Pure Mathematics
Vol.06 No.03(2016), Article ID:17659,4 pages
10.12677/PM.2016.63035

The Zeros of Some Differential Polynomials

Jing Yang, Wenbo Wang

Faculty of Science, China University of Petroleum (East China), Qingdao Shandong

Received: May 6th, 2016; accepted: May 18th, 2016; published: May 26th, 2016

Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

ABSTRACT

In this paper, we use the Nevanlinna theory and discuss the zeros of. This result generalizes the related results of Hayman, Mues and Tohge et al.

Keywords:Entire Function, Differential Polynomial, Zero, Value Distribution

一类微分多项式的零点分布的研究

杨 静,王文博

中国石油大学(华东)理学院,山东 青岛

Email: 1310231370@qq.com

收稿日期:2016年5月6日;录用日期:2016年5月18日;发布日期:2016年5月26日

摘 要

本文采用亚纯函数值分布理论作为工具,讨论了微分多项式的零点分布情况,该结论推广了Hayman,Mues和Tohge等人的相关结果。

关键词 :整函数,微分多项式,零点,值分布

1. 研究背景

本文所提及的亚纯函数是指在整个复平面上的亚纯函数。设是复平面上1个非常数的亚纯函数,并假设读者熟悉Nevanlinna理论的基本概念和结果及其标准记号 [1] - [3] ,例如等等。同时我们用表示扩充复平面。W.K. Hayman在 [4] [5]

中提出了研究关于整函数的齐次微分多项式的零点分布的必要性。自此之后关于一个给定的整函数或亚纯函数的微分多项式的零点分布这一问题成为国际上研究的热点。

1978年E. Mues在 [6] 中证明了如果为不满足这一形式的超越亚纯函数,其中。则微分多项式至少存在一个零点。

近期M. Ozawa在 [7] ,G. Lehner在 [8] 和Tohge在 [9] 中均提出了关于齐次微分多项式的一些相似结论。

我们将采用不同于别人的方法,讨论具有新的形式的微分多项式的零点分布情况得到了以下结论。

定理1 令为超越整函数,为非零常数。如果微分多项式有有限零点,则满足

并且,其中亏量定义为

推论1 令为超越整函数,为非零常数。如果微分多项式,若,则必有无穷多个零点。

2. 定理的证明

为了证明定理1,我们将考虑下面的方程

(1)

其中为非零多项式,为整函数。

显然由(1)知,并且根据可知

对(1)两边取对数导数可以得到

可将上式化为

(2)

情况1 假设。令,其中为非零常数。将代入(1)可得

(3)

因为,由(3)和对数导数引理得并且

(4)

(5)

由(4)可得。再由(3)和(5)可知

也就是说

因此。我们令,其中为常数。将代入(5)我们得到

因此,其中为常数。显然矛盾。

情况2 假设由(2)知并且(4)成立。

在多数情况下,我们可以讨论以下形式的微分方程:

(6)

其中为非零常数。我们可以证明(6)没有超越整函数解。

事实上,由(6)我们可以得到

(7)

的单零点。由(4)和(7)我们知的一个零点。

首先我们假设。令

(8)

那么的一个小函数。根据(7)和(8),我们有

(9)

由(4)和(9)我们知道为一个非零常数。再由(9)得

(10)

其中为常数。由(6)和(10)我们得到矛盾。

因此,我们假设

(11)

如果那么。其中为常数与(6)矛盾。因此并且的小函数。由(11)可得

(12)

根据(6)和(12)我们发现,同样得出矛盾。

综上所述,我们得到如果微分多项式有有限零点,则满足

这样我们就完成了定理1的证明。

3. 结论

本文中,我们针对Hyman猜想做了进一步推广,并且运用新的方法探讨了新形式下的微分多项式的零点分布,取得了较为满意的结果。

随着研究的不断深入,一些问题解决的同时也随之出现了一些新问题,需要我们继续探讨。我们会在已经取得的结果之上更加深入细致的研究,以期待取得更大的成绩。

致谢

最后,向我的导师 吕巍然 教授表示我衷心的感谢! 老师孜孜不倦的治学态度,认真求实的工作作风对我产生了深刻的影响。他知识渊博,见解独特,对工作对学生认真负责,在此谨向吕巍然教授致以最诚挚的谢意和崇高的敬意!衷心感谢张敏老师对我的指导和帮助!

文章引用

杨 静,王文博 . 一类微分多项式的零点分布的研究
The Zeros of Some Differential Polynomials[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 223-226. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63035

参考文献 (References)

  1. 1. Hayman, W.K. (1964) Meromorphic Functions. Clarendon Press, Oxford.

  2. 2. Yang, L. (1993) Value Distribution Theory. Springer, Berlin.

  3. 3. Yang, C.C. and Yi, H.X. (2003) Uniqueness Theory Meromorphic Functions. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. http://dx.doi.org/10.1007/978-94-017-3626-8

  4. 4. Hayman, W.K. (1959) Picard Values of Meromorphic Functions and Their Derivatives. Annals of Mathematics, 70, 9-42. http://dx.doi.org/10.2307/1969890

  5. 5. Hayman, W.K. (1967) Research Problems in Function Yheory. The Athlone Press University of London, London.

  6. 6. Mues, E. (1979) Über ein Problem von Hayman. Mathematische Zeitschrift, 164, 239-259. http://dx.doi.org/10.1007/BF01182271

  7. 7. Ozawa, M. (1989) Zeros of Certain Differential Polynomials. Analytic Function Theory of One Complex Variable. Pitman Research Notes in Mathematics Series, 212, 199-225.

  8. 8. Lehners, G. (1984) Ube Nullstellenfreie Homogene Differentialpolynome. Dissertaion, Fath-Bereich Mathematik der Universitat Hannover.

  9. 9. Tohge, K. (1993) On the Zeros of a Homogeneous Differential Polynomial. Kodai Mathematical Journal, 16, 398-415. http://dx.doi.org/10.2996/kmj/1138039848

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