Pure Mathematics
Vol.08 No.03(2018), Article ID:25138,4 pages
10.12677/PM.2018.83040

The Full Automorphism Group of a Nonnormal Arc-Transitive 7-Valent Cayley Graph on the Alternating Group A62

Bo Ling

School of Mathematics and Computer Sciences, Yunnan Minzu University, Kunming, Yunnan

Received: May 9th, 2018; accepted: May 22nd, 2018; published: May 29th, 2018

ABSTRACT

Pan et al. in [Arc-transitive Cayley graphs on non-ableian simple groups with soluble vertex stabilizers and valency seven, arXiv:1707.09785v1, 2017] constructed an example of a nonnormal arc-transitive 7-valent Cayley graph on the alternating group A62. In this paper, we will prove that the full automorphism group of this graph is isomorphic to A63.

Keywords:Arc-Transitive Graph, Simple Group, Automorphism Group, Nonnormal Cayley Graph

交错群A62上的7度弧传递非正规Cayley图的全自同构群

凌波

云南民族大学数学与计算机科学学院,云南 昆明

收稿日期:2018年5月9日;录用日期:2018年5月22日;发布日期:2018年5月29日

摘 要

潘江敏教授等人在文章[Arc-transitive Cayley graphs on non-ableian simple groups with soluble vertex stabilizers and valency seven, arXiv:1707.09785v1, 2017]中构造了交错群A62上的一个7度弧传递非正规Cayley图。在本文中,我们将证明该图的全自同构群同构于A63

关键词 :弧传递图,单群,自同构群,非正规Cayley图

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This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

设Г是一个图。其顶点集,图的全自同构群分别记为 V ( Γ ) A u t ( Γ ) 。我们称图Г为弧传递图,如果 A u t ( Γ ) 在其弧集合上传递。

设G是一个有限群。取 S G { 1 } ,称它为G的Cayley子集。设S满足 S = S 1 : = { s 1 | s S } 。定义群G关于S的Cayley无向图 Γ : = C a y ( G , S ) ,其中:

V ( Γ ) : = G , E ( Γ ) : = { { g , s g } } g G , s S } .

由定义可知,Г的度为 | S | 。Г连通当且仅当 。G的右正则表示 R ( G ) A u t ( Γ ) 且作用在 V ( Γ ) 上正则,即Cayley图是点传递图。为了方便,我们仍记这个正则子群为G。我们称Cayley图 Γ = C a y ( G , S ) 关于G是正规的,如果 G A u t ( Γ ) ,否则称Г为非正规的。

单群上Cayely图的正规性问题一直都受到国内外学者们的极大关注。例如,李才恒教授在 [1] 中证明:除了7个例外,所有的有限非交换单群上的3度弧传递Cayley图都是正规的。基于这个工作,徐尚进教授等人在文献 [2] [3] 中证明:除交错群A47上的两个例外,所有有限非交换单群的连通3度弧传递Cayley图都是正规的。2016年方新贵教授等人在文献 [4] 中证明:除单群 M 11 上的两个例外,所有有限非交换单群上的4度2-传递Cayley图都是正规的。对于7度图,潘江敏教授等人于2017年,在文献 [5] 中证明:除了交错群A6,A20,A62,A83,所有有限非交换单群上具有可解点稳定子的7度弧传递Cayley图都是正规的,并且具体构造了这4个单群上的非正规Cayley图的例子。本文的一个工作将是计算交错群 A 62 上非正规弧传递7度Cayley图的全自同构群(即计算文献 [5] 中例子5.2中图的全自同构群)。

本文证明了如下定理:

定理1.1:设Г是T上7度S-弧传递Cayely图,其中S同构于A63,T同构于A62,则 A u t ( Γ ) = S A 63

2. 预备知识

设G是有限群,H是G的子群, C G ( H ) 是H在G中的中心化子,是H在G中的正规化子。则有下面的引理,我们称之为‘N/C’定理,参见文献( [6] 第I章,定理5.7)。

引理2.1:设 H G ,则 N G ( H ) / C G ( H ) 同构于 A u t ( H ) 的一个子群。■

下面的引理给出了7度弧传递图的点稳定子群的结构,参考文献( [7] 定理1.1]。

引理2.2:设Г是一个7度 ( G , s ) —传递图,其中 G A u t ( Γ ) s 1 。设 α V ( Γ ) 。则下列之一成立:

a) 如果 G α 可解,则 s 3 | G α | | 252 。此外, ( s , G α ) 为下表之一(表1)。

Table 1. The insoluble case

表1. 可解情形的点稳定子

Table 2. The insoluble case

表2. 非可解情形的点稳定子

b) 如果 G α 非可解,则 2 s 3 | G α | | 2 24 3 4 5 2 7 。此外, ( s , G α ) 为下表之一(表2)。

3. 定理1.1的证明

定理1.1的证明:设Г是T上的S-弧传递Cayley图, A = A u t ( Γ ) V = V ( Γ ) S A 62 T A 63 。设 v V ,则由引理2.1, | A v | | 2 24 3 4 5 2 7 。首先我们假设A在顶点集V上非拟本原。设 N 1 是A的一个在V上非传递的极小正规子群。则 N S S 。因为S同构于 A 63 ,所以 N S = 1 或者 S 。若 N S = S ,则 S N A 。这意味着N在V上作用传递,这与N的选取矛盾。若 N S = 1 ,则 | N | 整除 | A | / | S | 。注意到 S v Z 3 × F 20 。由引理2.2,得 | | A v | / | S v | 2 24 3 2 5 。因为 | A | / | S | = | A v | / | S v | ,所以 | N | 整除

假设N非可解。因为 | N | 整除 2 24 3 2 5 A 5 , A 6 P S U ( 4 , 2 ) 是仅有的3个 { 2 , 3 , 5 } 单群,所以N只能同构于下列群之一: A 5 , A 5 2 , A 6 。令 F = N S 。则 F = N : S 。因为 | N | | A 63 | = | N | | S | = | F | = | V | | F v | ,所以 | F v | = 2 2 3 3 5 7 2 4 3 4 5 2 7 或者 2 3 3 4 5 7 。然而由引理2.1,不存在7度弧传递图的点稳定子具有这3种情况的阶,矛盾。

假设N可解,则 N Z 2 r Z 3 l 或者 Z 5 k ,其中 1 r 24 1 l 2 1 k 2 。由引理2.1,得 F / C F ( N ) A u t ( N ) G L ( r , 2 ) G L ( l , 3 ) 或者 G L ( k , 5 ) 。注意到 N C F ( N ) 。如果 N = C F ( N ) ,那么 F / C F ( N ) = F / N S G L ( r , 2 ) G L ( l , 3 ) 或者 G L ( k , 5 ) 。而 G L ( r , 2 ) G L ( l , 3 ) 或者 G L ( k , 5 ) 中不包含同构于A63的子群,其中 1 r 24 1 l 2 1 k 2 。所以, N < C F ( N ) 1 C F ( N ) / N F / N S 。进而得, S = C F ( N ) / N ,即,S中心化N。所以 F = N × S 。因此, F v / S v F / S N 。这意味着 F v = S v N ,由引理2.2, F v F 42 × Z 3 或者 F 42 × Z 6 。由Magma的计算,不存在具有这两种点稳定子的F-弧传递的7度Cayley图,矛盾。

因此A在顶点集V上作用是拟本原的。因为 | V | = | G | 不是一个素数的方幂,所以A不是 H A 型的。设M是A的基柱。则因为A在V上是拟本原的,得M在V上作用传递。又因为 A = T A v ,所以 | T | | | M | | 2 24 3 4 5 7 | T | 。因为 T A 62 ,所以必存在一个素数p,使得p恰好整除 | M | 。进而得,M不同构于 D d ,其中 d 2 ,D为一个非交换单群。这可以推出A不是 H S H C C D T W 或者型的。因此,A只能是 A S 型,即A是几乎单的。因为 M S S ,S是非交换单群,所以 M S = 1 或者S。如果 M S = 1 ,则 | M | | | A | / | S | | 2 24 3 2 5 2 。这与 | T | | | M | 矛盾。因此, M S = S ,进而 S M 。这意味着 | M : S | | | A : S | | 2 24 3 2 5 2 。因为 A 是几乎单群,所以M是一个非交换单群。由( [8] p.135-136),我们可以推出 M = S 。因此, A A u t ( M ) S 63 。如果 A S 63 ,则 | A v | = | A | / | T | = 126 。由引理2.2, A v F 42 × Z 3 。由Mamga的计算,不存在具有点稳定子 F 42 × Z 3 S 63 -弧传递的7度Cayley图,矛盾。所以 A A 63 证毕。

基金项目

国家自然科学基金项目(11701503);云南省教育厅科学研究基金项目(2017ZZX086)。

文章引用

凌 波. 交错群A62上的7度弧传递非正规Cayley图的全自同构群
The Full Automorphism Group of a Nonnormal Arc-Transitive 7-Valent Cayley Graph on the Alternating Group A62[J]. 理论数学, 2018, 08(03): 304-307. https://doi.org/10.12677/PM.2018.83040

参考文献

  1. 1. Li. C.H. (1996) Isomorphisms of Finite Cayley Graphs. The University of Western Australia, Perth.

  2. 2. Xu, S.J., Fang, X.G., Wang, J., et al. (2005) On Cubic s-Arc Transitive Cayley Graphs of Finite Simple Groups. European Journal of Combinatorics, 26, 133-143. https://doi.org/10.1016/j.ejc.2003.10.015

  3. 3. Xu, S.J., Fang, X.G., Wang, J., et al. (2007) 5-Arc Transitive Cubic Cayley Graphs on Finite Simple Groups. European Journal of Combinatorics, 28, 1023-1036. https://doi.org/10.1016/j.ejc.2005.07.020

  4. 4. Fang, X.G., Wang, J. and Zhou, S.M. (2016) Tetravalent 2-Transitive Cayley Graphs of Finite Simple Groups and Their Automorphism Groups. arXiv:1611.06308v1.

  5. 5. Pan, J.M., Yin, F.G. and Ling, B. (2017) Arc-Transitive Cayley Graphs on Non-Ableian Simple Groups with Soluble Vertex Stabilizers and Valency Seven. ar-Xiv:1707.09785v1.

  6. 6. 徐明曜. 有限群导引(上) [M]. 第二版. 北京: 科学出版社, 1999.

  7. 7. Guo, S.T., Li, Y.T. and Hua, X.H. (2016) (G,s)-Transitive Graphs of Valency 7. Algebra Colloquium, 23, 493-500. https://doi.org/10.1142/S100538671600047X

  8. 8. Gorenstein, D. (1982) Finite Simple Groups. Plenum Press, New York.

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