。若f与 以 为IM分担值,且 ,则 。
2. 几个引理
引理1 [1] 设 为非常数亚纯函数, 为整数,则 。
引理2 [1] 设 为非常数亚纯函数, 为f的p次多项式,其系数 均为常数, 为 个判别的有穷复数,则
.
引理3 [1] 设 为p个于 内的亚纯函数,则对于 有
,.
3. 定理证明
定理1的证明
设 。
令
, (1.1)
由引理3和(1.1)得
. (1.2)
若 为f的p重极点,则
, (1.3)
由于1为 与 的CM分担值,则 在 的零点处解析。
由 和(1.1)得
. (1.4)
当 时,由(1.1)式得 (c为非零常数)。
故
. (1.5)
当 时。
由(1.4)与(1.3),(1.2)式得
. (1.6)
由引理3和(1.5)、(1.6)得
,
,
.
以此类推下去得
. (1.7)
由定理的条件以及(1.7)得 。
定理2的证明
不妨设 。设 。
令
, (1.8)
由引理3和(1.8)得
. (1.9)
若 为f的p重极点,则 。
由于1为 与 的CM分担值,则 在 的零点处解析。
由 和(1.8)得 。
当 时,由(1.8)式得 (c为非零常数)。故 。
当 时,以下与定理1类似得到结论。
文章引用
贾 丽,郅皓翔. 亚纯函数及其导数涉及分担值的唯一性
Uniqueness of Meromorphic Functions and Their Derivatives Involving Shared Values[J]. 理论数学, 2021, 11(01): 109-114. https://doi.org/10.12677/PM.2021.111016
参考文献
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